Fonctions linéaires : cours de maths en 3ème avec leçon en PDF.

cours maths 3eme
Un cours sur les fonctions linéaires avec la définition, le vocabulaire et ses propriétés ainsi que l’étude des pourcentages. L’élève devra bien maîtriser la notion de proportionnalité qui amène à une fonction linéaire. développer des compétences en sachant calculer une image ou un antécédent, ou encore, tracer la courbe d’une fonction linéaire ou savoir déterminer la valeur du coefficient directeur en troisième.

I. Les fonctions linéaires :

1.Définition et vocabulaire

Définition :

Soit « a » un nombre fixé. En associant à chaque nombre « x » un nombre « ax » appelé « image de x », on définit une fonction linéaire de coefficient a.

On notera cette fonction ainsi :   f:x \mapsto   ax

L’image de x sera notée : f(x).

x est appelé l’antécédent de f(x)

Exemple :

Soit f est la fonction linéaire de coefficient 2.

On la note :    f:x \mapsto   2x

alors :

  • L’image de 5 est : f(5) = 2\times   5 = 10.
  • L’image de (-3) est : f(-3) = 2 \times   (-3) = -6.
  • L’image de 1 est : f(1) = 2 \times   1 = 2.

Remarque :

On peut regrouper ces résultats dans un tableau :

x 5 -3 1
f(x) 10 -6 2

C’est un tableau de proportionnalité. Et le coefficient de proportionnalité qui permet d’exprimer f(x) en fonction de x est  2 ! D’où l’égalité : f(x) = 2 x.

2.Représentation graphique :

Propriété et vocabulaire :

Soit f la fonction linéaire définie par :  f : x \mapsto   axL’ensemble des points de coordonnées (x ; ax)est appelé représentation graphique de la fonction linéaire.

Dans un repère, cette représentation est la droite passant par :

  • L’origine du repère.
  • Le point de coordonnées (1 ; a).

On dit que cette droite a pour équation : y = ax.

« a » est le coefficient directeur de la droite. Il indique « l’inclinaison » de la droite.

3.Sens de variation d’une fonction linéaire :

Propriété :
  • Si a>0 alors la fonction linéaire est croissante;
  • Si a<0 alors la fonction linéaire est décroissante.

Courbe d'une fonction linéaire

Remarque :

Si a = 0, la représentation la droite se confond avec l’axe des abscisses.

II. Fonctions linéaires et pourcentages

1.Pourcentages d’augmentation et de diminution

Propriété :
  • Augmenter un nombre de t % revient à multiplier ce nombre par k=1+\frac{t}{100}.
  • Diminuer un nombre de t% revient à multiplier ce nombre par k=1-\frac{t}{100}.

Exemples :
Si une boite de 400 g est vendue avec 25% de produit en plus, sa nouvelle masse (en g) est :

m = 400 \times    ( 1+\frac{4}{100}  ) = 400\times   1,25 =500, c’est à dire m = 500 g.

  • En France, une baisse de 4% a été enregistrée sur un effectif annuel de 750 000 naissances.
    Le nouvel effectif est :

N = 750 000 \times    ( 1-\frac{4}{100}  ) = 750 000\times   0,96=720\,000 c’est à dire N = 720 000.

2.Application des pourcentages aux fonctions linéaires

Prendre 5% de x. Augmenter x de 5%. Diminuer x de 5%.
Calcul à effectuer Multiplier par 0,05 Multiplier par 1,05 Multiplier par 0,95
Fonction linéaire f : x \mapsto   0,05 x g : x \mapsto   1,05 x h : x \mapsto   0,95 x
Exemple : Prendre 5% de 20 :

f(20) = 0,05 \times   20 = 1

Augmenter 20 de 5% :

g(20) = 1,05 \times   20 = 21

Diminuer 20 de 5% :

h(20) = 0,95 \times   20 = 19

Propriété :

De manière générale, on peut associer une fonction linéaire à toute variation de k %.Notons la fonction f qui à la valeur x de départ associe la valeur f(x) après variation.

  • Pour une augmentation de k %, nous avons  f(x)= ( 1+\frac{k}{100}  )x.
  • Pour une réduction de k %, nous avons f(x)= ( 1-\frac{k}{100}  )x.
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