cours maths 1ère

Produit scalaire : Cours Maths 1ère S et leçon en première en PDF.

Un cours de mathématiques sur le produit scalaire en première S.

Ce cours de maths en première S sur le produit scalaire fait intervenir les notions suivantes :

– définition du produit scalaire;

– norme d’un vecteur;

– cosinus et produit scalaire;

– vecteurs orthogonaux;

– bilinéarité du produit scalaire;

– symétrie du produit scalaire;

– équation cartésienne et réduite d’une droite;

– équation d’un cercle.

Ce cours de mathématiques sur le produit scalaire est à télécharger gratuitement au format PDF.

I. Norme d’un vecteur

propriétés
Soitu un vecteur de coordonnées (X ; Y) dans une base orthonormée du plan.
b. Si est un nombre réel, alors ku
= Iklx

II. Critère d’orthogonalité de deux vecteurs

Définition –
Soitu et v deux vecteurs non nuls de représentants respectifs AB et CD.
et v sont orthogonaux Iorsque les droites (Ad) et (CD) sont perpendiculaires. On note dans ce cas v.

cours maths produit scalaire 2

cours maths produit scalaire 1
Remarque : La définition ne dépend pas des représentants
des vecteurs.
En effet, Si AB =A’B’ ; CD = CVD’ et (AB) T (CD), alors (A’B’) T (C’D’).
propriété
Soitu etv deux vecteurs non nuls.
et v sont orthogonaux u +
(1)
Remarque : L’égalité (1) est encore vérifiée si un des deux vecteurs est nul.
Par exemple, si u=), ona 0+
v et O
Ainsi, on considere queO et v sont orthogonaux ou encore que0 est orthogonal å tout vecteur.
propriété
Soitu et v deux vecteurs de coordonnées respectives (X ; Y) et (X’ ; Y’)
dans une base orthonormée du plan.
et v sont orthogonaux si et seulement si XX 4 YV = O. (2)

Démonstration
112 II 112
On utilise le critére d’orthogonalité précédent : pour cela on calcule u
u + v a pour coordonnées (X + X’ ; Y + Y),
u et v sont orthogonaux el u +
X2 + 2XX• X•2+ Y2
2XX’ -o
et u + v

III. Définitions du produit scalaire

Définition
Soitu et v deux vecteurs de coordonnées respectives (X ; Y) et (X’ ; Y’) dans une base orthonormée.
On appelle prcxiuit scalaire de et v, notéu . v, le nomöre réel défini oar .v = XX’ + VY’. (3)
On dit scalaire
propriété
21 -IIü112-IIF112) (4)
Soitu etv deux vecteurs. On au •v
Démonstration
La propriété découle de I’égalité u + v
= 2(XX
Remarque: L’égalité (4) montre que le produit scalaire ne dépend que des normes de , v etu + v.

IV. Cas des vecteurs colinéaires ou orthogonaux

propriétés
Soitu et v deux vecteurs. Alors .
a.u eti’ sont orthogonauxe u •v = O.
; on le note aussi et on l’appelle carré scalaire de u.
b.u.u
c. Siu etv sont colinéaires de meme sens, alorsu •v
d. Siu etv sont colinéaires de sens contraires, alorst/ .v
Démonstration
Soit (X Y) et (X’ ; V) les coordonnées respectives de u etv dans une base orthonormée.
a. u et v sont orthogonaux e XX• + = O (propriété p. 221) e u- v —O.
c. et d. sont démontrés dans liexercice 43 p. 234.

V. Symétrie et bilinéarité

propriétés
Soitu, des vecteurs et k un réel
On dit que le prcxduit scalaire
est syrnétrique et bilinéaire_
Démonstration
Soit (X Y), (X ; V) et (X » Y’) les coordonnées respectives de u, v etw
dans une base orthonormée.
a. XX’+YV = X’,X + VY doncu v- u.
b. Ona u -v = XX’ + VV etu-w= XX•• YY », ainsiu •v + q -w
v + w a pour coordonnées (X + X », V’ + V »), d’oü
Ona bien u . (v + w) —u -v -w.
c. La démonstration de cette égalité est donnée dans rexercice 46 p. 234.

VI. Produit scalaire et projeté orthogonal

propriété
Soit A et B deux points distincts_
L’ensemble des points M tels que AB • AM
= 0 est la droite perpendiculaire å (AB) passant par A.
Démonstration
propriété
— O AB et AMsont orthogonaux
e M est sur la droite passant par A
et perpendiculaire å (Ad).
Si M = A. alors AM = O
et par convention AB et AM
sont orthcygonauy. (puisque
est orthogonal ä tout Vteur).
Soit A, B, C et D quatre points. On suppose que A est distinct de B.
Soit C’ et D’ Ies projetés orthogonaux respectifs de C et de D sur la droite (AB). Alors :
a.AB • AC = AB AC’ (VOir Figures 1 et2)
b. AB CD = AB. C’D’ (VOir Figure 3)
Démonstration
a. Voir Exemple 3
b. Aa -CO Ad -(CC• +C’D’ +00) = Ad – CC + AB CD’ + AB -O CD’ +0 AB
Ad etac sont orthogonaux
d’oü AR- rr -O_
AB et D sont orthogonaux
d•oüAR —o.

VII. Produit scalaire et angle

propriété
Soit A, B et C trois points tels que A etA C Alors AB •AC
= ACX COS(BAC).

cours maths produit scalaire 3

cours maths produit scalaire 4
Démonstration
Soit C’ le projeté de C sur la droite (Ad). On appelle la mesure en radian de BAC
AB Aa AC. Deux cas se présentent :
• BAC est un angle aigu 0;—
AB et AC’ sont alors colinéaires de mime sens, donc AR – AC = AR x AC’.
Dans le triangle ACC rectangle en C’, on a AC’ = ACcoscx, d’oü : Aa AC = Ad x AC x cosa.
Dans ce cas, cosu est positif ; par conséquent le produit scalaire est positif.
• BAC est un angle obtus
– -Aax AC.
AR et sont alors colinéaires de sens contraires, doncAB AC –
Dans le triangle ACC rectangle en C’, on a AC’ = ACcos(1t — a).
Or — a) = —cosu (voir Chapitre 8).
Ainsi = —AC cosu- et
ACxcosa.
Dans ce cas, Cosa est négatif ; par conséquent le produit scalaire est négatif.


Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF

Télécharger ou imprimer cette fiche «produit scalaire : Cours Maths 1ère S et leçon en première en PDF.» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.


Télécharger nos applications gratuites Mathématiques Web avec tous les cours,exercices corrigés.

Application Mathématiques Web sur Google Play Store. Application Mathématiques Web sur Apple Store.

.

Des cours et exercices corrigés en 1ère en vidéos

D'autres fiches que vous devriez consulter
Chaîne Youtube

Inscription gratuite à Mathématiques Web.  Mathématiques Web c'est 1 893 671 fiches de cours et d'exercices téléchargées.
Rejoignez les 43 095 membres de Mathématiques Web, inscription gratuite.

Mathématiques Web

GRATUIT
VOIR