Homothéties : cours de maths en 3ème avec leçon en PDF en troisième.

Un cours sur les homothéties avec définition de la transformation ainsi que les différentes propriétés de conservation puis les effets sur les agrandissements ou réductions de figures. L’élève devra savoir construire l’image d’une figure par une homothétie de centre O et de rapport k à l’aide du matériel de géométrie (règle, compas, équerre et rapporteur). Savoir interpréter le genre d’homothétie en fonction du signe du rapport mais également, appliquer les différentes propriétés afin d’effectuer des démonstrations. Nous terminerons cette leçon sur les homothéties avec des problèmes concrets de la vie courante en troisième

I. L’homothétie :

Définition :

Transformer une figure par une homothétie de centre O, c’est l’agrandir ou la réduire

en faisant glisser les points le long des droites passant par O.

Définition :

L’image d’un point M par l’homothétie de centre O et de rapport k>0 est le point M’ tel que :

M’ appartient à la demi-droite [OM);
$OM'=k\times OM$ .

Propriété :

Une homothétie conserve :

l’alignement;
la mesure des angles
le parallélisme.

Si k >0, alors l’homothétie multiplie :

les longueurs par k;
les aires par .

L’homothétie transforme une droite en une autre droite qui lui est parallèles.

Exemple :

Le rectangle A’B’C’D’ est l’image du rectangle ABCD par l’homothétie de centre O et de rapport k=3.

AB = 2 cm donc $A'B'=3\times AB=3\times 2=6\,cm$ .

$Aire_{ABCD}=2\,cm^2$ donc $Aire_{A'B'C'D'}=3^2\times 2=18\,cm^2$ .

Application 1 :

Construire les images du triangle par les homothéties de centre O et de rapport 3;-1 et – 2.

Remarque :

L’image du triangle de départ par l’homothétie de centre O et de rapport – 1 est en fait une symétrie centrale de centre O.

Application 2 :

Construire les images du trapèze rectangle ABCD par les homothéties de centre O et de rapport $\frac{2}{5}$ et – 0,8.

Application 3 :

On considère l’homothétie de centre O et de rapport k qui transforme la chaussure verte en la chaussure rouge.

Est-ce un agrandissement ou une réduction ? justifier votre réponse.
Quel est la valeur du rapport k?
Calculer l’aire de la chaussure rouge (arrondir le résultat au centième).

C’est un agrandissement car nous observons que EF = 3,64 cm et E’F’ = 1,46 cm.
$|k |=\frac{E'F'}{EF}=\frac{1,456}{3,64}=0,4$ donc comme $https://mathematiques-web.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?Aire_{A'B'C'D'E'F'G'H'I'}=k^2\times \,Aire_{ABCDEFGHI}=(-0,4)^2\times \,16,48=2,6368\approx\,2,64\,cm^2$

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