Triangles : exercices de démonstration en cinquième (5ème)

Mise à jour le 7 février 2020

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Exercice 1 :

Soit ABC un triangle quelconque. On appelle I le milieu de [AB] et C’ le symétrique de C par rapport à I, puis J le milieu de [AC] et B’ le symétrique de B par rapport à J.

1) a) Démontrer que $\widehat{BAC}$ et $\widehat{ABC}$ ont la même mesure.

b) En reprenant exactement la même démonstration avec la symétrie de centre J, quel résultat analogue obtiendrait-on ? (on ne rédigera pas cette nouvelle démonstration et on considérera ce résultat comme acquis dans la suite de l’exercice)

2) a) Démontrer que (BC) et (AC’) sont parallèles.

c) Démontrer que C, A et B’ sont alignés

3) a) Déterminer $\widehat{BAC'}$ + $\widehat{BAC}$ + $\widehat{CAB'}$

b) En déduire la somme des mesures des trois angles du triangle ABC.

Exercice 2 :

Soit ABC un triangle rectangle en A. Montrer que $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$ sont complémentaires.

Exercice 3 :

Soit ABC un triangle tel que $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$ soient complémentaires. Montrer que ABC est rectangle en A.

Exercice 4 :

Soit ABC un triangle isocèle en A et d la médiatrice de [BC].

1) Montrer que A appartient à d.

2) Déterminer les images de A, B et C par la symétrie d’axe d.

3) Montrer que les angles à la base du triangle ABC sont de même mesure.

Exercice 5 :

Soit ABC un triangle isocèle en A et ayant un angle de 60°.

1er cas : L’angle de 60° est (BAC) ˆ: Déterminer $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$ . En déduire que ABC est équilatéral.

2ème cas : L’angle de 60° est $\widehat{ABC}$ : Déterminer $\widehat{ACB}$ et $\widehat{BAC}$ . En déduire que ABC est équilatéral.

3ème cas : L’angle de 60° est $\widehat{ACB}$ : Pourquoi est-il inutile d’étudier ce troisième cas ?

Exercice 6 :

Soit ABC un triangle quelconque et O le point d’intersection des médiatrices de [AB] et de [AC].

1) Montrer que OA = OB puis que OA = OC.

2) En déduire que O est le centre du cercle circonscrit au triangle.

3) En déduire également que O appartient aussi à la médiatrice de [BC]

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