Nombre complexes : exercices de maths en terminale S corrigés en PDF.

exercices maths tnale
Cette série d’exercices sur les nombres complexes en terminale S fait intervenir les notions suivantes :

  • définition d’un nombre complexe;
  • écriture arithmétique;
  •  écriture algébrique;
  • formule d’Euler;
  • formule de Moivre;
  • affixe d’un nombre complexe;
  • écriture exponentielle;
  • aspect géométrique des nombres complexes.

Ces exercices corrigés en terminale S sur les nombres complexes sont à télécharger gratuitement au format PDF.

Exercice 1 :

Donner la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des nombres complexes suivants :

z_1=1+2i\\z_2=3+i\\z_3=3\\z_4=6i\\z_5=\frac{-i}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\\z_6=\frac{1}{3}(5+2i)

Exercice 2 :

On considère les deux nombres complexes suivants :

z_1=e^{i\frac{\pi}{3}}\,;\, z_2=e^{-i\frac{\pi}{4}}

1. Ecrire z_1 et z_2 sous forme algébrique.

2. Déterminer les écritures sous formes algébrique, exponentielle et trigonométrique de z_1z_2 .

3. En déduire la valeur exacte du cosinus et sinus suivants :

cos(\frac{\pi}{12})       et          sin(\frac{\pi}{12})  .

Exercice 3 :

Déterminer la forme algébrique de chacun des nombres complexes suivants :

z_1=(1+i)+(-8+4i)\\z_2=(3+i)(5-2i)\\z_3=5i-(3+2i)\\z_4=2(5-i)+3(i-4)\\z_5=(i+2)^2-(3-5i)\\z_6= ( \frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3}}{2} )^2\\z_7=\frac{5+i}{3+2i}

Exercice 4 :

Dans le plan complexe, les points A,B et C ont pour affixe respectif z_A=3+2i;z_B=-5+2i;z_C=-3i

1.Placer les points A, B et C.

2. Déterminer les affixes des points A’ et B’ milieux respectifs des segments [BC] et [AC].

3. déterminer l’affixe du point G défini par \vec{AG}=\frac{2}{3}\vec{AA'}

Exercice 5 :

Dans le plan complexe A,B,C et D sont les points d’affixes :

z_A=5+5i;z_B=3+2i;z_C=9-2i;z_D=11+i.

  1. Déterminer les affixes des vecteurs \vec{AD} et \vec{BC}.
  2. Déterminer un argument de \frac{z_B-z_A}{z_D-z_A}.
  3. En déduire la nature du quadrilatère ABCD.

Exercice 6 :

1.a. Résoudre dans \mathbb{C} l’équation z^2-2\sqrt{3}z+4=0

b. Donner une forme exponentielle de chacun des solutions.

2. A et M sont les points d’affixes respectives a=\sqrt{3}+i;m=\sqrt{3}-i.

a. Placer les points A et M en indiquant une méthode de construction.

b. On appelle B et C les points d’affixes respectives b=ia et c=ib.

Calculer b et c sous forme algébrique, puis placer B et C.

c. Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.

d. Déterminer l’affixe du point D tel que ABCD soit un carré. Placer ce point D sur la figure.

Exercice 7 :

1)Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des nombres complexes :

2+4i;2i;-1-3i;-4;2+\sqrt{3};-\sqrt{5}i

2)Parmi ces complexes, lesquels sont des réels ?

Lesquels sont imaginaires purs?

Exercice 8 :

Ecrire les nombres complexes sous forme algébrique.

z_1=2i+6-7i

z_2=3-(1+2i)

z_3=-5(3-i)

z_4=-4(1+2i)

z_5=1+i^2

z_6=i(3+2i)

z_7=3(5-i)+i(-1+5i)

z_8=i^3

z_9=i^4

z_{10}=(1+i)(1-i)

z_{11}=\frac{4+6i}{2}

z_{12}=\frac{2-3i}{5}

z_{13}=\frac{10+5i}{1-4i^2}

Exercice 9 :

Déterminer le complexe conjugué de chacun des nombres complexes suivants :

z_1=5+2i

z_2=-4

z_3=7i

z_4=-2-8i

z_5=3i-11

z_6=\frac{4-6i}{2}

Exercice 10 :

Résoudre dans \mathbb{C} les équations proposées.

On donnera les solutions sous forme algébrique.

1)z-2+4i=0

2)5z+2i=4z-5+i

3)iz+1-i=0

4)-2z+3=iz+1-i

5)(2z-4+i)(z+3i)=0

6)(2z-4)(iz+2)=0

7)z^2=-16

8)z^2=-81

Exercice 11 :

Associer chaque complexe au point image qui lui correspond.

z_1=2+2i

z_2=-2-2i

z_3=2

z_4=2i

z_5=-2

z_6=-2+2i

Exercice 12 :

Associer chaque vecteur à l’affixe qui lui correspond.

z_1=2+2i

z_2=-2+2i

z_3=3i

z_4=3-i

z_5=-2

z_6=1-i

Exercice 13 :

1)Déterminer graphiquement les distances OA, OB, OC, OD, OE et OF.

2)En déduire le module de l’affixe de chacun des points A, B, C, D, E et F.

Exercice 14 :

Parmi les écritures proposées ci-dessous, dire lesquelles sont des formes trigonométriques

d’un nombre complexe.

z_1=\sqrt{3}(cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3})

z_2=-3(cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4})

z_3=2(cos(\frac{5\pi}{6})+isin(-\frac{5\pi}{6}))

z_4=5(cos0+isin0)

Exercice 15 :

Soit le nombre complexe z_1 de module 2 et d’argument \frac{2\pi}{3} et le nombre complexe z_2

de module 4 et d’argument -\frac{\pi}{6}.

1)Déterminer | z_1z_2 |, | \frac{z_1 }{z_2} | et | z_1^5 |.

2)Déterminer arg(z_1z_2), arg(\frac{z_1}{z_2})  et arg(z_1^5).

Exercice 16 :

Ecrire sous forme trigonométrique les nombres complexes :

z_1=e^{i\pi} ; z_2=e^{-i\frac{\pi}{2}} ; z_3=e^{i\frac{2\pi}{3}} ; z_4=e^{-i\frac{5\pi}{6}}.

Exercice 17 :

Démontrer que les nombres complexes suivants sont égaux :

z=5i;z'=\frac{10+5i}{1-2i}

1. En calculant la différence z’-z.

2. En calculant le quotient \frac{z'}{z}.

Exercice 18 :

Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe suivant :

z=\frac{3+6i}{3-4i}

Exercice 19 :

On donne z_1=-1+3i;z_2=4-i.

Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants :

a)\,z_1^2-2z_2\\b)\,z_1z_2^2\\c)\,\frac{z_1}{z_2}\\d)\,\frac{z_1}{z_2}\\ e)\,\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}\\f)\, \frac{1}{z_1^2}+\frac{1}{z_2^2}

Exercice 20 :

Calculer la somme S=1+i+i^2+i^3+....+i^{2017}.

Exercice 21 :

On pose j=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}.

  1. Calculer j^2,j^3 puis j^n suivant les valeurs du nombre entier naturel n.
  2. Vérifier que 1+j+j^2=0.
  3. Calculer la somme S'=1+j+j^2+j^3+......j^{2017}+j^{2018}.

Exercice 22 :

P est le polynôme défini sur \mathbb{C} par P(z)=z^2-4z+5.

Vérifier que P(2+i)=0\,et\,P(2-i)=0.

Exercice 23 :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct d’unité graphique 2 cm.

On considère les points A,B,C et H d’affixes respectives : a=-3-i;b=-2+4i;c=3-i;h=-2.

1.a) Placer ces points sur une figure, qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.

b) Montrer que V est le centre du cercle \xi circonscrit au triangle ABC. Préciser le rayon du cercle \xi.

c) Calculer, sous forme algébrique, le nombre complexe \frac{b-c}{h-a} .

En déduire que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.

2. Dans la suite de cet exercice, on admet que H est l’orthocentre du triangle ABC, c’est-à-dire le point d’intersection des hauteurs du triangle ABC.

a. On note G le centre de gravité du triangle ABC.

L’affixe du point G vérifie g=\frac{1}{3}(a+b+c).

Placer le point G sur la figure.

b) Montrer que le centre de gravité G, l’orthocentre H et le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, noté V, sont alignés. Le vérifier sur la figure.

c) On note A’ le milieu de [BC] et K celui de [AH]. Déterminer la nature du quadrilatère KHA’V.

Remarque : dans un triangle, le centre de gravité, l’orthocentre et le centre du cercle circonscrit au triangle sont alignés sur une droite (d) appelée droite d’Euler.

Exercice 24 :
On considère le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé (O ;\vec{u},\vec{v}) , et on considère
les points A, B et C distincts situés sur le cercle de centre O et de rayon r.
Les points A’, B’ et C’ sont les images de A, B et C par la rotation de centre O et d’angle\frac{\pi}{3}.
Les points U, V et W sont les milieux des segments [A’B], [B’C], [C’A] ; montrer que le triangle UVW est équilatéral.

Exercice 25 :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ;\vec{u},\vec{v}) , et on considère l’application
f du plan complexe dans lui-même qui au point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe f(z)=\frac{z+i\overline{z}}{2}.

1. Montrer que l’ensemble (d) des points M dont l’affixe z vérifie f(z) = z est une droite.
2. Montrer que le nombre \frac{f(z)-z}{1-i}est réel.
3. En déduire que M’ appartient à la droite ∆ passant par M et de vecteur directeur \vec{u}-\vec{v}
4. Montrer que pour tout nombre complexe z, f(f(z))=f(z).
5. Déduire des questions précédentes que M’ est le point d’intersection des deux droites (d) et
∆.
6. Caractériser géométriquement l’application f.

Exercice 26 :
On considère le plan complexe rapporté à un repère orthonormé(O ;\vec{u},\vec{v}).
On désigne par A le point d’affixe 1 et par C le cercle de centre A et de rayon 1.

PARTIE A :
Soit F le point d’affixe 2, B le point d’affixe z_B=1+e^{i\frac{\pi}{3}} et E le point d’affixe z_E=1+z_B^2.

Montrer que le point B appartient au cercle C.
Déterminer une mesure en radians de l’angle  ( \vec{AF},\vec{AB}  ). Placer le point B.
Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes z_B-z_A et z_E-z_A.
En déduire que les points A, B et E sont alignés. Placer le point E.

PARTIE B :
Pour tout nombre complexe z tel que z\neq 1, on considère les points M et M’ d’affixes respectives z et z’ où z'=1+z^2.
Pour z\neq 0 et z\neq 1, donner, à l’aide des points A, M et M’ une interprétation géométrique d’un argument du nombre complexe \frac{z'-1}{z-1}.
En déduire que les points A, M et M’ sont alignés si et seulement si \frac{z^2}{z-1} est un réel.

Exercice 27 :
On considère le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O ;\vec{u},\vec{v}), et l’application
f du plan complexe dans lui-même qui au point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z^3-3z^2+3z.
On considère les points B et C d’affixe respectives i et i\sqrt{3}.

1. Calculer les affixes des points images de O, B et C par f.
2. Placer les points B et C et leur image B’ et C’ .
3. L’application f conserve-t-elle l’alignement ?
4. Montrer qu’un point M d’affixe z est invariant par f si et seulement si z vérifie l’équation :
z^3-3z^2+3z=0.

5. En déduire que f possède trois points invariants dont on déterminera les affixes.
6. Montrer pour tout z de \mathbb{C}, z'-1=(z-1)^3.

Exercice 28 :
On considère le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé(O ;\vec{u},\vec{v}).
On considère le point M d’affixe z, le point M_1 d’affixe z , le point A d’affixe 2 et le point B d’affixe 1. Soit f l’application de P privé de A dans P, qui à tout point M d’affixe z  associe le point M’ d’affixe z’ tel  que z'=\frac{z+4}{\overline{z}-2}.
Déterminer les points invariants par f .

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