Trigonométrie : cours de maths en 2de et leçon en seconde.

sommaire

1 I. Les fonctions trigonométriques
2 II. Cosinus et sinus d’angles remarquables.
3 III. Visualisation des sinus et cosinus sur le cercle trigonométrique.
4 IV. Formules usuelles concernant les angles associés.
5 V. Représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus

Un cours de maths en seconde (2de) sur la trigonométrie et plus précisément sur les fonctions sinus et cosinus. Nous aborderons le cercle trigonométrique et la périodicité de ces fonctions ainsi que leur courbes représentatives respectives.
Par la suite, nous découvrirons les formules de trigonométrie faisant intervenir le cosinus et le sinus.

I. Les fonctions trigonométriques

Dans cette leçon, $(O,\vec{u},\vec{v})$ est un repère orthonormal de sens direct.

Les points A et B sont donc sur le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.

1.Définition du sinus et du cosinus d’un nombre réel.

Définition :

A tout réel $\alpha$ , on associe le point M du cercle trigonométrique tel que l’angle orienté $(\vec{u},\vec{OM})$ mesure $\alpha$ radian(s).

Le cosinus et le sinus de $\alpha$ sont donc les coordonnées de M dans le repère $(O,\vec{u},\vec{v})$ .

On a: $M(cos\alpha\,,sin\,\alpha\,)$ c’est à dire : $\vec{OM}=cos\alpha\,\vec{u}+sin\alpha\,\vec{\,v}$ .

2.Premières propriétés.

Propriétés :

Si $\alpha$ =0 alors le point du cercle trigonométrique associé à $\alpha$ est le point A(1 ; 0). Donc cos(0) = 1 et sin(0) = 0

Si $\alpha\,=\frac{\pi}{2}$ , alors le point du cercle trigonométrique associé à $\alpha$ est B(0 ; 1).Donc $cos(\frac{\pi}{2})=0$ et $sin(\frac{\pi}{2})=1$ .

Si $\alpha\,=\pi$ , alors x est associé à A'(-1 ;0). Donc $cos(\,\pi\,)=-1$ et $sin(,\pi,)=0$ .

Si $\alpha\,=-\frac{\pi}{2}$ alors $\alpha$ est associé à B'(0 ;-1). Donc $cos(-\frac{\pi}{2})=0$ et $sin(-\frac{\pi}{2})=-1$ .

Si $\alpha$ est un réel alors pour tout entier relatif k, les réels $\alpha$ et $\alpha\,+2k\pi$ sont associés au même point M.
En effet ce sont deux mesures de l’angle orienté .
Donc, pour tout nombre réel x et tout entier relatif k, on a:

$cos(\,\alpha\,+2k\pi)\,=\,cox(\,\alpha\,)$

$sin(\,\alpha\,+2k\pi)\,=\,sin(\,\alpha\,)$

On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période $2\pi$ , car T = $2\pi$ est le plus petit réel strictement positif tel que: cos ( $\alpha$ + T) = cos $\alpha$ et sin ( $\alpha$ + T) = sin $\alpha$ .

Le théorème de Pythagore permet de prouver l’égalité:
$(sin\,\alpha\,)^2\,+\,(cos\,\alpha)^2\,=\,1$ que l’on écrit aussi sous la forme: $sin^2\,\alpha\,+\,cos^2\,\alpha\,=\,1$ .

3.Signe du sinus et du cosinus.

Par définition, le sinus et le cosinus de tout nombre réel appartiennent à l’intervalle [-1 ; 1].

Plus précisément, la position de M nous permet d’en savoir plus sur le cosinus et le sinus de $\alpha$ .

Propriétés :

On a :

Si $\alpha\,\in[0+2k\pi,\pi+\,2k\pi]$ alors $sin\alpha\,\geq\,\,0$ .
Si $\alpha\,\in[-\frac{\pi}{2}+2k\pi\,\frac{\pi}{2}+\,2k\pi]$ alors $cos\alpha\,\geq\,\,0$ .

II. Cosinus et sinus d’angles remarquables.

Tous ces résultats à connaître parfaitement sont résumés dans le tableau ci-dessous:

III. Visualisation des sinus et cosinus sur le cercle trigonométrique.

C’est un outil indispensable, qu’il est utile de bien visualiser afin d’être capable de retrouver rapidement les valeurs indiquées ci-dessous.

IV. Formules usuelles concernant les angles associés.

Propriétés :

Pour tout réel x, on a:

$cos(-x)\,=\,cos(x)$ et $sin(-x)\,=\,-sin(x)$ .

La fonction cosinus est donc paire et la fonction sinus est impaire.

Propriétés :

Pour tout réel x, on a:

cos( $\pi$ – x) = – cos(x) et sin( $\pi$ – x) = sin(x).

Propriétés :

Pour tout réel x, on a:

cos( $\pi$ + x) = – cos(x) et sin( $\pi$ + x) = – sin(x).

Propriétés :

Pour tout réel x, on a:

cos( $\frac{\pi}{2}+x$ ) = – sin(x) et sin( $\frac{\pi}{2}+x$ ) = cos(x).

Propriétés :

Pour tout réel x, on a:

cos( $\frac{\pi}{2}-x$ ) = sin(x) et sin( $\frac{\pi}{2}-x$ ) = cos(x).

V. Représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus

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I. Les fonctions trigonométriques

1.Définition du sinus et du cosinus d’un nombre réel.

2.Premières propriétés.

3.Signe du sinus et du cosinus.

II. Cosinus et sinus d’angles remarquables.

III. Visualisation des sinus et cosinus sur le cercle trigonométrique.

IV. Formules usuelles concernant les angles associés.

V. Représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus

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