Fonctions usuelles : cours de maths en 2de à télécharger en PDF.

Sommaire de cette fiche

Les fonctions usuelles à travers un cours de maths en 2de complet qui vous permettra de bien progresser tout au long de l’année. Cette leçon fait intervenir les notions suivantes :

définition d’une fonction numérique;
image et antécédent;
ensemble ou domaine de définition d’une fonction;
fonction affine et linéaire;
fonction carrée;
fonction racine carrée;
fonction inverse;
fonction puissance.

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I. Les fonctions linéaires :

1.Définition :

Définition:

On appelle fonction linéaire, toute fonction définie par :

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\\ \,\,\,\,\, x \mapsto ax$ où a est un réel donné.

2.Représentation graphique

Propriété :

Dans un repère orthonormé du plan , la représentation graphique d’une fonction linéaire définie sur $\mathbb{R}$ par $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\\ \,\,\,\,\, x \mapsto ax$ est la droite D d’équation y=ax passant par l’origine du repère (a est un réel donné).

Propriétés :

Si a = 0, la fonction linéaire est la fonction nulle sur $\mathbb{R}$ , nous avons pour tout x, f(x)=0.
Si a>0 , la fonction linéaire est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
Si a<0 , la fonction linéaire est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ .

3.Propriété caractéristique des fonctions linéaires

Propriété :

Si f est une fonction linéaire, alors quels que soient les réels m et p, le taux de variation entre m et p est constant.

Plus précisément, si , alors, quels que soient les réels m et p : $a=\frac{f(m)-f(p)}{m-p}$ .

Ce nombre a constant est le coefficient directeur de la droite D représentative de la fonction f.

II. Les fonctions affines :

1.Définition :

Définition :

On appelle fonction affine, toute fonction définie par :

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\\ \,\,\,\,\, x \mapsto mx+p$ où m et p sont des réels donnés.

2.Représentation graphique

Propriété :

Dans un repère orthonormé du plan , la représentation graphique d’une fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\\ \,\,\,\,\, x \mapsto mx+p$ est la droite D d’équation y=mx+p où m et p sont des réels donnés.

Propriété :

Si m = 0, la fonction affine est une fonction constante sur $\mathbb{R}$ , nous avons pour tout x, f(x)=p.
Si m>0 , la fonction affine est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
Si m<0 , la fonction affine est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ .

3.Propriété caractéristique des fonctions affines

Propriété :

Si f est une fonction affine, alors quels que soient les réels a et b, le taux de variation entre a et b est constant.

Plus précisément, si , alors, quels que soient les réels a et b : $m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .

Ce nombre m constant est le coefficient directeur de la droite D représentative de la fonction f.

Le nombre p est appelé l’ordonnée à l’origine. Nous avons p=f(0).

4.Fonctions affines particulières:

Propriétés :

Si p=0 alors la fonction affine est linéaire.

Dans ce cas f(x) est proportionnel x (m est le coefficient de proportionnalité).

Les graphiques des fonctions linéaires sont des droites qui passent par l’origine du repère . Elles ont pour équation: y=mx.

Si m=0 alors la fonction affine est constante . Nous avons pour tout x, f(x)=p.

Les graphiques des fonctions constantes sont des droites parallèles à l’axe des abscisses . Elles ont pour équation: y=p.

III. La fonction carrée :

1.Définition :

Définition :

On appelle fonction carrée, toute fonction définie par :

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\\ \,\,\,\,\, x \mapsto x^2$ .

2.Représentation graphique

Propriétés :

Dans un repère orthonormé du plan , la représentation graphique de la fonction carrée définie sur $\mathbb{R}$ par $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\\ \,\,\,\,\, x \mapsto x^2$ est la droite parabole d’équation y=x^2 .

Propriété :

La fonction carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ .
La fonction carrée est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$ .

IV. La fonction cube :

1.Définition :

Définition :

On appelle fonction cube, toute fonction définie par :

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\\ \,\,\,\,\, x \mapsto x^3$ .

2.Représentation graphique

Propriété :

Dans un repère orthonormé du plan , la représentation graphique de la fonction cube définie sur $\mathbb{R}$ par $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\\ \,\,\,\,\, x \mapsto x^3$ est la courbe d’équation y=x^3 .

Propriété :

La fonction cube est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ .
La fonction cube est strictement croissante sur $]-\infty;0]$ .

V. La fonction inverse :

1.Définition :

Définition :

On appelle fonction inverse, toute fonction définie par :

$f:\mathbb{R^*}\to \mathbb{R}\\ \,\,\,\,\, x \mapsto \frac{1}{x}$ .

2.Représentation graphique

Propriété :

Dans un repère orthonormé du plan , la représentation graphique de la fonction inverse définie sur $\mathbb{R^*}$ par $f:\mathbb{R^*}\to \mathbb{R}\\ \,\,\,\,\, x \mapsto \frac{1}{x}$ est la courbe d’équation $y= \frac{1}{x}$ .

Propriété :

La fonction inverse est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$ .
La fonction cube est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$ .

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