cours maths 3ème

Trigonométrie : cours sur le cosinus, le sinus et la tangente en 3ème.

Cours de trigonométrie sur le cosinus, sinus et la tangente d’un angle aigu et le calcul de la mesure d’un angle dans un triangle rectangle en 3ème. Nous verrons dans cette leçon comment calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle connaissant son cosinus, sinus ou sa tangente.Puis, nous calculerons la mesure d’un des angles aigus d’un triangle rectangle connaissant deux de ses longueurs ainsi que l’utilisation de la calculatrice avec le mode degré (DEG).

I. Cosinus, sinus et tangente :

1.Définitions :

Définition :

On considère un triangle rectangle et ses angles aigus.

  • Le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient du côté adjacent à l’angle et de l’hypoténuse du triangle rectangle.
  • Le sinus d’un angle aigu est égal au quotient du côté opposé à l’angle et de l’hypoténuse du triangle rectangle.
  • Le tangente d’un angle aigu est égal au quotient du côté opposé à l’angle et du côté adjacent à l’angle.

Exemple :

Exercice trigonométrie

Remarque :

  • Pour retenir facilement ces formules, on peut utiliser le moyen mnémotechnique suivant :SOH-CAH-TOA qui correspond aux initiales en gras dans les formules précédentes.
  • Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1.
  • La tangente d’un angle aigu est un nombre strictement positif.

2.Applications :

Exemple :

Dans le triangle rectangle LOE, Calculer OE.

On connait :

  • l’angle \widehat{L};
  • la longueur OL (hypoténuse)

On cherche :

la longueur OE (opposé)

Formule :

La seule formule qui fait apparaître les mots « hypoténuse » et « opposé » est le sinus.

sin\widehat{L}=\frac{OE}{OL}

\frac{sin\,62^{\circ}}{1}=\frac{OE}{5,4}

En utilisant la propriété du produit en croix :

OE=\frac{5,4\times sin62^{\circ}}{1}\approx 4,77\,cm

II.Calcul de la mesure d’un angle :

Remarque :

Pour calculer la mesure d’un angle, on prend le soin de vérifier que sa calculatrice est en mode DEGRE.

On utilise les touches arccos, arcsin, arctan.

Exemple :

Dans le triangle rectangle FUN, déterminer la mesure de l’angle \widehat{N} arrondie au degré.

Triangle rectangle

Dans ce triangle rectangle,

on connaît :

  • la longueur UN (adjacent);
  • la longueur FU (opposé).

La seule formule qui fait apparaître les mots « adjacent » et « opposé » est la tangente.

Tan(\widehat{N})=\frac{UF}{UN}

Tan(\widehat{N})=\frac{5,5}{8,2}

On utilise la calculatrice en mode DEGRE et la touche « arctan ».

\widehat{N}=Arctan(\frac{5,5}{8,2})\approx 34^{\circ}.


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