منتج نقطي: تمارين الرياضيات في السنة النهائية مصححة بتنسيق PDF.

سلسلة من تمارين الرياضيات المصححة في المحطة S على المنتج القياسي .

تغطي هذه الورقة المفاهيم التالية:

تعريف المنتج العددي ؛
خاصية ثنائية الخطية للمنتج العددي ؛
تناظر المنتج النقطي ؛
منتج عددي في المستوي والفضاء.

المنتج القياسي هو أداة مفيدة للغاية في الهندسة في الفضاء. يسمح بحساب قيمة الزاوية بين متجهين.

التمرين 1:

في إطار متعامد للفضاء ، يكون المتجه $\vec{u}$ له إحداثيات (1 ؛ 2 ؛ 4).

احسب $%7C%7C\vec{u}%7C%7C$ .

تمرين 2:

في الإطار المتعامد للفضاء ، A و B هما نقطتا إحداثيات كل منهما

(3 ؛ 1 ؛ 0) و (5 ؛ 0 ؛ 1).

احسب $%7C%7C\vec{AB}%7C%7C$ .

التمرين 3:

$\vec{u}$ و $\vec{v}$ هما متجهان في الفضاء من هذا القبيل $%7C%7C\vec{u}%7C%7C=1$ و $%7C%7C\vec{v}%7C%7C=2$ و $%7C%7C\vec{v}-\vec{u}%7C%7C=\sqrt{5}$ .

احسب $\vec{u}.\vec{v}$ .

التمرين 4:

$\vec{AB}$ و $\vec{AC}$ متجهان في الفضاء مثل AB = 5 و AC = 8 و $\vec{BAC}=60\,^{\circ}$ .

احسب $\vec{AB}.\vec{AC}$ .

التمرين 5:

ABCDEFGH هو مكعب جانب .

النقطتان M و N هما مركزا الوجوه BCGF و EFGH.

أ) تحقق من ذلك $AM^2=\frac{3}{2}a^2$ .

ب) احسب و .

ج) استنتج قيمة المنتج العددي $\vec{AM}.\vec{AN}$ .

التمرين 6:

في الإطار المتعامد للفضاء ، نعطي إحداثيات المتجهات $\vec{u}$ و $\vec{v}$ .

احسب $\vec{u}.\vec{v}$ .

$a)\\,\vec{u}(2;3;-1)\vec{v}(1;0;2)\\b)\vec{u}(0;-2;5)\vec{v}(6;1;1)\\c)\vec{u}(1;-1;2)\vec{v}(3;-1;1)$

التمرين 7:

في الإطار المتعامد ، نعتبر النقاط أ (1 ؛ -1 ؛ 0) ، ب (-2 ، 2 ، 6) ، ج (3 ، 1 ، -8)

والناقل $\vec{n}(3,1,1)$ .

1 تحقق من عدم محاذاة النقاط A و B و C.

2. أ) إثبات أن المتجه $\vec{n}$ من الطبيعي أن الطائرة ABC.

ب) تحديد معادلة ديكارتية للمستوى (ABC).

التمرين 8:

في إطار متعامد ، A و B هما نقطتا إحداثيات كل منهما

(3،2،0) و (5،1 ، -1).

$\rho$ هي الطائرة التي تمر عبر A ومتعامدة مع الخط (AB).

الى. أعط متجهًا عاديًا للطائرة $\rho$ .

ب. استنتج المعادلة الديكارتية للمستوى $\rho$ .

التمرين 9:

ضع في اعتبارك نقاط المسافة A (-4 ؛ 4 ؛ 0) ، B (4 ؛ 0 ؛ -4) و C (1 ؛ 1 ؛ 1)

1. حدد تمثيلًا حدوديًا للخط (AB).

2. حدد المسافة بين النقطة C وإسقاطها المتعامد H على الخط (AB).

H بحيث يكون الخطان (CH) و (AB) متعامدين.
التمرين 10:

لنفترض أن P هي الطائرة التي تمر عبر النقطة A (4 ؛ 8 ؛ -4) وتوجهها المتجهات $\vec{u}$ (2 ؛ -1 ؛ 3) و $\vec{v}$ (4 ؛ 1 ؛ -3).
1. إثبات ذلك $\vec{n}$ (0 ؛ 3 ؛ 1) متجه عادي بالنسبة للمستوى P.
2. تحديد متجه عادي $\vec{n_1}$ إلى المستوى P ، بحيث يكون الإحداثي الثالث من $\vec{n_1}$ ، يساوي 7.
3. تحديد متجه عادي $\vec{n_2}$ للمستوى P ، بحيث يكون الإحداثي الثاني لـ $\vec{n_2}$ ، يساوي -1.
4. هل من الممكن إيجاد متجه عادي للمستوى P الذي يكون أول إحداثي له يساوي 4؟
التمرين 11:

دع (د) يكون السطر الذي يكون تمثيله البارامترى:

$\{\begin{matrix}\,x=3-2t\\\,y=1+5t\\z=-7+6t\,\end{matrix}.$ مع .
حدد معادلة المستوى P الذي يمر بالنقطة أ (8 ؛ -5 ؛ 3) وعمودي على الخط (د).
التمرين 12:

ABCDEFGH هو مكعب.

النقطة I هي نقطة المنتصف لـ[AB] والنقطة J هي نقطة المنتصف لـ[DH] .
نضع أنفسنا في الإطار المتعامد $(A\,;\,\vec{AB},\,\vec{AD},\,\vec{AE})$ .
1. تحديد إحداثيات النقطتين I ، Jet G.
2. برر أن النقاط I و J و G تحدد مستوى.
3.a. أوجد الأعداد الحقيقية a و b و c على هذا النحو $\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)$ أو متجه عادي للطائرة (IJG).
ب. استنتج معادلة المستوى (IJG).

التمرين 13:

دع P يكون مستوى المعادلة $2x\,-\,5y\,+3z-7=0$ .
خطوط مستقيمة و يتم تعريفها من خلال تمثيل حدودي يرد أدناه:

$(d_1):\{\begin{matrix}\,x=5+4t\,\\\,y=2+t\\z=9-t\,\end{matrix}.$ و $(d_2):\{\begin{matrix}\,x=2+3t\,\\\,y=2t\\z=1+5t\,\end{matrix}.$ مع $t\in\,\mathbb{R}$ .

1. هل المستوي P والخط (d1) قاطعان؟
2. حدد تقاطع المستوي P مع المستقيم (d2).

التمرين 14:

ضع في اعتبارك النقاط أ (0 ؛ 4 ؛ 1) ، ب (1 ؛ 3 ؛ 0) ، ج (2 ؛ -1 ؛ -2) ود (7 ؛ -1 ؛ 4).
1. إثبات عدم محاذاة النقاط “أ” و “ب” و “ج”.
2. إما $\Delta$ الخط المار بالنقطة D مع متجه الاتجاه $\vec{u}$ (2 ؛ -1 ؛ 3).
الى. إثبات أن الخط $\Delta$ متعامد مع المستوى (ABC).
ب. استنتج المعادلة الديكارتية للمستوى (ABC).
ضد. حدد تمثيلًا حدوديًا للخط $\Delta$ .
د. حدد إحداثيات النقطة H تقاطع الخط المستقيم $\Delta$ وخطة (ABC).
3. إما خطة المعادلة x + y + z = 0 و خطة المعادلة س + 4 ص + 2 = 0.
الى. إثبات أن الخطط و قاطعة.
ب. تحقق من أن الخط (د) تقاطع الطائرات و لتمثيل حدودي

$\{\begin{matrix}\,x=-4t-2\,\\\,y=t\\z=3t+2\,\end{matrix}.$

ضد. هل الخط (د) والمستوى (ABC) قاطعين أم متوازيين؟

Cette publication est également disponible en : English (الإنجليزية) Français (الفرنسية)

منتج نقطي: تمارين الرياضيات في السنة النهائية مصححة بتنسيق PDF.

D'autres fiches dans la section تمارين الرياضيات النهائية

D'autres articles analogues à منتج نقطي: تمارين الرياضيات في السنة النهائية مصححة بتنسيق PDF.