Fonction exponentielle : Cours Maths 1ère S et leçon en première en PDF.

I. Existence et unicité d’une fonction f vérifiant f ‘ = f et f(0) = 1.

propriété
Si t est une fonction définie et dérivable sur R telle que t’ = ret f(O) = 1, alors f ne s’annule gas sur R.
On considére la fonction g définie, pour tout x réel, par g(x) f(x) x
La fonction f est supposée dérivable sur la fonction est aussi dérivable
sur (voir Chapitre 3). La dérivée de g est égale å g'(x) = t'(x) x + f(x) x
Comme f’ = f, pour tout x réel, g'(x) = O_ Par consequent, g est constante.
Puisque g(O) = f(O) x t(O) = 1, on en déduit que, wur tout x reel, g(x) = 1 donc f(x) x 1 _
Si t s•annulait en xo, on aurait x O x = O et t(xo) x = 1, ce qui est
impossible. On en déduit que f(x) ne s•annule pas.
Théoråme
II existe une unique fonction t dérivaöle sur telle que t’ = f et t(O) —
C’ est un raisonnement
par l’absurde
(voir Chapitre 12
p. 321)_

Théoråme
II existe une unique fonction t dérivaöle sur telle que t’
= retro –
C est un raisonn
par l’absurde
(voir Chapitre 12
p. 321).
Démonstration
• On admet liexistence dune telle fonction_
• Unicité : On suppose qu’il existe deux fonctions f et g dérivables sur R et telles que t’ = f
g’ = g et f(O) = g(O) = 1. La fonction g ne s•annulant pas sur n, on peut définir la fonction h =
La fonction h est dérivable sur R de dérivée h’ =
, soith’=
= O_ La dérivée de h
étant nulle sur R, h est une fonction constante.
Puisque h(O) –
= 1, on a, pour tout x réel, h(x) = 1. Ainsi, pour tout x riel,
glx)
soit f(x) = g(x). Par conséquent, f = g, donc la fonction t est unique.

II. Fonction exponentielle

Définition –
On appelle fonction exponentielle l’unique fonction r définie et dérivaöle sur
qui vérifie f’ = f et f(O) = 1. On la note exp. Sa Courbe est représentée ci-contre.
propriété
La fonction exponentielle est strictement et strictement croissante sur

Démonstration
propriétés
• On admet que la fonction exponentielle est strictement positive.
• Pour tout x riel, exp'(x) = exp(x)_ Comme la fonction exponentielle est strictement positive,
expi(x) est également positive. Par consequent, la fonction exponentielle est strictement
croissante sur
Quels que soient les réels ret y, • exp(x) = exp(y) éauivaut å x = y ;
• exp(x) > exp(y) équivaut åx > y;
• exp(x) < exp(y) équivaut å x < y.
Démonstration
Voir Exercice 22
p. 184.

III. Propriétés algébriques

propriété
Pour tous réels x et y, on a :
(1) exp(x + y) = exp(x) x exp(y)
(2) exp(x – Y)
exp( x)
exp(y )
(3) exp(- y)
exp(y )
Démonstrations
Approfondissement
(1) La fonction exp ne s’annule pas sur n. On a alors l’équivalence
exp(x + y)
exp(x y) = exp(x) x exp(y)
= exp(y).
exp( x)
exp(x+ y)
est constante sur
Fixonsy, et montrons d’abord que la fonction : x
exp(x)
La fonction est dérivable sur comme quotient de fonctions dérivables sur
En effet exp(x + y) est de la forme exp(ox + b) avec o = 1 et b —y.
exp(x+ —exp(x+
(exp(x)) 2
La fonction admet donc une dérivée nulle sur In doncq est constante sur
exp(O + y)
or 0(0)-
= exp(y)-
exp(O)
Donc, tout x réel, $(x) = 0(0) = expO’).
exp(x y)
Pour tout réel x,
= exp(y), soit exp(x y) = exp(x) x expO’).
exp(x)
(2) Pour tous les réels x et y, d’aprés l’égalité (1), on a : exp((x —y) + y) = exp(x —
Comme (x— y) + y = x, on a exp((x — y) + y) = exp(x).
exp( x)
On en déduit que exp(x) = exp(x — y)exp(y) et par conséquent exp(x— y) •
exp(y)
exp(x)
(3) En prenant x = O dans rexpression exp(x— y) •
on obtient exp(—y) —
exp(y)
ex p(y)
Notations
On pose exp(l) = e.
voir Exemple4
Pour tout x réel, exp(x) est noté ex.
e est un nombre irrationnel etez 2,72 (au centiéme prés).
C’ est le rnathérnaticien Euler
(1707-1783) qui a démontré
que e est irrationnel_
Les propriétés algébriques précédentes oeuvent alors s’écrire : pour tous x, y réels,
= elev ; ex-Y = — et e-Y

IV. Fonction exponentielle et suite géométrique

propriété
Pour tout réel o, la suite (Ü) définie sur N est géométrique de premier terme 1 et de raison
Démonstration
Soit (u) la suite définie, wur tout entier naturel n, par u n = em.
xe0=unxe
On a 1 = e
La suite (ur,) est donc une suite géométrique de raison et de premier terme 1

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