Orthogonalité et équations de droites : cours de maths en 1ère en PDF.
sommaire
I. Vecteurs directeurs et équation cartésienne
Dans tout ce chapitre, on se place dans un repère orthonormé .
1.Vecteur directeur d’une droite.
On appelle vecteur directeur d’une droite (d) tout représentant du vecteur où
A et B sont deux points quelconques et distincts de la droite (d).
Exemple :
Dans l’image ci-dessous, les vecteurs , et sont des vecteurs
directeurs de la droite (d).
- On calcule les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite.
- La droite (BC) et sa parallèle ont les mêmes vecteurs directeurs, il suffi d’en prendre un représentant d’origine A.
Exemple :
Soient trois points A(1;5), B(-3;2) et C(2;-1) dans un repère orthonormé.
- Déterminer un vecteur directeur de la droite (BC).
- Détailler la construction de la parallèle à (BC) passant par A.
2. Equation cartésienne de droite.
Dans un repère orthonormé, les coordonnées de l’ensemble des points
d’une droite vérifient une relation où a, b et c sont des nombres réels.
Démonstration :
Soient et deux points d’une droite (d).
Alors, pour tout point appartenant à (d), nous avons :
les vecteurs et sont colinéaires.
On a donc .
C’est-à-dire .
donc .
En posant ; et ,
on a donc l’équation de la droite (d) qui est de la forme .
La relation s’appelle une équation cartésienne de la droite (d).
Le vecteur est un vecteur directeur de la droite (d) d’équation cartésienne .
Exemple :
Si la droite (d) a pour équation cartésienne , alors le vecteur
est un vecteur directeur de cette droite.
II. Positions relatives de droites
1.Droites parallèles ou sécantes
Soient deux droites (d) et (d’) d’équations cartésiennes respectives et où sont des nombres réels.
Les droites (d) et (d’) sont parallèles si, et seulement si, .
Preuve :
Des vecteurs directeurs des droites (d) et (d’) sont, respectivement, et .
Les droites (d) et (d’) sont sécantes si, et seulement si, les vecteurs et ne sont pas colinéaires.
Autrement dit, si le déterminant de ces deux vecteurs est non nul.
Soit, .
2. Droites sécantes et systèmes d’équation
Lorsque deux droites sont sécantes, les coordonnées de leur point d’intersection
sont solution du système :
3. Droites perpendiculaires
Soient deux droites (d) et (d’) d’équations cartésiennes respectives et où sont des nombres réels.
Les vecteurs directeurs des droites (d) et (d’) sont, respectivement, et .
Les droites (d) et (d’) sont perpendiculaires si, et seulement si, soit .
Preuve :
Les vecteurs directeurs des droites (d) et (d’) sont, respectivement, et .
Les droites sont perpendiculaires si, et seulement si, ces deux vecteurs directeurs sont orthogonaux.
Ce qui revient à dire que le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul, soit :
Ce qui équivaut à :
soit .
Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.Télécharger ou imprimer cette fiche «orthogonalité et équations de droites : cours de maths en 1ère en PDF.» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
D'autres fiches analogues :
 Mathématiques Web c'est 2 243 690 fiches de cours et d'exercices téléchargées.