La trigonométrie : cours de maths en 2de à télécharger en PDF.

La trigonométrie à travers un cours de maths 2de et plus précisément sur les fonctions sinus et cosinus vous sera avantageux. Nous aborderons le cercle trigonométrique et la périodicité de ces fonctions ainsi que leur courbes représentatives respectives. Par la suite, nous découvrirons les formules de trigonométrie faisant intervenir le cosinus et le sinus.

I. Les fonctions trigonométriques

Dans cette leçon, $(O,\vec{u},\vec{v})$ est un repère orthonormal de sens direct.

Les points A et B sont donc sur le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.

1.Définition du sinus et du cosinus d’un nombre réel.

Définition :

A tout réel $\alpha$ , on associe le point M du cercle trigonométrique tel que l’angle orienté $(\vec{u},\vec{OM})$ mesure $\alpha$ radian(s).

Le cosinus et le sinus de $\alpha$ sont donc les coordonnées de M dans le repère $(O,\vec{u},\vec{v})$ .

On a: $M(cos\alpha\,,sin\,\alpha\,)$ c’est à dire : $\vec{OM}=cos\alpha\,\vec{u}+sin\alpha\,\vec{\,v}$ .

2.Premières propriétés en trigonométrie .

Propriétés :

Si $\alpha$ =0 alors le point du cercle trigonométrique associé à $\alpha$ est le point A(1 ; 0). Donc cos(0) = 1 et sin(0) = 0

Si $\alpha\,=\frac{\pi}{2}$ , alors le point du cercle trigonométrique associé à $\alpha$ est B(0 ; 1).Donc $cos(\frac{\pi}{2})=0$ et $sin(\frac{\pi}{2})=1$ .

Si $\alpha\,=\pi$ , alors x est associé à A'(-1 ;0). Donc $cos(\,\pi\,)=-1$ et $sin(,\pi,)=0$ .

Si $\alpha\,=-\frac{\pi}{2}$ alors $\alpha$ est associé à B'(0 ;-1). Donc $cos(-\frac{\pi}{2})=0$ et $sin(-\frac{\pi}{2})=-1$ .

Si $\alpha$ est un réel alors pour tout entier relatif k, les réels $\alpha$ et $\alpha\,+2k\pi$ sont associés au même point M.
En effet ce sont deux mesures de l’angle orienté .
Donc, pour tout nombre réel x et tout entier relatif k, on a:

$cos(\,\alpha\,+2k\pi)\,=\,cox(\,\alpha\,)$

$sin(\,\alpha\,+2k\pi)\,=\,sin(\,\alpha\,)$

On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période $2\pi$ , car T = $2\pi$ est le plus petit réel strictement positif tel que: cos ( $\alpha$ + T) = cos $\alpha$ et sin ( $\alpha$ + T) = sin $\alpha$ .

Le théorème de Pythagore permet de prouver l’égalité:
$(sin\,\alpha\,)^2\,+\,(cos\,\alpha)^2\,=\,1$ que l’on écrit aussi sous la forme: $sin^2\,\alpha\,+\,cos^2\,\alpha\,=\,1$ .

3.Signe du sinus et du cosinus en trigonométrie

Par définition, le sinus et le cosinus de tout nombre réel appartiennent à l’intervalle [-1 ; 1].

Plus précisément, la position de M nous permet d’en savoir plus sur le cosinus et le sinus de $\alpha$ .

Propriétés :

On a :

Si $\alpha\,\in[0+2k\pi,\pi+\,2k\pi]$ alors $sin\alpha\,\geq\,\,0$ .
Si $\alpha\,\in[-\frac{\pi}{2}+2k\pi\,\frac{\pi}{2}+\,2k\pi]$ alors $cos\alpha\,\geq\,\,0$ .