Homothétie de centre O et de rapport k : cours en troisième (3ème).

Mise à jour le 4 février 2020

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Un cours sur les homothéties avec définition de la transformation ainsi que les différentes propriétés de conservation puis les effets sur les agrandissements ou réductions de figures.

I.L’homothétie :

Définition :

Transformer une figure par une homothétie de centre O, c’est l’agrandir ou la réduire

en faisant glisser les points le long des droites passant par O.

Définition :

L’image d’un point M par l’homothétie de centre O et de rapport k>0 est le point M’ tel que :

M’ appartient à la demi-droite [OM);
$OM'=k\times OM$ .

Propriété :

Une homothétie conserve :

l’alignement;
la mesure des angles
le parallélisme.

Si k >0, alors l’homothétie multiplie :

les longueurs par k;
les aires par .

L’homothétie transforme une droite en une autre droite qui lui est parallèles.

Exemple :

Le rectangle A’B’C’D’ est l’image du rectangle ABCD par l’homothétie de centre O et de rapport k=3.

AB = 2 cm donc $A'B'=3\times AB=3\times 2=6\,cm$ .

$Aire_{ABCD}=2\,cm^2$ donc $Aire_{A'B'C'D'}=3^2\times 2=18\,cm^2$ .

Application 1 :

Construire les images du triangle par les homothéties de centre O et de rapport 3;-1 et – 2.

Remarque :

L’image du triangle de départ par l’homothétie de centre O et de rapport – 1 est en fait une symétrie centrale de centre O.

Application 2 :

Construire les images du trapèze rectangle ABCD par les homothéties de centre O et de rapport $\frac{2}{5}$ et – 0,8.

Application 3 :

On considère l’homothétie de centre O et de rapport k qui transforme la chaussure verte en la chaussure rouge.

Est-ce un agrandissement ou une réduction ? justifier votre réponse.
Quel est la valeur du rapport k?
Calculer l’aire de la chaussure rouge (arrondir le résultat au centième).

C’est un agrandissement car nous observons que EF = 3,64 cm et E’F’ = 1,46 cm.
$|k |=\frac{E'F'}{EF}=\frac{1,456}{3,64}=0,4$ donc comme » alt= »O\in[EE’] » align= »absmiddle » /> alors k<0 donc k= – 0,4.
$Aire_{A'B'C'D'E'F'G'H'I'}=k^2\times Aire_{ABCDEFGHI}=(-0,4)^2\times 16,48=2,6368\approx 2,64\,cm^2$

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I.L’homothétie :

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