sommaire
Les suites numériques à travers un cours de maths en 2de qu fait intervenir les notions suivantes :
- définition d’une suite;
- suite croissante, décroissante et monotonie d’une suite;
- suite convergente et divergente;
- monotonie d’une suite;
- limite d’une suite numérique;
- les suites adjacentes.
Pour bien comprendre ce chapitre, il faudra suivre le cours attentivement et reprendre les exercices.
I. Les suites numériques
1.Définition et vocabulaire
2. Notations et vocabulaire
L’écriture fonctionnelle u(n) est peu utilisée pour désigner l’image de l’entier naturel n par la fonction u. On lui préfère la notation indexée (ou indicée): .
Avec cette notation l’image de 0 est .
On appelle , le premier terme de la suite .
De même, est le second terme de la suite s.
De façon générale:
est le terme d’indice n ou de rang n de la suite .
On dit aussi que est le terme général de la suite .
On écrit aussi , pour indiquer qu’il s’agit de la suite dont le terme de rang n est où n .
Remarque:
Il arrive parfois que le premier terme d’une suite ne soit pas .
Par exemple :
n’existe pas pour n = 0.
La suite commence au rang 1.
On écrira alor n.
n’existe pas pour n = 0, ni pour n = 1.
La suite commence au rang 2.
Dans tous les cas de ce type-là, on précisera le sous-ensemble de où la suite est définie.
II.Diverses manières de définir une suite
1. Suites définies par une égalité fonctionnelle
Par exemple, la suite (n ), est la restriction à de la fonction f définie sur par . L’intérêt de cette remarque réside dans le fait que les propriétés déjà étudiées pour les fonctions de la variable réelle seront utilisables pour les suites.
2.Suite définie par une formule de récurrence
– Son premier terme .
– Une égalité reliant deux termes consécutifs quelconques de la suite .
Par exemple, la suite définie par son premier terme et la formule de récurrence vérifiée pour tout entier n: .
III. Les suites arithmétiques et géométriques:
1.Définitions et formules
Exemples:
- La suite des entiers naturels est la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 1.
- La suite des entiers naturels pairs est la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 2.
- La suite des entiers naturels impairs est la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2.
- La suite définie par la formule: Un = an + b (fonction affine de n) est la suite arithmétique de premier terme U0 = b et de raison a.
- La suite constante de terme général Un = 2 est la suite géométrique de premier terme 2 et de raison 1.
- La suite de terme général Un = (-1)n est la suite géométrique de premier terme U0 = 1 et de raison -1.
- La suite des puissances d’un nombre réel a non nul, de terme général Un = an est la suite géométrique de premier terme U0 = 1 et de raison a.
- La suite définie par la formule: Un = a bn (fonction exponentielle de n) est la suite géométrique de premier terme U0 = a et de raison b (b réel non nul).
2.Somme des termes des suites arithmétiques
Si est une suite arithmétique de premier terme et de raison r, on a:
Pour tout entier naturel n, on a:
3.Somme des n premiers entiers
4.Somme des termes d’une suite géométrique
Pour tout entier naturel n, et pour tout réel , on a:
Si est une suite géométrique de premier terme et de raison, on a:
.
IV. Principe du raisonnement par récurrence
-On vérifie que la propriété est vraie au départ pour un entier n = (on a souvent = 0).
– On prouve que la propriété est héréditaire, c’est à dire que:
Si la propriété est vraie pour un entier naturel quelconque , alors elle est encore vraie pour l’entier consécutif .
On en déduit alors, de proche en proche, que la propriété est vraie quel que soit l’entier naturel .
Télécharger ou imprimer cette fiche «suites numériques : cours de maths en terminale en PDF.» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
Réviser les cours et exercices avec nos Q.C.M :
D'autres ressources pour progresser en autonomie :
 Mathématiques Web c'est 2 253 851 fiches de cours et d'exercices téléchargées.