Trigonométrie : exercices corrigés en PDF en première S

exercices maths 1ere

Une série d’exercices corrigés de maths en première S sur la trigonométrie.

Cette fiche fait intervenir les notions suivantes :

  • formule d’addition;
  • formules de trigonométrie;
  • cercle trigonométrique;
  • formules d’Al-Kashi;
  • formule de Pythagore généralisée;
  • mesure principale d’un angle.

Exercice 1 :

Soit g la fonction définie sur \mathbb{R} par :

g(x)=cos(4x)sin^2(4x).

1)Montrer que g est paire. Interpréter graphiquement.

2)Montrer que g est \frac{\pi}{2} – périodique.

Exercice 2 :

soit g la fonction définie sur \mathbb{R} par :

g(x)=cos(x)+sin(x).

1)Montrer que g n’est ni paire ni impaire.

2)Montrer que g est 2\pi – périodique. Interpréter graphiquement.

3)Montrer que, pour tout réel x, -2\leq\, g(x)\leq\, 2.

Exercice 3 :

1)A partir de cos(\frac{\pi}{3}), déterminer cos(-\frac{\pi}{3}) puis cos(\frac{2\pi}{3}).

2)Même question avec sin(-\frac{\pi}{3}) puis sin(\frac{2\pi}{3}).

Exercice 4 :

1)Résoudre sur [0;2\pi[, l’équation cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}.

2)Résoudre sur [0;2\pi[, l’équation sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Exercice 5 :

1.Donner les abscisses des points A et B.

2)Résoudre sur [0;2\pi[, l’équation cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}.

3)Résoudre sur [0;2\pi[, l’inéquation cos(x) \leq\, \frac{\sqrt{3}}{2}.

Exercice 6 :

Dans chaque cas, vérifier que la fonction f est T-périodique.

a)f:x \mapsto   cos(2\pi x) et T = 1.

b)f:x \mapsto   sin(3x) et T=\frac{2\pi}{3}.

c)f:x \mapsto   \frac{2}{3}cos(7x+\frac{\pi}{4}) et T=\frac{2\pi}{7}.

d)f:x \mapsto   \frac{10}{7}sin(\frac{5x-8}{3}) et T=\frac{6\pi}{5}.

Exercice 7 :

1.a)Déterminer un réel x appartenant à l’intervalle ]-\pi;\pi[ associé à \frac{91\pi}{4}.

b)En déduire cos(\frac{91\pi}{4}) puis, sin(\frac{91\pi}{4}).

2.a)Calculer cos(-\frac{13\pi}{6}).

b)Calculer sin(-\frac{81\pi}{2}).

3)a)Calculer cos(\frac{25\pi}{3}) et en déduire sin(\frac{25\pi}{3}).

b)Calculer sin(\frac{45\pi}{6}) et en déduire cos(\frac{45\pi}{6}).

Exercice 8 :

Soit f la fonction définie sur ]-\pi ; \pi ] par :

f(x) = 4cos^2(x) + 2(\sqrt{2} - l)cos(x) -\sqrt{2}.
Le but de l’exercice est de trouver les solutions de l’équation
f(x) = 0 et de l’inéquation f(x) > 0.
1. On pose X = cos(x).
a) Montrer que -1 <X< 1.
b) Montrer que résoudre l’équation f(x) = 0 revient à
résoudre l’équation 4X^2 + 2(\sqrt{2} - l)X -\sqrt{2}=0.

c)Résoudre sur [- 1 ; 1], l’équation 4X^2 + 2(\sqrt{2} - l)X -\sqrt{2}=0.
On notera X_1 et X_2 les solutions obtenues.
d) En déduire les solutions sur ]-\pi ; \pi ] de l’équation f(x) = 0.
2. On pose X = cos(x).
a) Résoudre sur [-1 ; 1] l’inéquation 4X^2 + 2(\sqrt{2} - l)X -\sqrt{2}>0.

Exercice 9 :

1. Un disque microsillon tournant 33 tours et \frac{1}{3} de tour par minute contient 6 chansons pour une durée
totale de 60 min. La durée de chaque chanson est la même.
Le Saphir situé l’extrémité du bras de lecture étant situé en N au début de la 1ère chanson, sur quel demi-axe se trouvera-t-il la fin de la chanson ?

exercices trigonométrie 1ère 1

2. Un disque microsillon tourne 16 tours et \frac{2}{3} de tour par minute.

La durée de chaque chanson est égale 5 min.
Le saphir situé l’extrémité du bras de lecture étant situé en P au début de la 1ère chanson, sur quel demi-axe se trouvera-t-il :
a) au bout de 3 min ?
b) au bout de 4 min ?
c) à la fin de la 1ère chanson ?
d) à la fin de la 2ème chanson ?

Exercice 10 :

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=\frac{cos(x)}{3+sin^2(x)}.
1. Montrer que f est paire et 2\pi-périodique.

Interpréter graphiquement.
2. En déduire le plus petit intervalle I possible pour étudier f.
3. On admet que f est dérivable de dérivée :

f'(x)=\frac{sin(x)(sin^2(x)-5)}{(3+sin^2(x))^2}.
a) En déduire les variations de la fonction f sur l.
b) Préciser les extrema locaux de f sur l.
c) Tracer la courbe représentative de f sur [-\pi ; 3\pi].

Exercice 12 :

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f (x) =-\frac{cos^3(x)}{3}.
1. Montrer que f est paire et 2\pi-périodique. Interpréter graphiquement.
2. On admet que la dérivée de la fonction f est la fonction f' définie par :
f'(x) = cos^2(x)sin(x).

a) Étudier le signe de f'(x).
b) En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2\pi[.
c) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [-\pi;3\pi[.

Exercice 13 :

On note (E) l’équation cos(x) = -x.
1.Montrer que les solutions de cette équation appartiennent l’intervalle [—1 ; 1].
2. Soit f la fonction définie sur l’intervalle [—1 ; 1] par f(x) = cos(x) + x.
a) Tracer f à l’aide de la calculatrice puis conjecturer le nombre de solutions de l’équation (E).
Justifier la démarche.
b) On admet que la dérivée de la fonction x \mapsto   cos(x) est la fonction x \mapsto   -sin(x).

En déduire que f'(x) = -sin(x) + 1.
c) Étudier le signe de f'(x) et en déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [—1 ; 1].
d) A l’aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à 0,01 prés de la (ou les) solution(s).

Exercice 14 :

Les lentilles situées en haut de ce phare ont une portée lumineuse de 45 km et
une durée de rotation de 5 secondes.
1.Déterminer l’angle parcouru par une lentille en 1 seconde.
2. Calculer l’aire balayée par une lentille en 1 seconde.
exercices trigonométrie 1ère 6

Exercice 15 :

Soit m un paramètre réel non nul et f_m la fonction définie sur \mathbb{R} par f_m(x) = cos(mx).
1. Montrer que f_m est paire. Interpréter graphiquement.
2. Montrer que f_m est périodique de période T=\frac{2\pi}{m}.
3. En déduire qu’on peut étudier f_m sur l’intervalle [0;\frac{\pi}{m}] .
4. On admet que f_m est dérivable de dérivée :

f'_m (x)=-msin(mx). Selon m :
a) Déterminer le signe de f'_m(x) sur l’intervalle [0;\frac{\pi}{m}].

b) En déduire les variations de f_m sur l’intervalle [0;\frac{\pi}{m}].
c) Dresser le tableau de variations de f_m sur l’intervalle [0;\frac{\pi}{m}] puis sur l’intervalle [-\frac{\pi}{m};\frac{2\pi}{m}].

Exercice 16 :

On considère la rose des vents ci-dessous.
On admet qu’un réel ayant pour image le sens « E » est 0 et qu’un réel ayant le sens « N » est \frac{\pi}{2}.

exercices trigonométrie 1ère 9

1.Déterminer un réel ayant pour image le sens « O ».
2.Déterminer un réel ayant pour image le sens « S ».
3.Déterminer un réel ayant pour image le sens « NE ».
4.a) Déterminer un réel ayant pour image le sens « NNE »
b) Par symétrie, quel réel peut avoir pour image le sens « SSE» ?
c) Par symétrie, quel réel peut avoir pour image le sens « NNO » ?

Exercice 17 :

Calculer :

A=cos(\frac{\pi}{4})+cos(\frac{3\pi}{4})

B=sin(\frac{\pi}{3})-cos(\frac{\pi}{4})+sin(\frac{5\pi}{3})

C=cos^2(\frac{\pi}{2})-sin^2(\frac{\pi}{2})

Exercice 18 :

Calculer :

D=-cos(\frac{7\pi}{3})+cos(\frac{41\pi}{3})

B=sin(-\frac{87\pi}{4}) +sin(-\frac{21\pi}{6})

Exercice 19 :

exercices trigonométrie 1ère 12

Exercice 20 :

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = acos(x) + bsin(x).

La courbe représentative de f passe par les points  M(-\frac{\pi}{2};2)  et N(\frac{\pi}{4};\sqrt{2}).

1.A l’aide des points M et N, déterminer les réels a et b.
2.En déduire l’expression de f en fonction de x.
3. Montrer que f est 2\pi-périodique. Interpréter graphiquement.

4. f est-elle paire ? impaire ? Justifier.




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