Dérivée : cours de maths en1ère S et leçon en PDF en première

cours maths 1ere

Cours de maths sur la dérivée d’une fonction.

Ce cours de maths sur la dérivée en première S est à télécharger gratuitement au format PDF.

Cette leçon fait intervenir les notions suivantes :

– définition de la dérivée en un point;

– aspect graphique de la dérivée;

– taux d’accroissement;

– dérivée d’une fonction usuelle;

– dérivée d’une somme;

– dérivée d’un produit;

– dérivée d’un quotient.

Ce cours de maths a été rédigé par un enseignant de l’éducation nationale.

I. Nombre dérivé et dérivée d’une fonction

f est une fonction définie sur un intervalle I.

La courbe (C) ci-dessous est la représentation graphique de f dans un repère orthonormal (O,\vec{i},\vec{j}).

M et N sont deux points de (C) d’abscisses respectives a\in I et x = a + h \in Ih\in \mathbb{R}^* .

nombre dérivé

Définition 1

Si f est une fonction définie sur un intervalle I et si a\in I.
Lorsqu’il existe un nombre réel d tel que, pour tout réel h proche de 0, on ait:

\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=d

On dit que la fonction f est dérivable en a et que d = f ‘(a) est le nombre dérivé de f en a.

Définition 2

Si f est une fonction définie sur un intervalle I et si a\inI.
Lorsqu’il existe un nombre réel d tel que, pour tout réel x\inI et proche de a, on ait:

\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=d

On dit que la fonction f est dérivable en a et que d = f ‘(a) est le nombre dérivé de f en a.

II. Fonction dérivable sur un intervalle I

Définition :

On dit que f est dérivable sur un intervalle I lorsqu’elle est dérivable en tout point de I

Remarques sur les notations et les « manies des physiciens »

Les physiciens expriment la différence h = x – a par la le symbole \Delta x (accroissement de la variable x au voisinage du point a) et la différence f(x) – f(a) par \Delta y ( accroissement correspondant entre les images de x et de a qu’ils assimilent aux ordonnées y).

Avec ces notations, ils écrivent alors au voisinage de a: \lim_{\Delta x \to 0}\frac{ \Delta y}{\Delta x }=f'(a).

De façon générale, sur un intervalle I, en notant « y » la fonction « f », la fonction dérivée de y sera notée: f'=\frac{dy}{dx}.

Historiquement, la notation f '(x)est due à Newton et la notation différentielle \frac{dy}{dx} provient de Leibniz.

III. Equation de la tangente et approximation affine de f au voisinage de x = a

En reprenant les données du début de la leçon et l’illustration graphique et en supposant que la fonction f est dérivable en a:
La tangente (MP) à la courbe (C) en M d’abscisse a existe.

Elle a pour coefficient directeur m = f ‘(a).

Son équation est donc de la forme: y = mx + p, où m = f ‘(a) et son  ordonnée à l’origine p est à calculer.
Pour cela, il suffit d’écrire que (MP) passe par M( a ; f(a) ).

On a donc: f(a) = f '(a) \times   a + p.
Ceci donne: p = f(a) - a f '(a).

Donc  y = f ‘(a) x + f(a) – a f ‘(a) que l’on écrit souvent sous l’une des formes, plus faciles à retenir:

\mathbf{y = f '(a) (x-a) + f(a) }       ou          \mathbf{y - f(a) = f '(a) (x-a)}.

Donc, la tangente (MP) à la courbe (C) en M est la représentation graphique de la fonction affine g:

g:x \mapsto   f'(a)(x-a)+f(a)

Montrons que cette fonction affine est une approximation de la fonction f lorsque x est proche de a.
En effet, l’ordonnée du point P d’abscisse x = a + h est: g(x) = f '(a) (x-a) + f(a).

Elle s’écrit aussi:  g(a + h) = f '(a) (a + h - a) + f(a) , c’est à dire: g(a + h) = f(a) + h f '(a).

Or, f(a+h) = f(a) + h f ‘(a) + h \varphi(h)  avec  \lim_{h \to 0}\varphi (h)= 0.

On en déduit que, lorsque h est voisin de zéro, on a:  f(a+h)  \approx  f(a) + h f ‘(a).

On peut donc conclure que, lorsque x est voisin de a, la fonction affine g:x \mapsto   f'(a)(x-a)+f(a)  est une approximation de la fonction .

On peut même montrer, mais nous l’admettrons ici, que c’est la meilleure approximation affine de f au voisinage de a.

IV.La dérivée des fonctions usuelles.

dérivée fonctions usuelles

V.Les formules de dérivation

formules dérivation

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