Dérivée : Cours Maths 1ère S et leçon en PDF en première.

sommaire

1 I. Nombre dérivé et dérivée d’une fonction
2 II. Fonction dérivable sur un intervalle I
3 III. Equation de la tangente et approximation affine de f au voisinage de x = a
4 IV.La dérivée des fonctions usuelles.
5 V.Les formules de dérivation

Cours de maths sur la dérivée d’une fonction.

Ce cours de maths sur la dérivée en première S est à télécharger gratuitement au format PDF.

Cette leçon fait intervenir les notions suivantes :

– définition de la dérivée en un point;

– aspect graphique de la dérivée;

– taux d’accroissement;

– dérivée d’une fonction usuelle;

– dérivée d’une somme;

– dérivée d’un produit;

– dérivée d’un quotient.

Ce cours de maths a été rédigé par un enseignant de l’éducation nationale.

I. Nombre dérivé et dérivée d’une fonction

f est une fonction définie sur un intervalle I.

La courbe (C) ci-dessous est la représentation graphique de f dans un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

M et N sont deux points de (C) d’abscisses respectives $a\in I$ et $x = a + h \in I$ où $h\in \mathbb{R}^*$ .

Définition 1

Si f est une fonction définie sur un intervalle I et si $a\in I$ .
Lorsqu’il existe un nombre réel d tel que, pour tout réel h proche de 0, on ait:

$\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=d$

On dit que la fonction f est dérivable en a et que d = f ‘(a) est le nombre dérivé de f en a.

Définition 2

Si f est une fonction définie sur un intervalle I et si a $\in$ I.
Lorsqu’il existe un nombre réel d tel que, pour tout réel x $\in$ I et proche de a, on ait:

$\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=d$

On dit que la fonction f est dérivable en a et que d = f ‘(a) est le nombre dérivé de f en a.

II. Fonction dérivable sur un intervalle I

Définition :

On dit que f est dérivable sur un intervalle I lorsqu’elle est dérivable en tout point de I

Remarques sur les notations et les « manies des physiciens »

Les physiciens expriment la différence h = x – a par la le symbole $\Delta x$ (accroissement de la variable x au voisinage du point a) et la différence f(x) – f(a) par $\Delta y$ ( accroissement correspondant entre les images de x et de a qu’ils assimilent aux ordonnées y).

Avec ces notations, ils écrivent alors au voisinage de a: $\lim_{\Delta x \to 0}\frac{ \Delta y}{\Delta x }=f'(a)$ .

De façon générale, sur un intervalle I, en notant « y » la fonction « f », la fonction dérivée de y sera notée: $f'=\frac{dy}{dx}$ .

Historiquement, la notation est due à Newton et la notation différentielle $\frac{dy}{dx}$ provient de Leibniz.

III. Equation de la tangente et approximation affine de f au voisinage de x = a

En reprenant les données du début de la leçon et l’illustration graphique et en supposant que la fonction f est dérivable en a:
La tangente (MP) à la courbe (C) en M d’abscisse a existe.

Elle a pour coefficient directeur m = f ‘(a).

Son équation est donc de la forme: y = mx + p, où m = f ‘(a) et son ordonnée à l’origine p est à calculer.
Pour cela, il suffit d’écrire que (MP) passe par M( a ; f(a) ).

On a donc: $f(a) = f '(a) \times a + p$ .
Ceci donne: .

Donc y = f ‘(a) x + f(a) – a f ‘(a) que l’on écrit souvent sous l’une des formes, plus faciles à retenir:

$\mathbf{y = f '(a) (x-a) + f(a) }$ ou $\mathbf{y - f(a) = f '(a) (x-a)}$ .

Donc, la tangente (MP) à la courbe (C) en M est la représentation graphique de la fonction affine g:

$g:x \mapsto f'(a)(x-a)+f(a)$

Montrons que cette fonction affine est une approximation de la fonction f lorsque x est proche de a.
En effet, l’ordonnée du point P d’abscisse x = a + h est: .

Elle s’écrit aussi: , c’est à dire: .

Or, f(a+h) = f(a) + h f ‘(a) + h $\varphi$ (h) avec $\lim_{h \to 0}\varphi (h)= 0$ .

On en déduit que, lorsque h est voisin de zéro, on a: f(a+h) $\approx$ f(a) + h f ‘(a).

On peut donc conclure que, lorsque x est voisin de a, la fonction affine $g:x \mapsto f'(a)(x-a)+f(a)$ est une approximation de la fonction .

On peut même montrer, mais nous l’admettrons ici, que c’est la meilleure approximation affine de f au voisinage de a.

IV.La dérivée des fonctions usuelles.

V.Les formules de dérivation

4.5/5 - (2 votes)

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF

Télécharger ou imprimer cette fiche «dérivée : Cours Maths 1ère S et leçon en PDF en première» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

Télécharger nos applications gratuites Mathématiques Web avec tous les cours,exercices corrigés.

D'autres articles analogues à dérivée : Cours Maths 1ère S et leçon en PDF en première

Mathématique web est un site de mathématiques destinés aux élèves et professeurs du collège (6ème, 5ème, 4ème et 3ème) au lycée (2de, 1ère et terminale. Vous trouverez sur ce site de nombreuses ressources vous permettant de vous familiariser avec les mathématiques. Toutes les cours de maths sont rédigés par des professeurs et sont conformes aux programmes officiels de l'éducation nationale.
Comment réussir en maths ?
Une question régulièrement posée, comme le dit le dicton rien ne tombe du ciel. Afin de combler vos lacunes en mathématiques et d'envisager une progression constante tout au long de l'année scolaire et analogues à dérivée : Cours Maths 1ère S et leçon en PDF en première.
Pour celà, il faudra maitriser le contenu de votre leçon (définitions, théorèmes et propriétés) et vous exercer régulièrement sur les milliers d'exercices de maths disponibles sur notre site et vous pourrez également, consulter le corrigé de chaque exercice afin de repérér vos différentes erreurs et par conséquent, développer des compétences en maths.
De nombreux exercices de maths pour tous les niveaux similaires à ceux de votre manuel scolaire ainsi que, toutes les leçons du collège au lycée rédigées par des enseignants titutaires de l'éducation nationale similaires à dérivée : Cours Maths 1ère S et leçon en PDF en première.
En complément, vous trouverez de nombreux exercices de programmation et d'algorithme réalisés avec le programme scratch ainsi que de nombreux sujets de contrôles de maths afin de vous préparer le jour d'un devoir surveillé en classe.
Toutes les fiches ( cours et exercices) sont à télécharger gratuitement en PDF afin de pouvoir les imprimer librement sur des supports similaires à ceux de votre manuel scolaire.

Les fonctions et leurs variations : cours de maths en 1ère S en PDF.
91
Un cours de maths en première S sur les fonctions numériques.Cette leçon sur les fonctions et leurs variations en première S fait intervenir les notions suivantes : - définition d'une fonction; - définition de l'image et de l'antécédent; - définition de l'ensemble de définition; - courbe représentative d'une fonction; -…
Les équations et inéquations du second degré : cours de maths en 1ère S en PDF
90
Un cours de maths sur les équations et inéquations du second degré en première S. Ce cours de mathématiques en première S a été rédigé par un enseignant de l'éducation nationale.Ce cours de maths sur les équations et inéquations fait intervenir les notions suivantes : - définition d'une équation et…
Fonction exponentielle : Cours Maths 1ère S et leçon en première en PDF.
86
I. Existence et unicité d'une fonction f vérifiant f ' = f et f(0) = 1. propriété Si t est une fonction définie et dérivable sur R telle que t' = ret f(O) = 1, alors f ne s'annule gas sur R. On considére la fonction g définie, pour tout…
Trigonométrie et relations métriques en 1ère S : cours en PDF en première
83
Un cours de maths en première S sur les relations métriques dans un triangle quelconque. Ce cours de maths sur les relations métriques (relations d'Al-Kashi, théorème de Pythagore généralisé) Cette leçon est à télécharger gratuitement au format pdf. I.Les fonctions trigonométriques Dans cette leçon, est un repère orthonormal de sens…
Probabilités : Cours Maths 1ère S et leçon en PDF en première
82
Ce cours de maths sur les probabilités est à télécharger gratuitement au format pdf. I. Probabilité de réaliser l'événement B sachant que l'événement A est réalisé Définition — Soit A et B deux événements d'un méme univers Q tels que p(A) O_ La probabilitéde B sachant que A est réalisé…

Les dernières fiches mises à jour

Mathématiques Web c'est 2 048 880 fiches de cours et d'exercices téléchargées.
Rejoignez les 46 075 membres de Mathématiques Web, inscription gratuite.