cours maths 1ère

Dérivée : Cours Maths 1ère S et leçon en PDF en première

Cours de maths sur la dérivée d’une fonction.

Ce cours de maths sur la dérivée en première S est à télécharger gratuitement au format PDF.

Cette leçon fait intervenir les notions suivantes :

– définition de la dérivée en un point;

– aspect graphique de la dérivée;

– taux d’accroissement;

– dérivée d’une fonction usuelle;

– dérivée d’une somme;

– dérivée d’un produit;

– dérivée d’un quotient.

Ce cours de maths a été rédigé par un enseignant de l’éducation nationale.

I.Nombre dérivé et dérivée d’une fonction

f est une fonction définie sur un intervalle I.

La courbe (C) ci-dessous est la représentation graphique de f dans un repère orthonormal (O,\vec{i},\vec{j}).

M et N sont deux points de (C) d’abscisses respectives a\inI et x = a + h\inI où h \in\mathbb{R}^* .

nombre dérivé

Définition 1
Si f est une fonction définie sur un intervalle I et si a\inI.
Lorsqu’il existe un nombre réel d tel que, pour tout réel h proche de 0, on ait:

\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=d

On dit que la fonction f est dérivable en a et que d = f ‘(a) est le nombre dérivé de f en a.

Définition 2
Si f est une fonction définie sur un intervalle I et si a\inI.
Lorsqu’il existe un nombre réel d tel que, pour tout réel x\inI et proche de a, on ait:

\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=d

On dit que la fonction f est dérivable en a et que d = f ‘(a) est le nombre dérivé de f en a.

II.Fonction dérivable sur un intervalle I

Définition :

On dit que f est dérivable sur un intervalle I lorsqu’elle est dérivable en tout point de I

Remarques sur les notations et les « manies des physiciens »

Les physiciens expriment la différence h = x – a par la le symbole \Delta x (accroissement de la variable x au voisinage du point a) et la différence f(x) – f(a) par \Delta y ( accroissement correspondant entre les images de x et de a qu’ils assimilent aux ordonnées y).

Avec ces notations, ils écrivent alors au voisinage de a: \lim_{\Delta x \to 0}\frac{ \Delta y}{\Delta x }=f'(a).

De façon générale, sur un intervalle I, en notant « y » la fonction « f », la fonction dérivée de y sera notée: f'=\frac{dy}{dx}.

Historiquement, la notation f ‘(x) est due à Newton et la notation différentielle \frac{dy}{dx} provient de Leibniz.

III.Equation de la tangente et approximation affine de f au voisinage de x = a

En reprenant les données du début de la leçon et l’illustration graphique et en supposant que la fonction f est dérivable en a:
La tangente (MP) à la courbe (C) en M d’abscisse a existe.

Elle a pour coefficient directeur m = f ‘(a).

Son équation est donc de la forme: y = mx + p, où m = f ‘(a) et son  ordonnée à l’origine p est à calculer.
Pour cela, il suffit d’écrire que (MP) passe par M( a ; f(a) ).

On a donc: f(a) = f '(a) \times   a + p.
Ceci donne: p = f(a) - a f '(a).

Donc  y = f ‘(a) x + f(a) – a f ‘(a) que l’on écrit souvent sous l’une des formes, plus faciles à retenir:

y = f ‘(a) (x-a) + f(a)         ou           y – f(a) = f ‘(a) (x-a).

Donc, la tangente (MP) à la courbe (C) en M est la représentation graphique de la fonction affine g:

g:x \mapsto   f'(a)(x-a)+f(a)

Montrons que cette fonction affine est une approximation de la fonction f lorsque x est proche de a.
En effet, l’ordonnée du point P d’abscisse x = a + h est: g(x) = f ‘(a) (x-a) + f(a).

Elle s’écrit aussi:  g(a + h) = f ‘(a) (a + h – a) + f(a)  , c’est à dire: g(a + h) = f(a) + h f ‘(a)

Or, f(a+h) = f(a) + h f ‘(a) + h \varphi(h)  avec  \lim_{h \to 0}\varphi (h)= 0.

On en déduit que, lorsque h est voisin de zéro, on a:  f(a+h)  \approx  f(a) + h f ‘(a).

On peut donc conclure que, lorsque x est voisin de a, la fonction affine g:x \mapsto   f'(a)(x-a)+f(a)  est une approximation de la fonction .

On peut même montrer, mais nous l’admettrons ici, que c’est la meilleure approximation affine de f au voisinage de a.

IV.La dérivée des fonctions usuelles.

dérivée fonctions usuelles

V.Les formules de dérivation

formules dérivation


Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF

Télécharger ou imprimer cette fiche «dérivée : Cours Maths 1ère S et leçon en PDF en première» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.


Télécharger nos applications gratuites Mathématiques Web avec tous les cours,exercices corrigés.

Application Mathématiques Web sur Google Play Store. Application Mathématiques Web sur Apple Store.

.

Des cours et exercices corrigés en 1ère en vidéos

D'autres fiches que vous devriez consulter
Chaîne Youtube

Inscription gratuite à Mathématiques Web.  Mathématiques Web c'est 1 893 508 fiches de cours et d'exercices téléchargées.
Rejoignez les 43 090 membres de Mathématiques Web, inscription gratuite.

Mathématiques Web

GRATUIT
VOIR