Dérivée : exercices de maths corrigés en PDF en 1ère S

exercices maths 1ere

Des exercices de mathématiques sur la dérivée d’une fonction numérique en première S ont été rédigés par un enseignant de l’éducation nationale.

Vous retrouverez dans ces exercices  sur la dérivée, les notions suivantes :

– limite du taux d’accroissement;

– dérivée et nombre dérivée en un point;

– dérivée d’une somme, d’un produit et d’un quotient;

– dérivée d’une fonction usuelle;

– tangente à une courbe et nombre dérivée.

Exercice 1 :

Déterminer sur quel ensemble est dérivable chacune des fonctions suivantes, puis déterminer sa dérivée.

a)f: x \mapsto   5x^2- 3x+ 2 définie sur \mathbb{R}.

b)g:x \mapsto   100+\frac{1}{x}  définie sur \mathbb{R}^*.
c)h:x \mapsto   x\sqrt{x} définie sur [0;+\infty[.

d)j:x \mapsto   \frac{12-5x}{9x+2} définie sur \mathbb{R} - \{-\frac{2}{9} \}.

Exercice 2 :

Soit g la fonction définie sur \mathbb{R} par  g:x\mapsto   (-9x+ 1)^5.

Déterminer sur quel ensemble elle est dérivable puis déterminer sa dérivée.
Exercice 3 :

La fonction f est représentée par la courbe rouge ci-dessous.

Quel est le taux de variation de f entre 2 et 5 ?

Exercice 4 :

Sur le graphique ci-dessous la tangente en A(-2; 1) à la courbe

représentative d’une fonction f définie sur [-4 ; 9] passe par le point B(1 ; 6).
Déterminer f ‘ (-2).

Exercice 5 :

Soit f la fonction définie sur [0;+\infty[ par f:x \mapsto   \sqrt{x}-3
et h un nombre réel non nul.
1. Montrer, à l’aide de l’identité remarquable
(a – b)(a + b) = a² – b², que le taux de variation de f entre 9 et 9 + h est égal à
\frac{1}{\sqrt{9+h}+3}.

2. En déduire que la fonction est dérivable en 9 et déterminer f ‘ (9).
Exercice 6 :

La courbe d’une fonction g définie sur [-3 ; 5] est représentée ci-dessous.

La tangente à cette courbe au point A d’abscisse 3 passe par le point de coordonnées (-3 ; 6).
Que vaut g(3) ? Que vaut g ‘ (3) ?

Exercice 7 :

Chacune des fonctions suivantes est de la forme d’une somme de deux fonctions u + v.

Dans chaque cas, identifier les fonctions u et v, et donner leurs ensembles de dérivabilité.

En déduire sur quel ensemble la fonction « somme » est dérivable,

puis déterminer l’expression de sa fonction dérivée.

f:x \mapsto   \frac{1}{x}+x              g:x \mapsto   -5+\frac{1}{x^2}            h:x \mapsto   x^4+x^2

Exercice 8 :

Utiliser GeoGebra pour répondre aux questions suivantes

portant sur la fonction f:x \mapsto   \frac{-9}{2x^2-4x+3}.

1. Saisir l’équation de la courbe représentative de f:
«y=-9/(22-4x+ 3)».

2. Placer un point sur la courbe.

3. Tracer la tangente à la courbe en ce point.

4. Afficher le coefficient directeur de la tangente.

5. En sélectionnant le point et en le plaçant à la bonne abscisse,

déterminer une valeur approchée de f ‘ (-2) ; f ‘ (-1); f ‘(0) ; f ‘ (1) et f ‘(2).

Exercice 9 :

Soit g une fonction dérivable sur R. On a le tableau de valeurs suivant.

1. Dans un repère orthonormé placer les points de coordonnées (x; g(x)).

2. Construire en chacun de ces points les tangentes à la courbe C_g  représentative de la fonction g.

3. Représenter une allure possible de C_g.
Exercice 10 :

On a représenté la courbe C d’une fonction f en rouge et la courbe C' de sa fonction dérivée f ‘ en bleue.
Déterminer une valeur approchée du coefficient directeur de la tangente à 6 au point A d’abscisse 2.

Exercice 11 :

Déterminer pour chacune des fonctions suivantes, l’ensemble I sur lequel elle est dérivable,

puis sa fonction dérivée sur I.

a)f(x)=\frac{5}{2x}+\frac{3}{4}-\frac{7x^2}{4}        b)g(x)=\frac{-4}{5x}(x-11)

c)h(x)=\frac{5x^2-8x+1}{21-7x}          d)j(x)=\frac{-5}{3x^2+2}

e)k(x)=\frac{9x}{x^2-6x+5}            f)m(x)=\sqrt{10-x}

Exercice 12 :

La courbe représentative d’une fonction f définie sur R passe par les points A et B.

Quel est le taux de variation de f entre —1 et 1 ?

exercices dérivée 1

Soit fla fonction définie sur \mathbb{R} par f: x \mapsto   11x- 7 et h  un nombre réel non nul.
Déterminer le taux de variation de f entre 3 et 3 + h.

Exercice 13 :

Soit f une fonction définie sur \mathbb{R} et h un nombre réel non nul.
On sait que \frac{f(-7+h)-f(-7)}{h}=\frac{5}{3}(4h+9).
Peut-on dire que la fonction f est dérivable en -7 ? Si oui, déterminer f'(- 7).

Exercice 14 :

Soit g une fonction définie sur \mathbb{R} et x un nombre réel proche de 3 mais différent de 3.

On sait que \frac{g(x) - g(3)}{x-3}=2x+3.
Peut-on dire que la fonction g est dérivable en 3 ? Si oui, déterminer g'(3).

Exercice 15 :

La courbe d’une fonction g définie sur [- 3 ; 5] est représentée ci-dessous.
La tangente à cette courbe au point A d’abscisse 3 passe par le point de coordonnées (- 3 ; 6).
Que vaut g(3) ? Que vaut g'(3)?

exercices dérivée 4

Exercice 16 :

Soit f une fonction dérivable sur \mathbb{R} telle que f'(2) =-1 et f '(0) = 2.

Soit C_f sa courbe représentative dans le repère ci-dessous.
Reproduire la courbe C_f (en plaçant quelques points importants et en respectant l’allure) et tracer la tangente à C_f au point d’abscisse 2 et la tangente à C_f au point d’abscisse 0.

exercices dérivée 5

Exercice 17 :

Pour chacune des fonctions suivantes, dire sur quel ensemble elle est dérivable, puis déterminer l’expression de sa fonction dérivée.
f:x \mapsto   x^4; g:x \mapsto   x^{12};h:x \mapsto   x^{-1};

Chacune des fonctions suivantes est de la forme d’une somme de deux fonctions u + v.

Dans chaque cas, identifier les fonctions u et v, et donner leurs ensembles de dérivabilité.

En déduire sur quel ensemble la fonction « somme»  est dérivable, puis déterminer l’expression de sa fonction dérivée.

f:x \mapsto   \frac{1}{x}+x ; g:x \mapsto   -5+\frac{1}{x^2};h:x \mapsto   x^4+x^2;

Exercice 18 :

Chacune des fonctions suivantes est de la forme d’un produit de deux fonctions u \times   v.

Dans chaque cas, identifier les fonctions u et v, et donner leurs ensembles de dérivabilité.
En déduire sur quel ensemble la fonction « produit » est dérivable, puis déterminer l’expression de sa fonction dérivée.

f:x \mapsto  \frac{1}{x}(9-6x); g:x \mapsto   x^2\sqrt{x};h:x \mapsto   (x^5+x^3)(x^2-4);

Exercice 19 :

Soit f la fonction définie sur I=]-4;+\infty[ par f:x \mapsto   \frac{1}{2x+8}.

1.f est de la forme \frac{1}{v}.
Donner l’expression de la fonction v et résoudre l’équation v(x)=0.

2. En utilisant le théorème de la dérivée de l’inverse d’une fonction, démontrer que la fonction f est dérivable sur I et donner l’expression de sa dérivée f'.

Exercice 20 :

Soit h la fonction définie sur I=]-4;+\infty[ par h:x \mapsto   \sqrt{-3x+12}.
1. h est une fonction composée de deux fonctions g et f dans cet ordre.
Donner l’expression des fonctions g et f.
2. En utilisant le théorème de la dérivée d’une fonction composée, démontrer que la fonction h est dérivable sur l.
3. Déterminer l’expression de f'(x) pour tout réel strictement positif x et celle de g'(x) pour tout réel x de I.
4. En déduire l’expression de la dérivée h'.

Exercice 21 :

Dans le repère orthonormé (O ; i, J) ci-dessous, la courbe rouge C_f représente une
fonction f définie et dérivable sur \mathbb{R}, les droites tracées en bleu représentent les
tangentes à C_f respectivement au point O, au point B d’abscisse 1 et au point C d’abscisse
3.

exercices dérivée 11

1. Déterminer graphiquement f'(0), f'(l) et f '(3).
2. Déterminer l’équation réduite de la tangente à C_f au point C.
3. La courbe C_f  est la représentation graphique de la fonction f: x \mapsto   x^3-4x^2 +2x.
Retrouver par le calcul les résultats des questions 1. et 2.




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