cours maths 5eme

Calcul littéral : cours de maths en 5ème en PDF.

    Le calcul littéral à travers un cours de maths en  5ème  fait intervenir les notions suivantes :

– définition du calcul littéral;

– simplification d’expressions littérales;

– définition de développer et factoriser puis réduire une expression littérale;

– propriété de la simple distributivité.

L’élève devra connaître les règles d’écriture et de simplification d’une expression littérale ainsi que d’utiliser la simple distributivité afin de développer une expression algébrique.

Nous terminerons ce chapitre du calcul littéral en 5ème avec le développement des compétences sur la résolution de problèmes de la vie courante en classe de cinquième.

I. Expression littérale du calcul littéral

Définition :

On appelle expression algébrique ou encore, expression littérale, toute expression mathématiques contenant des lettres. Ces lettres représentent des nombres.

Exemples :

  • L’aire d’un carré de côté c s’exprime avec l’expression littérale A=c\times  \,c=c^2.
  • Un rectangle de longueur L et de largeur l a un périmètre qui s’exprime avec l’expression littérale P=2(L+l)=2\times  \,L+2\times  \,l.
Règle :

Nous ne noterons plus le signe \times  en calcul littéral :

  • entre deux lettres;
  • entre un nombre et une lettre;
  • avant l’ouverture d’une parenthèse;
  • après la fermeture d’une parenthèse.

Exemple :

  • Pour un rectangle de longueur L et de largeur l , son périmètre vaut  P=2(L+l)=2\times  \,L+2\times  \,l=2L+2l.
  • Un cercle de rayon R a pour périmètre P=2\pi\,R et pour aire A=\pi\,R^2.

Remarque :

  • On peut simplifier 1\times  ,x en x et 0\times  \,y en y.
  • L’expression 3\times  ,(p+2) peut s’écrire 3(p+2).
  • Attention : on ne peut pas supprimer le signe x entre deux nombres 3\times  \,5\neq\,35.
Définitions  : puissances.

On considère un nombre positif a.

a^2=a\times  \,a , a^2  se lit « a au carré« .

a^3=a\times  \,a\times  \,a , a^3  se lit « a au cube« .

Exemple :

Aire d’un carré de côté a est A=a\times  \,a=a^2.

Le volume d’un cube de côté a est V=a\times  \,a\times  \,a=a^3

II. Evaluer une expression littérale

Définition :

Pour calculer la valeur que prend une expression littérale, on substitue (remplace) la valeur de la lettre dans l’expression algébrique concernée.

Exemple :

Considérons l’expression littérale A=7x+1.

  • Si x=3 alors A=7x+1=7\times  \,3+1=21+1=22
  • Si x = -2 alors A=7x+1=7\times  \,(-3)+1=-14+1=-13

On dit que l’on substitue (remplace) la valeur de x.

On passe, ainsi, du calcul littéral au calcul numérique.

III. Tester une égalité

Propriété :

Pour tester une égalité, il faut :

  • substituer la lettre par sa valeur dans le premier membre de l’égalité (expression située à gauche du signe =);
  • substituer la lettre par sa valeur dans le second membre de l’égalité (expression située à gauche du signe =);
  • si les résultats sont égaux alors l’égalité est vraie;
  • si les résultats ne sont pas égaux alors l’égalité est fausse.

Exemple :

Considérons l’égalité 8x-9=x+19

  • x = 7 vérifie-t-il cette égalité ?

8x-9=8\times  \,7-9=56-9=47   et   x+19=7+19=26.

47\neq\,26 donc x = 7 ne vérifie pas cette égalité.

  • x = 7 vérifie-t-il cette égalité ?

8x-9=8\times  \,4-9=32-9=23  et  x+19=4+19=23.

Donc x = 4 vérifie  cette égalité.

IV. La simple distributivité du calcul littéral

Définition :

Développer une expression littérale, c’est l’écrire comme somme de termes.

Exemple :

A=7x+3-2x+2 est une forme développée.

Définition :

Factoriser une expression littérale, c’est l’écrire comme produit de facteurs.

Exemple :

B=7(x+2);C=(x-1)(x+6);D=3(x-3)(2x+7) sont des formes factorisées.

Définition :

Réduire une expression littérale, c’est regrouper tous les termes de même nature.

Exemples :

Réduire les expressions suivantes :

A=7n-3+11n+8=18x+5

B=y^2+3y+1+5y^2+2y+7=6y^2+5y+8

Propriété :

Soient k, a et b trois nombres relatifs :

  • k(a+b)=ka+kb.
  • k(a-b)=ka-kb

Exemple :

En utilisant la simple distributivité, développer les expressions littérales suivantes :

A=5(x+2)=5\times  \,x+5\times  \,2=5x+10\\B=2(y-4)=2x-8\\C=5(2p-3)=5\times  \,2p-5\times  \,3=10p-15\\D=4(r-1)+4r+9=4r-4+4r+9=8r+5

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