cours maths 2de

Vecteurs et repérage dans le plan et translation : cours en 2de en PDF.

Cours sur les vecteurs et la translation, nous reverrons le repérage dans le plan et les coordonnées dans un repère orthonormé ainsi que les coordonnées d’un vecteur.

A la fin de cette leçon, l’élèves devra avoir acquis les savoir-faire suivants :

  • Savoir calculer la longueur d’un segment dans un repère orthonormé;
  • Savoir déterminer les coordonnées du milieu d’un segment;
  • Savoir déterminer si deux vecteurs sont égaux avec ou sans coordonnées;
  • Savoir déterminer, demander, affecter une valeur et afficher une variable dans un algorithme.
  • Milieu d’un segment;
  • Distance entre deux points ou norme d’un vecteur du plan;
  • Egalité de vecteurs (coordonnées, parallélogramme, vecteurs et milieu).

I. Notion de vecteur et translation

1.Translation de vecteur \vec{AB}

Définition :

Soient A et B deux points du plan.

La translation qui transforme A en B associe à tout point du plan C le point D tel que les segments [AD] et [BC] aient le même milieu.

On l’appelle la translation de vecteur \vec{AB}  , souvent notée  t_{\vec{AB}}.

Remarque :

Le quadrilatère ABDC est alors un parallélogramme, éventuellement aplati.

Construire l’image du point C et celle du point N par la translation de vecteur \vec{AB}.

Image d'un point par translation

2. Vecteurs égaux

Définition :

Deux vecteurs \vec{AB}   et   \vec{CD}    sont égaux si la translation qui transforme A en B transforme également C en D.

On note    \vec{AB}=\vec{CD}.

vecteurs égaux

Propriété :

Deux vecteurs et sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.

3.Représentant d’un vecteur

Définition :

La translation de vecteur \vec{AB} transforme aussi C en D, E en F.

On a \vec{AB}=\vec{CD}=\vec{EF} .

Ils sont les représentants d’un même vecteur, que l’on peut noter \vec{u} par exemple.

4.Vecteurs particuliers

Définitions :

Le vecteur nul, associé à la translation qui transforme A en A, B en B, C en C….

Nous avons \vec{AA}=\vec{BB}=\vec{CC}=\vec{0}

Le vecteur opposé au vecteur  \vec{AB}  est le vecteur associé à la translation qui

transforme B en A : c’est le vecteur \vec{BA}.

Nous avons \vec{BA}=-\vec{AB}.

Définition du milieu d’un segment :

Le point I est le milieu du segment [AB], si et seulement si, \vec{AI}=\vec{IB}.

II.Coordonnées dans un repère orthonormé du plan

Dans un repère orthonormé du plan (O,\vec{i},\vec{j}), on considère un vecteur \vec{u} et M l’image du point O par la translation de vecteur \vec{u}.

1.Définition et propriétés

Définition :

Les coordonnées du vecteur \vec{u} sont les coordonnées du point M tel que :

\vec{OM}=\vec{u}.

On note \vec{u}\binom\,{x}{y} ou \vec{u} ( x;y  ).

Remarque :

Le vecteur nul a pour coordonnées \vec{0}\binom\,{0}{0}.

Propriété :

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées dans le même repère.

2.Coordonnées d’un vecteur dans le plan

Définition :

Dans un repère orthornormé du plan, Soient A et B les points de coordonnées  A\binom\,{x_A}{y_A} et B\binom\,{x_B}{y_B}.

Les coordonnées du vecteurs  coordonnées du \vec{AB} sont \vec{AB}\binom\,{x_B-x_A}{y_B-y_A}.

3.Norme d’un vecteur.

Définition :

La norme d’un vecteur \vec{u} est la longueur du vecteur  \vec{u} que l’on note  \| \vec{u } \|.

Dans un repère orthonormé du plan  :

Si \vec{u}\binom\,{x}{y} alors   \| \vec{u } \|=\sqrt{x^2+y^2}.

Remarque :

Cette égalité provient du théorème de Pythagore.

4. Distance entre deux points ou longueur d’un segment

Propriété :

Dans un repère orthonormé du plan.

Si A\binom\,{x_A}{y_A} et B\binom\,{x_B}{y_B} alors   \| \vec{AB } \|=\sqrt{ (x_B-x_A )^2+(y_B-y_A)^2}.

5.Coordonnées du milieu d’un segment

Propriété :

Le point I est le milieu du segment [AB] a pour coordonnées :

I\binom\,{\frac{x_A+x_B}{2}}{\frac{y_A+y_B}{2}}


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