Cours sur les vecteurs et la translation, nous reverrons le repérage dans le plan et les coordonnées dans un repère orthonormé ainsi que les coordonnées d’un vecteur.
A la fin de cette leçon, l’élèves devra avoir acquis les savoir-faire suivants :
- Savoir calculer la longueur d’un segment dans un repère orthonormé;
- Savoir déterminer les coordonnées du milieu d’un segment;
- Savoir déterminer si deux vecteurs sont égaux avec ou sans coordonnées;
- Savoir déterminer, demander, affecter une valeur et afficher une variable dans un algorithme.
- Milieu d’un segment;
- Distance entre deux points ou norme d’un vecteur du plan;
- Egalité de vecteurs (coordonnées, parallélogramme, vecteurs et milieu).
I. Notion de vecteur et translation
1.Translation de vecteur 
Soient A et B deux points du plan.
La translation qui transforme A en B associe à tout point du plan C le point D tel que les segments [AD] et [BC] aient le même milieu.
On l’appelle la translation de vecteur , souvent notée
.
Remarque :
Le quadrilatère ABDC est alors un parallélogramme, éventuellement aplati.
Construire l’image du point C et celle du point N par la translation de vecteur .
2. Vecteurs égaux
Deux vecteurs et
sont égaux si la translation qui transforme A en B transforme également C en D.
On note .
Deux vecteurs et sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.
3.Représentant d’un vecteur
La translation de vecteur transforme aussi C en D, E en F.
On a .
Ils sont les représentants d’un même vecteur, que l’on peut noter par exemple.
4.Vecteurs particuliers
Le vecteur nul, associé à la translation qui transforme A en A, B en B, C en C….
Nous avons
Le vecteur opposé au vecteur est le vecteur associé à la translation qui
transforme B en A : c’est le vecteur .
Nous avons .
Le point I est le milieu du segment [AB], si et seulement si, .
II. Coordonnées dans un repère orthonormé du plan
Dans un repère orthonormé du plan , on considère un vecteur
et M l’image du point O par la translation de vecteur
.
1.Définition et propriétés
Les coordonnées du vecteur sont les coordonnées du point M tel que :
.
On note ou
.
Remarque :
Le vecteur nul a pour coordonnées .
Propriété :
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées dans le même repère.
2.Coordonnées d’un vecteur dans le plan
Dans un repère orthonormé du plan, Soient A et B les points de coordonnées et
.
Les coordonnées du vecteurs coordonnées du sont
.
3.Norme d’un vecteur.
La norme d’un vecteur est la longueur du vecteur
que l’on note
.
Dans un repère orthonormé du plan :
Si alors
.
Remarque :
Cette égalité provient du théorème de Pythagore.
4. Distance entre deux points ou longueur d’un segment
Dans un repère orthonormé du plan.
Si et
alors
.
5.Coordonnées du milieu d’un segment
Le point I est le milieu du segment [AB] a pour coordonnées :
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