Symétrie centrale : cours de maths en 5ème avec leçon en PDF.

cours maths 5eme

Un cours de maths en classe de cinquième sur la symétrie centrale.

Cette leçon fait intervenir les notions suivantes :

– définition de la symétrie centrale;

– propriété de conservation des longueurs;

– propriété de conservation des mesures d’angles;

– conservation de l’alignement;

– conservation du parallélisme;

– transformation d’une droite en une autre droite parallèle;

– conservation du périmètre d’une figure;

– conservation de l’aire d’une figure géométrique.

L’élève devra savoir construire l(image d’une figure par une symétrie centrale de centre O mais également, utiliser les différentes propriétés de conservation pour effectuer des démonstrations en géométrie pour le niveau cinquième et tout au long de sa scolarité.

I. Définition de la symétrie centrale

1.Symétrie centrale et demi-tour

Définition :

Deux figures (F) et (F') sont symétriques par rapport à un point O lorsque l’onpeut passer de l’une à l’autre par un demi-tour de centre O, soit une rotation d’un angle de 180° et de centre O.

La figure (F') est appelée l’image de (F) par la symétrie centrale de centre O.

Exemple :

  • La figure F_2 est le symétrique de la figure F_1 par rapport au point O.
  • De même, la figure F_1 est le symétrique de la figure F_2 par rapport au point O.
  • Les figures F_1 et F_2 sont symétriques par rapport au point O.
  • On dit également que le point O est le centre de la symétrie qui transforme la figure F_1  en la figure F_2.

Définition de la symétrie

2.Symétrique d’un point

Définition :

On considère une symétrie centrale de centre O.

Le point M’ est l’image du point M par la symétrie centrale de centre O

si et seulement si le point O est le milieu du segment [MM’].

symétrique d'un point

Exemple :

  • Le symétrique de A par rapport à O est A’.
  • Le symétrique de A’ par rapport à O est A.
  • A et A’ sont symétriques par rapport à O.

Remarque :

Le symétrique de O par rapport à O est le point O lui-même.
Construction du symétrique

II.Les propriétés de la symétrie centrale

1.symétrique d’un segment

Propriété :
  • Le symétrique d’un segment par une symétrie centrale est un segment de même longueur.
  • La symétrie centrale conserve les longueurs de segments, les périmètres et les aires de figures géométriques.
Exemple :
  • Pour construire le symétrique du segment [CD] par rapport au point O, on construit le symétrique des points C et D, noté C’ et D’, par rapport au point O.
  • Par la symétrie de centre O, le symétrique du segment  [CD] est alors le segment [C’D’] .
  • Le symétrique du milieu d’un segment est le milieu du segment symétrique.

2.Symétrie d’une droite

Propriété :
  • L’image d’une droite par une symétrie centrale est une droite qui lui est parallèle.
  • La symétrie centrale transforme une droite en une autre droite qui lui est parallèle.

symétrie droite

3.Symétrique d’un polygone

Propriété :

La symétrie centrale conserve tout, principalement :

  • les longueurs;
  • les périmètres de figures;
  • les aires de figures;
  • les mesures d’angles;
  • le parallélisme;
  • l’orthogonalité.
Propriété :

Le symétrique d’un polygone est un polygone possédant le même nombre de côtés et ayant la même forme.

Pour construire le symétrique d’un polygone, on construit le symétrique de chaque côté puis,

on relie les sommets dans le bon ordre.

symétrique d'un polygone

4.Symétrique d’un cercle

Propriété :

Le symétrique d’un cercle est un   cercle de même rayon et ayant pour centre le symétrique du centre du premier cercle.

Remarque :

Pour construire le symétrique d’un arc de cercle par rapport à un point, on construit les symétriques du centre et des extrémités de l’arc de cercle symétrique.

III.Centre de symétrie d’une figure

Propriété :

Un point O est le centre de symétrie d’une figure (F) si l’image (F') de la figure est confondue avec (F).

exemple de centre de symétrie d'une figure

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