Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Des exercices de maths 1ère corrigés sur le produit scalaire dans le plan.

Vous retrouverez dans ces exercices sur le produit scalaire les notions suivantes :

  1. définition du produit scalaire;
  2. bilinéarité du produit scalaire;
  3. symétrie du produit scalaire;
  4. identité du parallélogramme;
  5. produit scalaire et vecteurs orthogonaux;
  6. équations cartésiennes et paramétriques.

Le produit scalaire dans le plan est un outil utilisé pour mesurer l’angle entre deux vecteurs. Il est défini comme le produit de la norme (ou longueur) de deux vecteurs et du cosinus de l’angle entre eux.

La bilinéarité est une propriété d’une fonction qui permet de décomposer la fonction en deux produits linéaires.

Exercice 1 :

On considère le carré ABCD de centre O et de côté 8.

Calculer les produits scalaires suivants.

a)\vec{AB}.\vec{AO}                  b)\vec{OB}.\vec{OD}

c)\vec{AB}.\vec{AD}                d)\vec{BO}.\vec{BC}

Carré et produit scalaire

Exercice 2 :

On considère les vecteurs \vec{u} et \vec{v} tels que \|\vec{u}\|=2, \|\vec{v}\|=3  et \widehat{(\vec{u},,\vec{v})}=60^{\circ}.

Calculer leur produit scalaire.

Exercice 3 :

Déterminer une valeur en degrés de l’angle entre les vecteurs \vec{u} et \vec{v} tels que \|\vec{u}\|=6, \|\vec{v}\|=2  et \vec{u}.\vec{v},=-6.

Exercice 4 :

Soient les vecteurs \vec{u},(-2;3,)  et \vec{v}(-1;-5).

Calculer :

a)\vec{u}.\vec{v}                    b)(4\vec{u}).\vec{v}          c)(\vec{u}-\vec{v}).(\vec{u}+\vec{v})

Exercice 5 :

On donne les points A(-3;-2) et B(1;3) et le vecteur \vec{u}(,-5;4,).

Montrer que \vec{AB} et \vec{u} sont orthogonaux.

Exercice 6 :

A,B,C et D étant des points quelconques du plan, montrer les égalités suivantes.

a)\vec{AB}.\vec{CD}=\vec{BA}.\vec{DC}.

b)\vec{AB}.\vec{AC}+\vec{AB}.\vec{EC}=\vec{AB}.\vec{ED}

c)\vec{AB}.\vec{AC}=\vec{AB}^2-\vec{BA}.\vec{BC}

Exercice 7 :

On donne les points C et D tels que CD = 10 et H le milieu du segment [CD].

Déterminer l’ensemble des points M du plan vérifiant \vec{MC}.\vec{MD}=-9.

Exercice 8 :

Dans un rectangle ABCD de  longueur 8 et de  largeur 4, on place les points E, F et G tels que :

\vec{AE}=\frac{1}{4}\vec{AD};\vec{AG}=\frac{1}{8}\vec{AB};\vec{CF}=\frac{1}{4}\vec{CB}.

1. Dans le repère (A ; G,E), donner les coordonnées de tous les points de la figure.

2. Calculer le produit scalaire \vec{EF}.\vec{DG}.

3. Que peut-on en déduire ?
Rectangle et produit scalaire

Exercice 9 :

ABCD est un rectangle de centre F et E est le symétrique du point F par rapport la droite
(BC). Calculer les produits scalaires suivants.

a)\vec{BA}.\vec{BF}\,;b)\vec{CF}.\vec{CD}\,;c)\vec{AF}.\vec{AB}\,;d)\vec{AB}.\vec{BE}

Figure géométrique

Exercice 10 :

Soient les vecteurs \vec{u}(2;1), \vec{v}(-3;-1) et \vec{w}(1;4).

Calculer les produits scalaires suivants.

a)\vec{u}.\vec{v}\\b)\vec{w}.\vec{v}\\c)\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})\\d)(-2\vec{u}).\vec{v}+3(\vec{v}.\vec{w})

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