cours maths 1ère

Probabilités : Cours Maths 1ère S et leçon en PDF en première

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I. Probabilité de réaliser l’événement B sachant que l’événement A est réalisé

Définition —
Soit A et B deux événements d’un méme univers Q tels que p(A) O_
La probabilitéde B sachant que A est réalisé (on dit aussi Ia probabilité de B sachant A h)
est le nombre noté PA(B) défini par PA(B) —
Rappel : An B (l’intersection) est « ensemble des issues appartenant
å Ia foisåAetå B.
O PA(B) est une probabilité conditionnelle : la condition est exprimée
par sachant Que A est réalisé
Lorsaue I’événement A est réalisé, l’ensemble de référence
n’est Olus I’univers Q mais Ies issues de l’événement A.
On définit ainsi une nouvelle
probabilité sur I •univers Q. Elle a toutes
Lorsqu’on calcule PA(B), on étudie B dans A.
les propriétés d •une
Ainsi, en général PA(B) p(B)_
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II. Les propriétés des probabilités

propriétés
Soit A et B deux événements tels que p(A) On noteB I’événement contraire de g.
mors O e PA (B) 1 etpa(B) = 1
Démonstration
propriété
• 0B) O et p(A) > O_ De plus, A nB c A donc n B) PIA).
Par conséquent, O
d’oü
p(A)
• En remarquant que A B et Ang sont deux événements incompatibles
dont la réunion est A, on peut écrire :
17B) PIA)
PA(B) + –
Soit A et B deux événements tels que p(A) O_ Alors la probabilité de l’intersection
des événements A et B esto(A n B) = p(A) x PA (B).
Remarque : De meme, si p(B) O, on définit la probabilité conditionnelle de B sachant A
et on peut écrire n B) = p(B) x PB(A).
par pe(A)
p(B), PA(B) et pg(A) n’ont pas la méme signification.
Puisaue p(A n B) = p(A) x PA (B) et n B) = p(B) x pg(A), on en déduire que p(A) x (B) = p(B) x

III. Partition de l’univers

Définition
Soit A1 A etA3 trois événements de probabilités non nulles d’un meme univers Q.
On dit que A1, A 2 et As torment une partition de I’univers Q (ou torment un systéme
complet d’événements) Iorsque les événements sont deux å deux disjoints et
que leur réunion est l’univers Q.
Remarque : Cette définition se généralise å un nombre n quelconque (supérieur ou égal å 2) d’événements.
O A1 etA2 Torment une partition de Q lorsaue AZ = A1 _
propriété
Si A1, A 2 etAs forment une partition de l’univers Q, alors p(A) 4 p(A2) + p(As) = 1.
Cette propriété est immédiate puisaue toutes les issues possibles se répartissent dans ces trois événements_

IV. Arbre de probabilités

Soit les événements A1, AZ et As formant une partition d’un univers
et un événement B.
Régles de d’un arbre de probabilité
O La somme des probabilités inscrites sur les branches
issues d’un meme næud est égale å 1.
En effet + P(A2) + (B) + (B) = 1
PA 2(B) = 1, etc.
O La probabilité correspondant å un chemin est Ie produit
des probabilités glacées sur les branches de ce chemin
En 0B) =
0B) = (B) = etc.
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V. Formule des probabilités totales

propriété
Soit B un événement de l’univers Q et A1, A2 et AS une partition de Q. Alors :
0(B) = pat(B) x p(A1) PA2(B) x p(A2) 4 PAS(B) x p(Ag)_
Cette formule se traduit sur un arbre de probabilité ainsi : la probabilité d’un événement associé
å plusieurs chemins est Ia somme des probabilités de ces chemins.
Démonstration
Les événements A1 nB, A 2.0 3 etA snB forment une partition de 3,
d’oü p(3) = p(A1 0B) + p(A2 n a) + p(As n B).
Ainsi PA 1(B) x PA 3B) x p(As)_

VI. Indépendance de deux événements

Intuitivement, on dire qu’un événement B est indépendant d’un événement A
si la réalisation de I’événement A ne modifie pas Ies chances de réalisation de B.
propriété
Soit A et B deux événements de probabilités non nulles.
Les trois égalités suivantes sont equivalentes :
(2) PA(B) = PA (B)
Equivalente n signifie que. si l’une des@alités
est vraie. les autres le sont aussi. De méme.
si l’ une est fausse, les autres soni fausses
Démonstration
Le plus simple consiste å démontrer que chacune des égalités (1) et (2) est équivalente å
• (1) pa(a) = p(B)
p(B) p(An B: – P(A) x p(B)_ D’oü (1) e.
p(A)
dA nB) _ FIB)
e p(A n p(Än B)
• (2) pa(a) =
Comme p(A) + p(Ä) = 1, alors p(Ä) = 1 — p(A)_
Oe plus, n 3) + p(A n B) = p(a) car A 0B etA 0B forment une partition de B
alorsp(Ä nB) —9(3)— p(A n a).
D’oü (2) e nB) x (1 – p(A)) P(A) x (p(B) – n B))
n 3) — p(A n B) x p(A) = p(A) x p(B)— p(A) x p(A n B)
e n a) = P(A) x p(B). D’oü (2) e. (3).
O L’égalité (3) est symétrique en A etB : c’est donc cette égalité au’on choisit pour définir l’indépendance
de A et B.
Définition
Soit A et B deux événements de probabilités non nulles.
Les événements A et B sont dits lorsaue PIA n B)= p(A) x p(B).
O Si A etB sont indépendants, alors

VII. Succession de deux épreuves indépendantes

Deux épreuves aléatoires successives sont dites
indépendantes lorsque l’issue de Ia 22 épreuve
ne dépend pas de l’issue de Ia et vice-versa.
un exemple de succession de deux épreuves
indépendantes est donné ci-contre : les événements A
et B sont indépendants ainsi Que A et B, Ä et B,
ou encore Ä etä. Ainsi p A(B)
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