Nombres relatifs : cours de maths en 5ème avec leçon en cinquième.

cours maths 5eme

Les nombres relatifs en cinquième (5ème) avec une leçon qui fait intervenir les notions suivantes :

– définition d’un nombre relatif;

– signe et partie numérique d’un nombre relatif;

– droite graduée et repérage de nombres relatifs;

– comparaison de nombres relatifs;

– nombres opposés;

– coordonnées dans un repère orthogonal du plan;

– somme de deux nombres relatifs;

– différence de deux nombres relatifs.

L’élève devra connaître la définition d’un nombre relatif et capable de comparer deux nombres relatifs ainsi que de les ranger dans l’ordre croissant. développer des compétences en calcul avec l’addition et la soustraction de nombres relatifs ainsi que la représentation sur une droite graduée. Nous terminerons cette leçon par la représentation d’un point dans un repère du plan à l’aide de ses coordonnées (abscisse et ordonnée ) en classe de cinquième.

I. Les nombres relatifs

Définition :

Il existe deux type de nombres :

  • les nombres positifs qui sont les nombres supérieurs à zéro;
  • les nombres négatifs qui sont les nombres inférieurs à zéro.
Remarques :
  • + 3,2 est un nombre relatif positif, il peut aussi s’écrire 3,2.
  • – 5 est un nombre négatif. C’est un nombre entier relatif.
  • D’autres exemples de nombres relatifs positifs : +12; 0,5; \frac{3}{7};\pi.

II.Repérage sur une droite graduée

Définition :

Chaque point appartenant à une droite graduée peut être repéré par un nombre relatif appelé l’abscisse de ce point.

Par exemple, le point M d’abscisse +3 sera noté M(+3).

Définition :

Une droite graduée est une droite possédant une origine notée O dont l’abscisse est nulle et possédant une unité telle que OI=1 avec I le point d’abscisse 1.

  • L’abscisse de l’origine O est le nombre .
  • Les points A, B et C ont pour abscisses respectives -4; – 2,5; 4.
Définition :

On appelle distance à zéro (ou partie numérique) d’un nombre relatif, la partie de ce nombre privée de son signe.Sur une droite graduée, la distance à zéro d’un nombre relatif représenté par un point M est la distance OM.

Exemple :

  • La distance à zéro du nombre – 2,5 est la distance OB car B a pour abscisse – 2,5. Elle vaut donc 2,5.
  • La distance à zéro du nombre + 4 est la distance OC. Elle est donc égale à 4.
Définition :

On appelle nombres relatifs opposés, deux nombres relatifs ayant la même partie numérique mais ayant des signes contraires.

Exemple :

Les nombres + 7,2 et – 7,2 sont des nombres opposés.

Remarque :

Deux points d’abscisses opposées sont symétriques par rapport à l’origine.

III.Repérage dans le plan

Propriété :

On appelle repère orthogonal du plan la donnée de deux axes perpendiculaires sécant au point O.L’axe horizontal est appelé l’axe des abscisses.

L’axe vertical est appelé l’axe des ordonnées.

Le point d’intersection de ces deux axes est appelé l’origine du repère et est noté O.

Tout point M du plan peut être repéré par un couple de nombres relatifs appelé coordonnées du point dans le repère orthogonal du plan.

Le premier nombre relatif est l’abscisse du point M et le second est l’ordonnée du point M.

Exemple :

Le point H est repéré grâce aux nombres relatifs – 2 et 3.

– 2 est sur l’axe des abscisses et 3 est sur l’axe des ordonnées.

On dit que H a pour abscisse – 2 et pour ordonnées 3.

Le point H a pour coordonnées – 2 et 3 et on note H ( – 2; 3).

Remarques :

  • O a pour coordonnées (0;0).
  • Tout point placé sur l’axe  des abscisses a une ordonnée nulle, comme le point B(-4;0).
  • Tout point placé sur l’axe  des ordonnées a une abscisse nulle, comme le point F (0; – 2).

IV.Comparaison de nombres relatifs

Propriété :

Un nombre négatif est inférieur à un nombre positifSi deux nombres sont positifs, le plus grand est celui qui possède la plus grande partie numérique.

Si deux nombres sont négatifs, le plus grand est celui qui possède la plus petite partie numérique.

Exemples :

  • Les nombres 5,4 et 5,17 sont  deux nombres positifs.5,4 a la plus grande partie numérique donc 5,4 > 5,17.
  • Les nombres – 6 et – 3 sont négatifs et – 6 <  3 car – 3 a la plus petite partie numérique.

V.Addition de deux nombres relatifs

Règle :

On considère deux nombres relatifs.

Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, il faut :

  • conserver le signe en commun
  • additionner les parties numériques.

Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires, il faut :

  • conserver le signe du nombre ayant la plus grande partie numérique;
  • calculer la différence positive entre les deux parties numériques.

Exemple :

A =(-9) + (+12)

A = +3

B = (-17)+(+9)

B = – 8

Propriété :

La somme de deux nombres relatifs opposés est nulle.

Exemple :

A = (-8,3) + (+ 8,3) = 0

Propriété :

Pour effectuer la somme de plusieurs nombres relatifs, on effectue les calculs dans le sens de la lecture en appliquant la règle précédente.

Exemple :

A=(-3)+(+17)+(-9)\\A=(+14)+(-9)\\A=5

VI. Soustraction de deux nombres relatifs

Propriété :

Soustraire un nombre c’est lui ajouter son opposé.

Méthode :

Pour effectuer les soustractions de nombres relatifs dans une expression numérique, il faut :

  • Transformer les soustractions en additions;
  • Appliquer les règles de calculs précédentes pour l’addition.

Exemples :

A = (+17) – (-7)

A = (+ 17) + (+ 7)

A = 24

B=(+18)-(-5)+(+11)-(-6)\\B=(+18)+(+5)+(+11)+(+6)\\B=(+23)+(+11)+(+6)\\B=(+34)+(+6)\\B=40

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