sommaire

1 Vecteurs et repères en seconde (2de)
- 1.1 Série d’exercices sur les vecteurs et repères

Vecteurs et repères en seconde (2de)

Des exercices de maths sur les vecteurs et les repères en seconde (2de)vous aident à maîtriser ce chapitre clé de mathématiques de la seconde. Ainsi, un vecteur est une quantité physique qui a une direction et une norme. Par conséquent, on peut représenter un vecteur par des coordonnées cartésiennes dans un repère orthonormal, c’est-à-dire un repère dans lequel les axes sont orthogonaux (perpendiculaires) et ont des longueurs égales.

Série d’exercices sur les vecteurs et repères

Exercice 1 :

Soit ABCD un trapèze convexe tel que : (AB)//(DC), AB = 5 et DC = 7.

1) a) A partir de ces hypothèses, montrer que $\vec{DC}=\frac{7}{5}\vec{AB}$

b) Exprimer $\vec{AC}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AD}$ .

2) On considère le point E tel que 5 $\vec{EC}$ = 2 $\vec{DE}$

a) Déterminer $\vec{DE}$ en fonction de $\vec{DC}$ , puis placer E.

b) Montrer que les segments [AE] et [BD] ont même milieu.

3) A chaque réel x , on fait correspondre le point M tel que $\vec{AM}$ = x $\vec{AB}$ + $\vec{AD}$ .

a) Pour quelle valeur de x le point M est-il le symétrique de C par rapport à D ?

b) Exprimer $\vec{DM}$ en fonction de $\vec{AB}$ . Sur quelle ligne se déplace le point M lorsque x varie ?

Exercice 2 :

Soit ABC un triangle et x un réel.

A chaque valeur de x on associe les points E et F tels que : $\vec{AE}=\frac{1}{3}\vec{AB}\,+x\vec{AC}$ et $\vec{AF}=x\vec{AB}\,+\frac{1}{3}\vec{AC}$

1) Construire E et F pour $x=-\frac{1}{2}$ .

2) Montrer que, pour tout x de $\mathbb{R}$ , $\vec{EF}$ est colinéaire à $\vec{BC}$ .

3) Pour quelles valeurs de x a-t-on :

a) E = F ?

b) BCFE est un parallélogramme ?

Exercice 3 :

Soit ABCD un quadrilatère, on défini les points M et N par : $\vec{AM}=a\vec{AB}$ et $\vec{DN}=a\vec{DC}$ ( a étant un réel)

1) Montrer que pour tout réel a , on a : $\vec{MN}=a\vec{BC}\,+(1-a)\vec{AD}$

2) Que dire de MBCN si ABCD est un parallélogramme ?

Exercice 4 :

Soit un réel a et un triangle RST. Soit aussi les points M, N et U définis par
$\vec{RM}=\frac{1}{4}\vec{RS}\,+(a+\frac{5}{2})\vec{RT}$ ; $\vec{RN}=(a+2)\vec{RS}\,+\frac{3}{4}\vec{RT}$ ; $\vec{RU}=\,\frac{3}{4}\vec{RS}\,-(a+\,\frac{3}{2})\vec{RT}$

1) Placer les points M, N et U lorsque a = 0.

2) Démontrer que pour tout réel a , les vecteurs $\vec{MN}$ et $\vec{ST}$ sont colinéaires. Que peut-on en déduire ?

3) Démontrer que pour tout réel a , SMTU est un parallélogramme

Exercice 5 :

Soit ABC un triangle.

1) On donne G tel que $\vec{GA}\,+2\vec{GB}\,+3\vec{GC}\,=\vec{0}$ .
Déterminer $\vec{CG}$ en fonction de $\vec{CA}$ et $\vec{CB}$ puis construire G.

2) Soit H tel que $\vec{AH}\,=\frac{2}{3}\vec{AB}$ , montrer que G est le milieu de [HC]

3) Montrer que pour tout point M, $\vec{MA}+2\vec{MB}\,+3\vec{MC}\,=6\vec{MG}$ .

4) Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que :

a) $\,\|\,\vec{MA}+2\vec{MB}\,+3\vec{MC}\,\,\|=6AB$ .

b) $\vec{MA}+2\vec{MB}\,+3\vec{MC}$ est colinéaire à $\vec{BC}$ .

Exercice 6 :

Recopier et compléter les égalités suivantes avec le nombre réel manquant.

Exercice 7 :

1.A partir de la figure, citer un vecteur :

a) opposé à $\vec{CD}$ .

b) de même direction et de même sens que $\vec{AC}$ .

c) de même direction que $\vec{BC}$ mais de sens contraire.

d) égal au vecteur $\vec{BA}$ .

Exercice 8 :

A partir de la figure :

Donner les images des points C, D, E par la translation de vecteur $\vec{AB}$ .
Citer trois vecteurs égaux au vecteur $\vec{AB}$ .
Citer les trois parallélogrammes définis par les trois égalités vectorielles du 2.