cours maths 1ere

Dérivée d’une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.

   La dérivée d’une fonction à travers un cours de maths en 1ère à assimiler.

Cette leçon fait intervenir les notions suivantes :

– définition de la dérivée en un point;

– aspect graphique de la dérivée;

– taux d’accroissement;

– dérivée d’une fonction usuelle;

– dérivée d’une somme;

– dérivée d’un produit;

– dérivée d’un quotient.

Ce document  a été rédigé par un enseignant de l’éducation nationale.

I. Nombre dérivé et dérivée d’une fonction

f est une fonction définie sur un intervalle I.

La courbe (C) ci-dessous est la représentation graphique de f dans un repère orthonormal (O,\vec{i},\vec{j}).

M et N sont deux points de (C) d’abscisses respectives a\in\,I et x\,=\,a\,+\,h\,\in\,Ih\in\,\mathbb{R}^* .

nombre dérivé

Définition 1

Si f est une fonction définie sur un intervalle I et si a\in\,I.
Lorsqu’il existe un nombre réel d tel que, pour tout réel h proche de 0, on ait:

\lim_{h\,\to\,0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=d

On dit que la fonction f est dérivable en a et que d = f ‘(a) est le nombre dérivé de f en a.

Définition 2

Si f est une fonction définie sur un intervalle I et si a\inI.
Lorsqu’il existe un nombre réel d tel que, pour tout réel x\inI et proche de a, on ait:

\lim_{x,\to,a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=d

On dit que la fonction f est dérivable en a et que d = f ‘(a) est le nombre dérivé de f en a.

II. Fonction dérivable sur un intervalle I

Définition :

On dit que f est dérivable sur un intervalle I lorsqu’elle est dérivable en tout point de I

Remarques sur les notations et les « manies des physiciens »

Les physiciens expriment la différence h = x – a par la le symbole \Delta\,x (accroissement de la variable x au voisinage du point a) et la différence f(x) – f(a) par \Delta\,y ( accroissement correspondant entre les images de x et de a qu’ils assimilent aux ordonnées y).

Avec ces notations, ils écrivent alors au voisinage de a: \lim_{\Delta\,x\,\to\,0}\frac{\,\Delta\,y}{\Delta\,x\,}=f'(a).

De façon générale, sur un intervalle I, en notant « y » la fonction « f », la fonction dérivée de y sera notée: f'=\frac{dy}{dx}.

Historiquement, la notation f\,'(x)est due à Newton et la notation différentielle \frac{dy}{dx} provient de Leibniz.

III. Equation de la tangente et approximation affine de f au voisinage de x = a

En reprenant les données du début de la leçon et l’illustration graphique et en supposant que la fonction f est dérivable en a:
La tangente (MP) à la courbe (C) en M d’abscisse a existe.Elle a pour coefficient directeur m = f ‘(a).Son équation est donc de la forme: y = mx + p, où m = f ‘(a) et son  ordonnée à l’origine p est à calculer.
Pour cela, il suffit d’écrire que (MP) passe par M( a ; f(a) ).On a donc: f(a)\,=,f\,'(a)\,\times  \,a\,+\,p.
Ceci donne: p\,=\,f(a)\,-\,a\,f\,'(a).

Donc  y = f ‘(a) x + f(a) – a f ‘(a) que l’on écrit souvent sous l’une des formes, plus faciles à retenir:

\mathbf{y\,=\,f\,'(a)\,(x-a)\,+\,f(a)}       ou          \mathbf{y\,-\,f(a)\,=\,f\,'(a)\,(x-a)}.

Donc, la tangente (MP) à la courbe (C) en M est la représentation graphique de la fonction affine g:

g:x\,\mapsto  \,f'(a)(x-a)+f(a)

Montrons que cette fonction affine est une approximation de la fonction f lorsque x est proche de a.
En effet, l’ordonnée du point P d’abscisse x = a + h est: g(x)\,=\,f\,'(a)\,(x-a)\,+\,f(a).

Elle s’écrit aussi:  g(a\,+\,h)\,=\,f\,'(a)\,(a\,+\,h\,-\,a)\,+\,f(a) , c’est à dire: g(a\,+\,h)\,=\,f(a)\,+\,h\,f\,'(a).

Or, f(a+h) = f(a) + h f ‘(a) + h \varphi(h)  avec  \lim_{h\,\to\,0}\varphi\,(h)=\,0.

On en déduit que, lorsque h est voisin de zéro, on a:  f(a+h)  \approx  f(a) + h f ‘(a).

On peut donc conclure que, lorsque x est voisin de a, la fonction affine g:x\,\mapsto  \,f'(a)(x-a)+f(a)  est une approximation de la fonction .

On peut même montrer, mais nous l’admettrons ici, que c’est la meilleure approximation affine de f au voisinage de a.

IV.La dérivée des fonctions usuelles.

dérivée fonctions usuelles

V.Les formules de dérivation

formules dérivation

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