سلسلة من تمارين الرياضيات المصححة في المحطة S على المنتج القياسي .
تغطي هذه الورقة المفاهيم التالية:
- تعريف المنتج العددي ؛
- خاصية ثنائية الخطية للمنتج العددي ؛
- تناظر المنتج النقطي ؛
- منتج عددي في المستوي والفضاء.
المنتج القياسي هو أداة مفيدة للغاية في الهندسة في الفضاء. يسمح بحساب قيمة الزاوية بين متجهين.
التمرين 1:
في إطار متعامد للفضاء ، يكون المتجه له إحداثيات (1 ؛ 2 ؛ 4).
احسب .
تمرين 2:
في الإطار المتعامد للفضاء ، A و B هما نقطتا إحداثيات كل منهما
(3 ؛ 1 ؛ 0) و (5 ؛ 0 ؛ 1).
احسب .
التمرين 3:
و
هما متجهان في الفضاء من هذا القبيل
و
و
.
احسب .
التمرين 4:
و
متجهان في الفضاء مثل AB = 5 و AC = 8 و
.
احسب .
التمرين 5:
ABCDEFGH هو مكعب جانب .
النقطتان M و N هما مركزا الوجوه BCGF و EFGH.
أ) تحقق من ذلك .
ب) احسب و
.
ج) استنتج قيمة المنتج العددي .
التمرين 6:
في الإطار المتعامد للفضاء ، نعطي إحداثيات المتجهات و
.
احسب .
التمرين 7:
في الإطار المتعامد ، نعتبر النقاط أ (1 ؛ -1 ؛ 0) ، ب (-2 ، 2 ، 6) ، ج (3 ، 1 ، -8)
والناقل .
1 تحقق من عدم محاذاة النقاط A و B و C.
2. أ) إثبات أن المتجه من الطبيعي أن الطائرة ABC.
ب) تحديد معادلة ديكارتية للمستوى (ABC).
التمرين 8:
في إطار متعامد ، A و B هما نقطتا إحداثيات كل منهما
(3،2،0) و (5،1 ، -1).
هي الطائرة التي تمر عبر A ومتعامدة مع الخط (AB).
الى. أعط متجهًا عاديًا للطائرة .
ب. استنتج المعادلة الديكارتية للمستوى .
التمرين 9:
ضع في اعتبارك نقاط المسافة A (-4 ؛ 4 ؛ 0) ، B (4 ؛ 0 ؛ -4) و C (1 ؛ 1 ؛ 1)
1. حدد تمثيلًا حدوديًا للخط (AB).
2. حدد المسافة بين النقطة C وإسقاطها المتعامد H على الخط (AB).
H بحيث يكون الخطان (CH) و (AB) متعامدين.
التمرين 10:
لنفترض أن P هي الطائرة التي تمر عبر النقطة A (4 ؛ 8 ؛ -4) وتوجهها المتجهات (2 ؛ -1 ؛ 3) و
(4 ؛ 1 ؛ -3).
1. إثبات ذلك (0 ؛ 3 ؛ 1) متجه عادي بالنسبة للمستوى P.
2. تحديد متجه عادي إلى المستوى P ، بحيث يكون الإحداثي الثالث من
، يساوي 7.
3. تحديد متجه عادي للمستوى P ، بحيث يكون الإحداثي الثاني لـ
، يساوي -1.
4. هل من الممكن إيجاد متجه عادي للمستوى P الذي يكون أول إحداثي له يساوي 4؟
التمرين 11:
دع (د) يكون السطر الذي يكون تمثيله البارامترى:
مع .
حدد معادلة المستوى P الذي يمر بالنقطة أ (8 ؛ -5 ؛ 3) وعمودي على الخط (د).
التمرين 12:
ABCDEFGH هو مكعب.
النقطة I هي نقطة المنتصف لـ[AB] والنقطة J هي نقطة المنتصف لـ[DH] .
نضع أنفسنا في الإطار المتعامد .
1. تحديد إحداثيات النقطتين I ، Jet G.
2. برر أن النقاط I و J و G تحدد مستوى.
3.a. أوجد الأعداد الحقيقية a و b و c على هذا النحو أو متجه عادي للطائرة (IJG).
ب. استنتج معادلة المستوى (IJG).
التمرين 13:
دع P يكون مستوى المعادلة .
خطوط مستقيمة و
يتم تعريفها من خلال تمثيل حدودي يرد أدناه:
و
مع
.
1. هل المستوي P والخط (d1) قاطعان؟
2. حدد تقاطع المستوي P مع المستقيم (d2).
التمرين 14:
ضع في اعتبارك النقاط أ (0 ؛ 4 ؛ 1) ، ب (1 ؛ 3 ؛ 0) ، ج (2 ؛ -1 ؛ -2) ود (7 ؛ -1 ؛ 4).
1. إثبات عدم محاذاة النقاط “أ” و “ب” و “ج”.
2. إما الخط المار بالنقطة D مع متجه الاتجاه
(2 ؛ -1 ؛ 3).
الى. إثبات أن الخط متعامد مع المستوى (ABC).
ب. استنتج المعادلة الديكارتية للمستوى (ABC).
ضد. حدد تمثيلًا حدوديًا للخط .
د. حدد إحداثيات النقطة H تقاطع الخط المستقيم وخطة (ABC).
3. إما خطة المعادلة x + y + z = 0 و
خطة المعادلة س + 4 ص + 2 = 0.
الى. إثبات أن الخطط و
قاطعة.
ب. تحقق من أن الخط (د) تقاطع الطائرات و
لتمثيل حدودي
ضد. هل الخط (د) والمستوى (ABC) قاطعين أم متوازيين؟
Cette publication est également disponible en :
English (الإنجليزية)
Français (الفرنسية)