Trigonométrie et relations métriques : cours en 1ère en PDF.

sommaire

1 I. Les fonctions de la trigonométrie
2 II. Cosinus et sinus d’angles remarquables en trigonométrie.
3 III.Visualisation des sinus et cosinus sur le cercle trigonométrique.
4 IV.Formules usuelles concernant les angles associés.
5 V.Représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus

La trigonométrie avec un cours de maths en 1ère reposant aussi sur les relations métriques dans un triangle quelconque. Parmi celles-ci, vous avez les relations d’Al-Kashi, théorème de Pythagore généralisé. Cette leçon est à télécharger gratuitement au format PDF.

I. Les fonctions de la trigonométrie

Dans cette leçon, $(O,\vec{u},\vec{v})$ est un repère orthonormal de sens direct.

Les points A et B sont donc sur le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.

1.Définition du sinus et du cosinus d’un nombre réel.

Définition :

A tout réel $\alpha$ , on associe le point M du cercle trigonométrique tel que l’angle orienté $(\vec{u},\vec{OM})$ mesure $\alpha$ radian(s).

Le cosinus et le sinus de $\alpha$ sont donc les coordonnées de M dans le repère $(O,\vec{u},\vec{v})$ .

On a: $M(cos\alpha\,,sin\,\alpha\,)$ c’est à dire : $\vec{OM}=cos\alpha\,\vec{u}+sin\alpha\,\vec{\,v}$ .

2.Premières propriétés en trigonométrie .

Propriétés :

Si $\alpha$ =0 alors le point du cercle trigonométrique associé à $\alpha$ est le point A(1 ; 0). Donc cos(0) = 1 et sin(0) = 0

Si $\alpha\,=\frac{\pi}{2}$ , alors le point du cercle trigonométrique associé à $\alpha$ est B(0 ; 1).Donc $cos(\frac{\pi}{2})=0$ et $sin(\frac{\pi}{2})=1$ .

Si $\alpha\,=\pi$ , alors x est associé à A'(-1 ;0). Donc $cos(\,\pi\,)=-1$ et $sin(\,\pi\,)=0$ .

Si $\alpha\,=-\frac{\pi}{2}$ alors $\alpha$ est associé à B'(0 ;-1). Donc $cos(-\frac{\pi}{2})=0$ et $sin(-\frac{\pi}{2})=-1$ .

Si $\alpha$ est un réel alors pour tout entier relatif k, les réels $\alpha$ et $\alpha\,+2k\pi$ sont associés au même point M.
En effet ce sont deux mesures de l’angle orienté .
Donc, pour tout nombre réel x et tout entier relatif k, on a:

$cos(\,\alpha\,+2k\pi)\,=\,cox(\,\alpha\,)$

$sin(\,\alpha\,+2k\pi)\,=\,sin(\,\alpha\,)$

On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période $2\pi$ , car T = $2\pi$ est le plus petit réel strictement positif tel que: cos ( $\alpha$ + T) = cos $\alpha$ et sin ( $\alpha$ + T) = sin $\alpha$ .

Le théorème de Pythagore permet de prouver l’égalité:
$(sin\,\alpha\,)^2\,+\,(cos\,\alpha)^2\,=\,1$ que l’on écrit aussi sous la forme: $sin^2\,\alpha\,+\,cos^2\,\alpha\,=\,1$ .

3.Signe du sinus et du cosinus.

Par définition, le sinus et le cosinus de tout nombre réel appartiennent à l’intervalle [-1 ; 1].

Plus précisément, la position de M nous permet d’en savoir plus sur le cosinus et le sinus de $\alpha$ .

Propriétés :

On a :

Si $\alpha\,\in[0+2k\pi,\pi+\,2k\pi]$ alors $sin\alpha\,\geq\,\,0$ .
Si $\alpha\,\in[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+\,2k\pi]$ alors $cos\alpha\,\geq\,\,0$ .

II. Cosinus et sinus d’angles remarquables en trigonométrie.

Tous ces résultats à connaître parfaitement sont résumés dans le tableau ci-dessous:

III.Visualisation des sinus et cosinus sur le cercle trigonométrique.

C’est un outil indispensable, qu’il est utile de bien visualiser afin d’être capable de retrouver rapidement les valeurs indiquées ci-dessous.

IV.Formules usuelles concernant les angles associés.

Propriétés :

Pour tout réel x, on a:

cos(–x) = cos(x) et sin(–x) = –sin(x).

La fonction cosinus est donc paire et la fonction sinus est impaire.

Propriétés :

Pour tout réel x, on a:

cos( $\pi$ – x) = – cos(x) et sin( $\pi$ – x) = sin(x).

Propriétés :

Pour tout réel x, on a:

cos( $\pi$ + x) = – cos(x) et sin( $\pi$ + x) = – sin(x).

Propriétés :

Pour tout réel x, on a:

cos( $\frac{\pi}{2}+x$ ) = – sin(x) et sin( $\frac{\pi}{2}+x$ ) = cos(x).

Propriétés :

Pour tout réel x, on a:

cos( $\frac{\pi}{2}-x$ ) = sin(x) et sin( $\frac{\pi}{2}-x$ ) = cos(x).

V.Représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus

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