Sommaire de cette fiche
ToggleI. La division euclidienne en arithmétique :
1.Division euclidienne :
On considère deux nombres entiers relatifs positifs a et b avec b non nul et a>b.Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est trouver l’unique couple d’entiers positifs (q,r) tel que :
avec
.
Si r=0, on dit que a est un multiple de b ou encore que b est un diviseur de a.
Exemple :
Prenons a=187 et b=13, on pose la division euclidienne pour obtenir q et r.
Donc avec 5<13.
2.Multiples et diviseurs en arithmétique :
Exemple :
Prenons a= 135 et b = 15.
On a .
Donc 135 est un multiple de 15 et 15 est un diviseur de 135.
Remarques :
- Un nombre entier a un nombre fini de diviseurs, mais un nombre infini de multiples.
- Un nombre entier supérieur à 1 admet toujours au moins deux diviseurs : 1 et lui-même.
3.Critères de divisibilité avec l’arithmétique :
On considère un entier positif non nul n.
- n est divisible par 2 si il se termine par 0,2,4,6, ou 8.
- n est divisible par 5 si il se termine par 0 ou 5.
- n est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
- n est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
Exemple :
- 915 n’est pas divisible par 2 car il se termine par 5.
- 915 n’est pas divisible par 4 car 15 ne l’est pas.
- 915 est divisible par 3 car
et 15 est divisible par 3.
II. Les nombres premiers avec l’arithmétique :
1.Définition :
On considère un nombre entier positif non nul n.L’entier n est un nombre premier si, et seulement si, il possède exactement deux diviseurs qui sont 1 et lui-même.
Exemples :
- La liste des nombres premiers inférieurs à 100 : 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37.
- 91 n’est pas un nombre premier car
donc il possède 4 diviseurs.
2.Décomposition en facteurs premiers :
On considère un entier n positif et supérieur à 1.L’entier n peut s’écrire sous la forme d’un produit de nombres premiers.
Nous avons , cette écriture, appelée décomposition en facteurs premiers de n, est unique, à l’ordre des facteurs près.
Exemples :
Exemple :
On veut décomposer l’entier 3 626 en produit de facteurs premiers.
3. Les fractions irréductibles :
soient a et b deux nombres entiers positifs tel que b soit non nul.Une fraction est irréductible lorsque l’on ne peut plus la simplifier.
La fraction est irréductible si, et seulement si, le plus grand commun diviseur, noté pgcd(a,b), des nombres a et b vaut 1.
Remarque :
Une fraction est irréductible lorsque le plus grand commun diviseur de a et b (noté pgcd(a,b)) vaut 1.
Exemple :
où
est une fraction irréductible car pgcd(12,259)=1.
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Résumé-Quiz
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Questions:
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- Examiner
-
Question 1 sur 13
1 842 est divisible par :
Exact
Inexact
-
Question 2 sur 13
Les diviseurs de 165 sont :
Exact
Inexact
-
Question 3 sur 13
27 est un diviseur de :
Exact
Inexact
-
Question 4 sur 13
La division euclidienne de 148 par 7 est :
Exact
Inexact
-
Question 5 sur 13
Le nombre de diviseurs de 90 est :
Exact
Inexact
-
Question 6 sur 13
Les nombres premiers inférieurs à 20 sont :
Exact
Inexact
-
Question 7 sur 13
285 est-il un nombre premier ?
Exact
Inexact
-
Question 8 sur 13
73 est-il un nombre premier ?
Exact
Inexact
-
Question 9 sur 13
8 613 est-il un nombre premier ?
Exact
Inexact
-
Question 10 sur 13
Quelle ou quelles écritures sont des décompositions en facteurs premiers ?
Exact
Inexact
-
Question 11 sur 13
La décomposition de 120 en produit de facteurs premiers est :
Exact
Inexact
-
Question 12 sur 13
La décomposition de 1 246 en produit de facteurs premiers est :
Exact
Inexact
-
Question 13 sur 13
La décomposition de 2 100 en produit de facteurs premiers est :
Exact
Inexact
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