Produit scalaire : Cours Maths 1ère S et leçon en première en PDF.

cours maths 1ere

Un cours de mathématiques sur le produit scalaire en première S.

Ce cours de maths en première S sur le produit scalaire fait intervenir les notions suivantes :

– définition du produit scalaire;

– norme d’un vecteur;

– cosinus et produit scalaire;

– vecteurs orthogonaux;

– bilinéarité du produit scalaire;

– symétrie du produit scalaire;

– équation cartésienne et réduite d’une droite;

– équation d’un cercle.

Ce cours de mathématiques sur le produit scalaire est à télécharger gratuitement au format PDF.

I. Norme d’un vecteur

propriétés
Soitu un vecteur de coordonnées (X ; Y) dans une base orthonormée du plan.
b. Si est un nombre réel, alors ku
= Iklx

II. Critère d’orthogonalité de deux vecteurs

Définition –
Soitu et v deux vecteurs non nuls de représentants respectifs AB et CD.
et v sont orthogonaux Iorsque les droites (Ad) et (CD) sont perpendiculaires. On note dans ce cas v.

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Remarque : La définition ne dépend pas des représentants
des vecteurs.
En effet, Si AB =A’B’ ; CD = CVD’ et (AB) T (CD), alors (A’B’) T (C’D’).
propriété
Soitu etv deux vecteurs non nuls.
et v sont orthogonaux u +
(1)
Remarque : L’égalité (1) est encore vérifiée si un des deux vecteurs est nul.
Par exemple, si u=), ona 0+
v et O
Ainsi, on considere queO et v sont orthogonaux ou encore que0 est orthogonal å tout vecteur.
propriété
Soitu et v deux vecteurs de coordonnées respectives (X ; Y) et (X’ ; Y’)
dans une base orthonormée du plan.
et v sont orthogonaux si et seulement si XX 4 YV = O. (2)

Démonstration
112 II 112
On utilise le critére d’orthogonalité précédent : pour cela on calcule u
u + v a pour coordonnées (X + X’ ; Y + Y),
u et v sont orthogonaux el u +
X2 + 2XX• X•2+ Y2
2XX’ -o
et u + v

III. Définitions du produit scalaire

Définition
Soitu et v deux vecteurs de coordonnées respectives (X ; Y) et (X’ ; Y’) dans une base orthonormée.
On appelle prcxiuit scalaire de et v, notéu . v, le nomöre réel défini oar .v = XX’ + VY’. (3)
On dit scalaire
propriété
21 -IIü112-IIF112) (4)
Soitu etv deux vecteurs. On au •v
Démonstration
La propriété découle de I’égalité u + v
= 2(XX
Remarque: L’égalité (4) montre que le produit scalaire ne dépend que des normes de , v etu + v.

IV. Cas des vecteurs colinéaires ou orthogonaux

propriétés
Soitu et v deux vecteurs. Alors .
a.u eti’ sont orthogonauxe u •v = O.
; on le note aussi et on l’appelle carré scalaire de u.
b.u.u
c. Siu etv sont colinéaires de meme sens, alorsu •v
d. Siu etv sont colinéaires de sens contraires, alorst/ .v
Démonstration
Soit (X Y) et (X’ ; V) les coordonnées respectives de u etv dans une base orthonormée.
a. u et v sont orthogonaux e XX• + = O (propriété p. 221) e u- v —O.
c. et d. sont démontrés dans liexercice 43 p. 234.

V. Symétrie et bilinéarité

propriétés
Soitu, des vecteurs et k un réel
On dit que le prcxduit scalaire
est syrnétrique et bilinéaire_
Démonstration
Soit (X Y), (X ; V) et (X » Y’) les coordonnées respectives de u, v etw
dans une base orthonormée.
a. XX’+YV = X’,X + VY doncu v- u.
b. Ona u -v = XX’ + VV etu-w= XX•• YY », ainsiu •v + q -w
v + w a pour coordonnées (X + X », V’ + V »), d’oü
Ona bien u . (v + w) —u -v -w.
c. La démonstration de cette égalité est donnée dans rexercice 46 p. 234.

VI. Produit scalaire et projeté orthogonal

propriété
Soit A et B deux points distincts_
L’ensemble des points M tels que AB • AM
= 0 est la droite perpendiculaire å (AB) passant par A.
Démonstration
propriété
— O AB et AMsont orthogonaux
e M est sur la droite passant par A
et perpendiculaire å (Ad).
Si M = A. alors AM = O
et par convention AB et AM
sont orthcygonauy. (puisque
est orthogonal ä tout Vteur).
Soit A, B, C et D quatre points. On suppose que A est distinct de B.
Soit C’ et D’ Ies projetés orthogonaux respectifs de C et de D sur la droite (AB). Alors :
a.AB • AC = AB AC’ (VOir Figures 1 et2)
b. AB CD = AB. C’D’ (VOir Figure 3)
Démonstration
a. Voir Exemple 3
b. Aa -CO Ad -(CC• +C’D’ +00) = Ad – CC + AB CD’ + AB -O CD’ +0 AB
Ad etac sont orthogonaux
d’oü AR- rr -O_
AB et D sont orthogonaux
d•oüAR —o.

VII. Produit scalaire et angle

propriété
Soit A, B et C trois points tels que A etA C Alors AB •AC
= ACX COS(BAC).

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Démonstration
Soit C’ le projeté de C sur la droite (Ad). On appelle la mesure en radian de BAC
AB Aa AC. Deux cas se présentent :
• BAC est un angle aigu 0;—
AB et AC’ sont alors colinéaires de mime sens, donc AR – AC = AR x AC’.
Dans le triangle ACC rectangle en C’, on a AC’ = ACcoscx, d’oü : Aa AC = Ad x AC x cosa.
Dans ce cas, cosu est positif ; par conséquent le produit scalaire est positif.
• BAC est un angle obtus
– -Aax AC.
AR et sont alors colinéaires de sens contraires, doncAB AC –
Dans le triangle ACC rectangle en C’, on a AC’ = ACcos(1t — a).
Or — a) = —cosu (voir Chapitre 8).
Ainsi = —AC cosu- et
ACxcosa.
Dans ce cas, Cosa est négatif ; par conséquent le produit scalaire est négatif.




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