corrige

Corrigé des exercices sur le triangle en 5ème.

La somme des angles est un calcul fondamental à maîtriser dans ce chapitre sur le triangle.

Exercice 2 : 

Soit ABC un triangle rectangle en A. Montrer que \widehat{ABC} et \widehat{ACB} sont complémentaires.
\widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180 – 90 = 90° donc ces deux angles sont complémentaires.

Exercice 3 : 

Soit ABC un triangle tel que \widehat{ABC} et \widehat{ACB} soient complémentaires. Montrer que ABC est rectangle en A.
\widehat{CAB}=180-90=90 donc ABC est rectangle en A.

Exercice 4 : 

Soit ABC un triangle isocèle en A et d la médiatrice de [BC].
1) Montrer que A appartient à d.
ABC est isocèle en A donc AB=AC ainsi A est sur la médiatrice du segment [BC]

2) Déterminer les images de A, B et C par la symétrie d’axe d.
3) Montrer que les angles à la base du triangle ABC sont de même mesure.

Exercice 5 : 

Soit ABC un triangle isocèle en A et ayant un angle de 60°.
1er cas : L’angle de 60° est (BAC) ˆ: Déterminer \widehat{ABC} et \widehat{ACB}. En déduire que ABC est équilatéral.
Les angles à la base ont la même mesure donc 180-60=120 et 120:2=60 °

2ème cas : L’angle de 60° est \widehat{ABC} : Déterminer \widehat{ACB} et \widehat{BAC}. En déduire que ABC est équilatéral.
3ème cas : L’angle de 60° est \widehat{ACB} : Pourquoi est-il inutile d’étudier ce troisième cas ?

Exercice 6 :  

Soit ABC un triangle quelconque et O le point d’intersection des médiatrices de [AB] et de [AC].
1) Montrer que OA = OB puis que OA = OC.
D’après la propriété de la médiatrice comme O appartient à la médiatrice de [AB] alors OA=OB
et comme O appartient à la médiatrice de [AC] alors OA=OC . 

2) En déduire que O est le centre du cercle circonscrit au triangle.
Nous avons OA=OB et OA=OC donc par transitivité OA=OB=OC donc le cercle de centre O et de rayon OA passe par les trois sommets du triangle ABC, c’est son cercle circonscrit.

3) En déduire également que O appartient aussi à la médiatrice de [BC]
Comme OB=OC alors O appartient à la médiatrice du segment [BC].

Exercice 7 :

( C ) est un cercle de centre  O  et  de rayon  2 cm.

( C’ )  est un cercle de centre O’ et de rayon  3 cm.

Les deux cercles se coupent en A et B.

Médiatrice et cercle circonscrit à un triangle

Démontre que (OO’)  est la médiatrice de [AB].

Nous avons OA=OB car ce sont des rayons du cercle (C)donc O appartient à la médiatrice du segment [AB] et nous avons O’A=O’B car ce sont des rayons du cercle (C’) donc O’ appartient à la médiatrice du segment [AB].

Donc les points O et O’ appartiennent à la médiatrice du segment [AB], par unicité de la médiatrice d’un segment, on en déduit que (OO’) est la médiatrice du segment [AB].

Exercice 8 :

Expliquer pourquoi sur la figure ci-dessous (MN) perpendiculaire à (AB).

M est sur la médiatrice de [AB] et N aussi car MB=MA et NB=NA.

Donc la droite (MN) est la médatrice du segment [AB] ainsi par définition 

de la médiatrice d’un segment, on en déduit que  (MN) perpendiculaire à (AB).

Triangle

Exercice 9 :

Tracer un segment [AB].

Construire son milieu I sans utiliser de quadrillage ni d’instrument graduée.

Il suffit de tracer la médiatrice du segment [AB] à la règle non graduée et avec le compas.

Exercice 10 :

On donne une droite (d) et un point N qui n’est pas sur cette droite.

Construire deux points A et B de (d) tel que la médiatrice de [AB] passe par N.

Il faut construire le symétrique N’ par rapport à l’axe (d) et construire le losange NAN’B avec A et B sur D.

Triangle

Exercice 11 :

Le bon roi Gatovert a caché son épée magique.

Tu dois la retrouver sur le plan ci-dessous, sachant qu’il l’a enterrée à égale distance de son château C, de la vielle tour T et du lac au dragon L.

Il faut tracer le triangle TLC et deux médiatrices de ce triangle.

Son épée est au point d’intersection de ces deux médiatrices.

Carte au trésor et triangle

Exercice 12 :

a) Tracer trois points R, S et T non alignés.

Construire un point K à égale distance des trois points.

C’est le point d’intersection des médiatrices du triangle RST.

b) Comment s’appelle le point que tu as construit ? Y a-t-il plusieurs solutions ?

C’est le point d’intersection des médiatrices du triangle RST. Non, la solution est unique.

Exercice 13 :

a) Tracer un segment [AB] de longueur 3,8 cm.

Construire un triangle ABC sachant que côté [AC] mesure 5 cm et que le rayon du cercle circonscrit est de 3 cm.

b) Combien y a-t-il de triangles possibles ?

c) Construis-les tous.

Exercice 14 :

a) Construire les triangles EFG et MNP tels que :

· EF 8,4 cm, FG = 7,4 cm et EG = 6,3 cm ;

· MN 5,9 cm, NP = 6,5 cm et MP = 8 cm.

b) Tracer leur cercle circonscrit.

c) Quelle différence y-a-t-il entre les centres de ces deux cercles ?

Exercice 15 :

Construire à chaque fois le cercle circonscrit d’un triangle ABC :

a) AB 4,5 cm, BC 7 cm et  75°.

b) ABC est isocèle en A avec AB = 5 cm et  120°.

c) ABC est équilatéral ce côté 6 cm.

d) ABC est rectangle en A, avec AB = 5 cm et AC = 7 cm.

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