Dérivée : cours de maths en 1ère à télécharger en PDF.

sommaire

1 I. Nombre dérivé et dérivée d’une fonction
2 II. Fonction dérivable sur un intervalle I
3 III. Equation de la tangente et approximation affine de f au voisinage de x = a
4 IV.La dérivée des fonctions usuelles.
5 V.Les formules de dérivation

La dérivée d’une fonction à travers un cours de maths en 1ère à assimiler.

Cette leçon fait intervenir les notions suivantes :

– définition de la dérivée en un point;

– aspect graphique de la dérivée;

– taux d’accroissement;

– dérivée d’une fonction usuelle;

– dérivée d’une somme;

– dérivée d’un produit;

– dérivée d’un quotient.

Ce document a été rédigé par un enseignant de l’éducation nationale.

I. Nombre dérivé et dérivée d’une fonction

f est une fonction définie sur un intervalle I.

La courbe (C) ci-dessous est la représentation graphique de f dans un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

M et N sont deux points de (C) d’abscisses respectives $a\in\,I$ et $x\,=\,a\,+\,h\,\in\,I$ où $h\in\,\mathbb{R}^*$ .

Définition 1

Si f est une fonction définie sur un intervalle I et si $a\in\,I$ .
Lorsqu’il existe un nombre réel d tel que, pour tout réel h proche de 0, on ait:

$\lim_{h\,\to\,0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=d$

On dit que la fonction f est dérivable en a et que d = f ‘(a) est le nombre dérivé de f en a.

Définition 2

Si f est une fonction définie sur un intervalle I et si a $\in$ I.
Lorsqu’il existe un nombre réel d tel que, pour tout réel x $\in$ I et proche de a, on ait:

$\lim_{x,\to,a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=d$

On dit que la fonction f est dérivable en a et que d = f ‘(a) est le nombre dérivé de f en a.

II. Fonction dérivable sur un intervalle I

Définition :

On dit que f est dérivable sur un intervalle I lorsqu’elle est dérivable en tout point de I

Remarques sur les notations et les « manies des physiciens »

Les physiciens expriment la différence h = x – a par la le symbole $\Delta\,x$ (accroissement de la variable x au voisinage du point a) et la différence f(x) – f(a) par $\Delta\,y$ ( accroissement correspondant entre les images de x et de a qu’ils assimilent aux ordonnées y).

Avec ces notations, ils écrivent alors au voisinage de a: $\lim_{\Delta\,x\,\to\,0}\frac{\,\Delta\,y}{\Delta\,x\,}=f'(a)$ .

De façon générale, sur un intervalle I, en notant « y » la fonction « f », la fonction dérivée de y sera notée: $f'=\frac{dy}{dx}$ .

Historiquement, la notation $f\,'(x)$ est due à Newton et la notation différentielle $\frac{dy}{dx}$ provient de Leibniz.

III. Equation de la tangente et approximation affine de f au voisinage de x = a

En reprenant les données du début de la leçon et l’illustration graphique et en supposant que la fonction f est dérivable en a:
La tangente (MP) à la courbe (C) en M d’abscisse a existe.Elle a pour coefficient directeur m = f ‘(a).Son équation est donc de la forme: y = mx + p, où m = f ‘(a) et son ordonnée à l’origine p est à calculer.
Pour cela, il suffit d’écrire que (MP) passe par M( a ; f(a) ).On a donc: $f(a)\,=,f\,'(a)\,\times \,a\,+\,p$

.
Ceci donne: $p\,=\,f(a)\,-\,a\,f\,'(a)$ .

Donc y = f ‘(a) x + f(a) – a f ‘(a) que l’on écrit souvent sous l’une des formes, plus faciles à retenir:

$\mathbf{y\,=\,f\,'(a)\,(x-a)\,+\,f(a)}$ ou $\mathbf{y\,-\,f(a)\,=\,f\,'(a)\,(x-a)}$ .

Donc, la tangente (MP) à la courbe (C) en M est la représentation graphique de la fonction affine g:

$g:x\,\mapsto \,f'(a)(x-a)+f(a)$

Montrons que cette fonction affine est une approximation de la fonction f lorsque x est proche de a.
En effet, l’ordonnée du point P d’abscisse x = a + h est: $g(x)\,=\,f\,'(a)\,(x-a)\,+\,f(a)$ .

Elle s’écrit aussi: $g(a\,+\,h)\,=\,f\,'(a)\,(a\,+\,h\,-\,a)\,+\,f(a)$ , c’est à dire: $g(a\,+\,h)\,=\,f(a)\,+\,h\,f\,'(a)$ .

Or, f(a+h) = f(a) + h f ‘(a) + h $\varphi$ (h) avec $\lim_{h\,\to\,0}\varphi\,(h)=\,0$ .

On en déduit que, lorsque h est voisin de zéro, on a: f(a+h) $\approx$ f(a) + h f ‘(a).

On peut donc conclure que, lorsque x est voisin de a, la fonction affine $g:x\,\mapsto \,f'(a)(x-a)+f(a)$ est une approximation de la fonction .

On peut même montrer, mais nous l’admettrons ici, que c’est la meilleure approximation affine de f au voisinage de a.

IV.La dérivée des fonctions usuelles.

V.Les formules de dérivation

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «dérivée d’une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

Vous devez vous inscrire ou vous connecter à votre compte afin de pouvoir télécharger ce document au format PDF.

Réviser les cours et exercices avec nos Q.C.M :

Q.C.M en 6ème Q.C.M en 5ème Q.C.M en 4ème Q.C.M en 3ème Q.C.M en 2de Q.C.M en 1ère Q.C.M en Terminale

D'autres ressources pour progresser en autonomie :

Chronomètre Horloge France Tables Multiplication Arrondir des décimaux Rapporteur et Angles Médiatrice Symétrie Axiale d'un triangle Symétrie Centrale d'un triangle Translation d'un triangle Rotation Homothétie Bissectrice Tracer droite parallèle Conversion Aires et Volumes Addition de deux relatifs Soustraction Relatifs Addition et soustraction de trois relatifs Produit Deux Relatifs Produit Trois Relatifs Quotient Relatifs Carré Entier Racine Carrée Théorème Pythagore Liste Diviseurs Décomposition Facteurs Premiers Calcul du PGCD PGCD Algorithme Euclide Test Nombre Premier Déterminer Fonction Linéaire Déterminer Fonction Affine Traceur Courbe Trigonométrie Angle Trigonométrie Longueur Périmètre d'un Cercle Aire d'un Disque Volume du Parallélépipède Rectangle Volume du cylindre Surface d'une Sphère et Volume d'une boule Volume d'une pyramide à base rectangulaire Section d'une pyramide Visualiser Section Cône en 2D Section d'un Cône Carte Mondiale Coordonnées Géographiques

Mathématiques Web c'est 2 253 953 fiches de cours et d'exercices téléchargées.