cours maths 2de

Les fonctions usuelles : cours de maths en seconde (2de)

Un cours de mathématiques sur les fonctions usuelles en seconde (2de).

Ce cours de maths sur les fonctions usuelles fait intervenir les notions suivantes :

– définition d’une fonction numérique;

– image et antécédent;

– ensemble ou domaine de définition d’une fonction;

– fonction affine et linéaire;

– fonction carrée;

– fonction racine carrée;

– fonction inverse;

– fonction puissance.

Ce cours de mathématiques sur les fonctions usuelles est à télécharger gratuitement au format PDF.

I.Les fonctions linéaires :

1.Définition :

Définition:

On appelle fonction linéaire, toute fonction définie par :

f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\\ \,\,\,\,\, x \mapsto ax  où a est un réel donné.

2.Représentation graphique

Propriété :

Dans un repère orthonormé du plan , la représentation graphique d’une fonction linéaire définie sur \mathbb{R} par f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\\ \,\,\,\,\, x \mapsto ax  est la droite D d’équation y=ax passant par l’origine du repère (a est un réel donné).

courbe fonction linéaire 2de

Propriétés :
  • Si a = 0, la fonction linéaire est la fonction nulle sur \mathbb{R}, nous avons pour tout x, f(x)=0.
  • Si a>0 , la fonction linéaire  est strictement croissante sur \mathbb{R}.
  • Si a<0 , la fonction linéaire est strictement décroissante sur \mathbb{R}.

3.Propriété caractéristique des fonctions linéaires

Propriété :

Si f est une fonction linéaire, alors quels que soient les réels m et p, le taux de variation entre m et p est constant.

Plus précisément, si , alors, quels que soient les réels m et p : a=\frac{f(m)-f(p)}{m-p}.

Ce nombre a constant est le coefficient directeur de la droite D représentative de la fonction f.

II.Les fonctions affines :

1.Définition :

Définition :

On appelle fonction affine, toute fonction définie par :

f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\\ \,\,\,\,\, x \mapsto mx+p   où m et p sont des réels donnés.

2.Représentation graphique

Propriété :

Dans un repère orthonormé du plan , la représentation graphique d’une fonction affine définie sur \mathbb{R} par f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\\ \,\,\,\,\, x \mapsto mx+p  est la droite D d’équation y=mx+pm et p sont des réels donnés.

courbe fonction affine 2de

Propriété :
  • Si m = 0, la fonction affine est une fonction constante sur \mathbb{R}, nous avons pour tout x, f(x)=p.
  • Si m>0 , la fonction affine est strictement croissante sur \mathbb{R}.
  • Si m<0 , la fonction affine est strictement décroissante sur \mathbb{R}.

3.Propriété caractéristique des fonctions affines

Propriété :

Si f est une fonction affine, alors quels que soient les réels a et b, le taux de variation entre a et b est constant.

Plus précisément, si , alors, quels que soient les réels a et b : m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

Ce nombre m constant est le coefficient directeur de la droite D représentative de la fonction f.

Le nombre p est appelé l’ordonnée à l’origine. Nous avons p=f(0).

4.Fonctions affines particulières:

Propriétés :

Si p=0 alors la fonction affine est linéaire.

Dans ce cas f(x) est proportionnel x (m est le coefficient de proportionnalité).

Les graphiques des fonctions linéaires sont des droites qui passent par l’origine du repère . Elles ont pour équation: y=mx.

Si m=0 alors la fonction affine est constante . Nous avons pour tout x, f(x)=p.

Les graphiques des fonctions constantes sont des droites parallèles à l’axe des abscisses . Elles ont pour équation: y=p.

III.La fonction carrée :

1.Définition :

Définition :

On appelle fonction carrée, toute fonction définie par :

f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\\ \,\,\,\,\, x \mapsto x^2  .

2.Représentation graphique

Propriétés :

Dans un repère orthonormé du plan , la représentation graphique de la  fonction carrée définie sur \mathbb{R} par f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\\ \,\,\,\,\, x \mapsto x^2  est la droite parabole d’équation y=x^2 .

fonction carrée

Propriété :
  • La fonction carrée est strictement croissante sur [0;+\infty[.
  • La fonction carrée est strictement décroissante sur ]-\infty;0].

IV.La fonction cube :

1.Définition :

Définition :

On appelle fonction cube, toute fonction définie par :

f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\\ \,\,\,\,\, x \mapsto x^3 .

2.Représentation graphique

Propriété :

Dans un repère orthonormé du plan , la représentation graphique de la  fonction cube définie sur \mathbb{R} par f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\\ \,\,\,\,\, x \mapsto x^3  est la courbe d’équation y=x^3 .

fonction cube

Propriété :
  • La fonction cube est strictement croissante sur [0;+\infty[.
  • La fonction cube est strictement croissante sur ]-\infty;0].

V.La fonction inverse :

1.Définition :

Définition :

On appelle fonction inverse, toute fonction définie par :

f:\mathbb{R^*}\to \mathbb{R}\\ \,\,\,\,\, x \mapsto \frac{1}{x} .

2.Représentation graphique

Propriété :

Dans un repère orthonormé du plan , la représentation graphique de la  fonction inverse définie sur \mathbb{R^*} par f:\mathbb{R^*}\to \mathbb{R}\\ \,\,\,\,\, x \mapsto \frac{1}{x}  est la courbe d’équation y= \frac{1}{x} .

fonction inverse

Propriété :
  • La fonction inverse est strictement décroissante sur [0;+\infty[.
  • La fonction cube est strictement décroissante sur ]-\infty;0].

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