Produit scalaire : exercices de maths corrigés en PDF en première S

exercices maths 1ere

Des exercices corrigés de maths en première S sur le produit scalaire dans le plan.

Vous retrouverez dans ces exercices de mathématiques sur le produit scalaire les notions suivantes :

  • définition du produit scalaire;
  • bilinéarité du produit scalaire;
  • symétrie du produit scalaire;
  • identité du parallélogramme;
  • produit scalaire et vecteurs orthogonaux;
  • équations cartésiennes et paramétriques.

Exercice 1 :

On considère le carré ABCD de centre O et de côté 8.

Calculer les produits scalaires suivants.

a)\vec{AB}.\vec{AO}                  b)\vec{OB}.\vec{OD}

c)\vec{AB}.\vec{AD}                d)\vec{BO}.\vec{BC}

Exercice 2 :

On considère les vecteurs \vec{u} et \vec{v} tels que \|\vec{u}\|=2, \|\vec{v}\|=3  et \widehat{(\vec{u} ,\vec{v})}=60^{\circ}.

Calculer leur produit scalaire.

Exercice 3 :

Déterminer une valeur en degrés de l’angle entre les vecteurs \vec{u} et \vec{v} tels que \|\vec{u}\|=6, \|\vec{v}\|=2  et \vec{u}.\vec{v} =-6.

Exercice 4 :

Soient les vecteurs \vec{u} (-2;3 )  et \vec{v}(-1;-5).

Calculer :

a)\vec{u}.\vec{v}                    b)(4\vec{u}).\vec{v}          c)(\vec{u}-\vec{v}).(\vec{u}+\vec{v})

Exercice 5 :

On donne les points A(-3;-2) et B(1;3) et le vecteur \vec{u}( -5;4 ).

Montrer que \vec{AB} et \vec{u} sont orthogonaux.

Exercice 6 :

A,B,C et D étant des points quelconques du plan, montrer les égalités suivantes.

a)\vec{AB}.\vec{CD}=\vec{BA}.\vec{DC}.

b)\vec{AB}.\vec{AC}+\vec{AB}.\vec{EC}=\vec{AB}.\vec{ED}

c)\vec{AB}.\vec{AC}=\vec{AB}^2-\vec{BA}.\vec{BC}

Exercice 7 :

On donne les points C et D tels que CD = 10 et H le milieu du segment [CD].

Déterminer l’ensemble des points M du plan vérifiant \vec{MC}.\vec{MD}=-9.

Exercice 8 :

Dans un rectangle ABCD de  longueur 8 et de  largeur 4, on place les points E, F et G tels que :

\vec{AE}=\frac{1}{4}\vec{AD};\vec{AG}=\frac{1}{8}\vec{AB};\vec{CF}=\frac{1}{4}\vec{CB}.

1. Dans le repère (A ; G,E), donner les coordonnées de tous les points de la figure.

2. Calculer le produit scalaire \vec{EF}.\vec{DG}.

3. Que peut-on en déduire ?

Exercice 9 :

ABCD est un rectangle de centre F et E est le symétrique du point F par rapport la droite
(BC). Calculer les produits scalaires suivants.

a)\vec{BA}.\vec{BF}\,;b)\vec{CF}.\vec{CD}\,;c)\vec{AF}.\vec{AB}\,;d)\vec{AB}.\vec{BE}

exercices produit scalaire 1

Exercice 10 :

Soient les vecteurs \vec{u}(2;1), \vec{v}(-3;-1) et \vec{w}(1;4).

Calculer les produits scalaires suivants.

a)\vec{u}.\vec{v}\\b)\vec{w}.\vec{v}\\c)\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})\\d)(-2\vec{u}).\vec{v}+3(\vec{v}.\vec{w})

Exercice 11 :

On donne les vecteurs \vec{u}(-3;4) et \vec{v}(-8;-6).

Montrer que ces vecteurs sont orthogonaux.

Exercice 12 :

Donner un vecteur directeur pour chacune des droites suivantes et en déduire qu’elles sont perpendiculaires.
a) Pour les droites d1 et d2 d’équations cartésiennes 2x-3y+4=0 et 3x+2y-1= 0.
b) Pour les droites d1et d2 d’équations cartésiennes x-y+3=0 et 2x+2y-1=0.
c) Pour les droites d1 et d2 d’équations y = —3x + 1 et -x+3y-1=0.

Exercice 13 :

Soient les vecteurs \vec{u}(-2;3), \vec{v}(-1;-5) .

Calculer :

a)\vec{u}.\vec{v}\\b)(4\vec{u}).\vec{v}\\c)(\vec{u}-\vec{v}).(\vec{u}+\vec{v})

Exercice 14 :

  1. Soient les vecteurs \vec{u}(-3;4), \vec{v}(-8;-6) .

Montrer que ces vecteurs sont orthogonaux.

2. On donne les points A(-3;-2) et B(1;3) et le vecteur \vec{u}(-5;4).

Montrer que \vec{AB} et \vec{u} sont orthogonaux.

Exercice 15 :

  1. On considère les points A, B et C tels que AB = 3, AC = 4 et \widehat{BAC} = 120°.

Déterminer la longueur BC.
2. On considère les points M, N et P tels que MN = 5, NP = 7 et MNP = 61°.

Déterminer la longueur MP.
3. Soit un triangle EFG tel que EF = 7, FG=6 et EG = 11.
Déterminer la valeur en degrés et arrondie à 0,1° de l’angle \widehat{EFG}.
4. Soit un triangle EDF tel que EF = 5, DF = 8 et ED = 9.
Déterminer la valeur en degrés et arrondie à 0,1°  de l’angle \widehat{EDF}.

Exercice 16 :

soient les vecteurs \vec{u} et \vec{v} orthogonaux et tels que  \|\vec{u}  \|=a et  \|\vec{v}  \|=b.

Exprimer en fonction de a et de b les produits scalaires suivants.

a)\vec{u}.(\vec{u}+\vec{v})\\b)(2\vec{u}-3\vec{v}).\vec{v}\\c)(\vec{u}+\vec{v})^2

Exercice 17 :

Soit les vecteurs \vec{u}; \vec{v} et \vec{w} tels que :  \| \vec{u } \|=\|\vec{w }  \|=a et \vec{v}=3\vec{u}.

Les vecteurs \vec{u} et \vec{w} sont orthogonaux.

Exprimer en fonction de a les produits scalaires suivants.

a)\vec{u}.\vec{v}\\b)\vec{v}.(\vec{u}+\vec{w})\\c)(\vec{u}+\vec{v})^2\\d)(\vec{v}+\vec{w}).(\vec{u}+\vec{w})

Exercice 18 :

A, B, C et D étant des points quelconques du plan, montrer les égalités suivantes.
a)\vec{AB}.\vec{CD} = BA.\vec{DC}\\b)\vec{AB}.\vec{CD}+\vec{AB}.\vec{EC}=\vec{AB}.\vec{ED}\\ c)\vec{AB} .\vec{AC}=\vec{AB} -\vec{BA }-\vec{BC}

Exercice 19 :

1.On donne les points A et B tels que AB = 12 et I le milieu du segment [AB].

Déterminer l’ensemble des points M du plan vérifiant \vec{MA} .\vec{MB} = 4 .

2.On donne les points C et D tels que CD = 10 et H le milieu du segment [CD]. Déterminer l’ensemble des points M du plan vérifiant \vec{MC}.\vec{MD }= - 9.

Exercice 20 :

On considère un trapèze rectangle ABCD tel que la diagonale [AC] est perpendiculaire au côté [BC]. En calculant de deux manières le produit scalaire \vec{AB}.\vec{ AC},  démontrer
que AC^2 = AB\times   CD.

exercices produit scalaire

Exercice 21 :

On considère deux carrés ABCD et BEFG disposés comme sur la figure
ci-dessous tel que AB = 1 et BE = a.

exercices produit scalaire

A. Avec coordonnées
1. Dans le repère (A ; B, D), donner les coordonnées de tous les points de la figure.
2. Démontrer que les droites (AG) et (CE) sont perpendiculaires.

B. Sans coordonnées
1. Développer le produit scalaire (\vec{AB} + \vec{BG}). (\vec{CB} + \vec{BE}).
2. En déduire que \vec{AG} .\vec{CE} = 0 puis que les droites (AG) et (CE) sont perpendiculaires.

Exercice 22 :

ABCD est un carré de côté a et AEFG est un carré de côté b avec D, A et G alignés, ainsi que B, A et E comme sur la figure ci-dessous.

Le point I est le milieu du segment [DE].

A. Sans coordonnées
1. Justifier que AD + AE = 2Al.
2. Développer le produit scalaire (AD + AE) . (BA + AG).
3. En déduire que les droites (AI) et (BG) sont perpendiculaires.

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B. Avec coordonnées
1. Dans le repère (A ; B, D) donner les coordonnées des points A, I, B et G.
2. En déduire que les droites (AI) et (BG) sont perpendiculaires.

Exercice 23 :

On considère un carré ABCD de côté 1 et un point M quelconque sur le segment [BD]. On construit les projetés orthogonaux H et K du point M respectivement sur
les côtés [AB] et [AD].

exercices produit scalaire

1. On veut démontrer que les droites (CK) et (DH) sont perpendiculaires par deux méthodes :
a) On utilisera le repère (A ; B, D) et on notera (x;y) les coordonnées du point M.
b) On calculera le produit scalaire :\vec{CK}.\vec{DH}  en décomposant les vecteurs à l’aide de la relation de Chasles.
2. Démontrer que les longueurs CK et DH sont égales :
a) avec des coordonnées.
b) sans coordonnées.




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