Produit scalaire : cours de maths en 1ère S et leçon en première en PDF.

cours maths 1ere

Ce cours de maths en première S sur le produit scalaire  est à télécharger gratuitement au format PDF et fait intervenir les notions suivantes :

– définition du produit scalaire;

– norme d’un vecteur;

– cosinus et produit scalaire;

– vecteurs orthogonaux;

– bilinéarité du produit scalaire;

– symétrie du produit scalaire;

– équation cartésienne et réduite d’une droite;

– équation d’un cercle.

I. Norme d’un vecteur

Propriétés :

Soit \vec{u} un vecteur de coordonnées (x ; y) dans une base orthonormée du plan.

a. On appelle norme du vecteur \vec{u}, notée  \| \vec{u}  \|, le nombre  \| \vec{u}  \|=\sqrt{x^2+y^2}.

b. Si est k un nombre réel, alors  \| k\vec{u}  \|= | k  |\times    \| \vec{u}  \|.

II. Critère d’orthogonalité de deux vecteurs

Définition :

Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non nuls de représentants respectifs \vec{AB} et \vec{CD}.
Les vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux lorsque les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

On note dans ce cas  \vec{u}\perp \vec{v}.

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Remarque :

La définition ne dépend pas des représentants des vecteurs.
En effet, Si \vec{AB} =\vec{A'B'} et \vec{CD} =\vec{C'D'}  et que (AB)\perp (CD) alors (A'B')\perp (C'D').

Propriété :

Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non nuls
Les vecteurs \vec{u} et \vec{v}  sont orthogonaux si, et seulement si,  \| \vec{u}+\vec{v}  \|^2= \| \vec{u}  \|^2+ \| \vec{v}  \|^2  (1).

Remarques :

L’égalité (1) provient du théorème de Pythagore.

L’égalité (1) est encore vérifiée si un des deux vecteurs est nul.
Ainsi, on considère que le vecteur nul \vec{0} et \vec{v} sont orthogonaux ou encore que \vec{0} est orthogonal à tous les vecteurs du plan.

Propriété :

Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs de coordonnées respectives (X ; Y) et (X’ ; Y’)
dans une base orthonormée du plan.
Les vecteurs \vec{u} et \vec{v}  sont orthogonaux si et seulement si XX'+YY'=0.

Démonstration :

D’après la propriété précédente, les vecteurs \vec{u} et \vec{v}  sont orthogonaux si, et seulement si,  \| \vec{u}+\vec{v}  \|^2= \| \vec{u}  \|^2+ \| \vec{v}  \|^2.

Or les coordonnées de \vec{u}+\vec{v}(X+X';Y+Y').

L’égalité précédente nous donne :

\vec{u} et \vec{v}  sont orthogonaux si, et seulement si,  \| \vec{u}+\vec{v}  \|^2= \| \vec{u}  \|^2+ \| \vec{v}  \|^2.

\vec{u} et \vec{v}  sont orthogonaux si, et seulement si, (X+X')^2+(Y+Y')^2=X^2+Y^2+X'^2+Y'^2

soit X^2+2XX'+X'^2+Y^2+2YY'+Y'^2=X^2+Y^2+X'^2+Y'^2

d’où 2XX'+2YY'=0

Soit 2(XX'+YY')=0

et donc les vecteurs \vec{u} et \vec{v}  sont orthogonaux si et seulement si XX'+YY'=0.

III. Définitions du produit scalaire

Définition
Soient \vec{u} et \vec{v}  deux vecteurs de coordonnées respectives (X ; Y) et (X ‘ ; Y ‘) dans une base orthonormée.
On appelle produit scalaire de \vec{u} et \vec{v}, noté \vec{u}.\vec{v} , le nombre réel défini par  \vec{u}.\vec{v}= XX’ + YY’.

IV. Cas des vecteurs colinéaires ou orthogonaux

Propriétés :

Soit \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs.

  1. Les vecteurs \vec{u} et \vec{v}  sont orthogonaux si, et seulement si, \vec{u}.\vec{v}=0.
  2.  Nous avons \vec{u}.\vec{u}= \| \vec{u}  \|^2.
  3. Si les vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires de même sens , alors \vec{u}.\vec{v}\geq\, 0.
  4. Si les vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires de sens contraires, alors \vec{u}.\vec{v}\leq\, 0.

V. Symétrie et bilinéarité

Propriétés :

Soient \vec{u} et \vec{v} des vecteurs et k un réel.
On dit que le produit scalaire est symétrique et bilinéaire.

C’est-à-dire que :

  1. \vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}  (symétrique)
  2. \vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}  et (\vec{u}+\vec{v}).\vec{w}.=\vec{u}.\vec{w}+\vec{v}.\vec{w} (linéarité)
  3. (k\vec{u}) .\vec{v}=\vec{u}.(k\vec{v})=k\vec{u}.\vec{v}

VI. Produit scalaire et angle

Propriété :

Soit A, B et C trois points.

Nous avons le produit scalaire  \vec{AB}.\vec{AC}=AB\times   AC\times   cos(\widehat{BAC}).

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