Des exercices de maths corrigés en terminale sur les fonctions exponentielles.
Ces exercices font intervenir les notions suivantes :
- définition de l’exponentielle;
- sens de variation de la fonction exponentielle;
- dérivée de la fonction exponentielle;
- limites de la fonction exponentielle;
- résoudre des équations et inéquations;
- courbe de Gauss;
- simplifier des exponentielles à l’aide des formules algébriques.
Exercice n° 1 :
Ecrire à l’aide d’une seule exponentielle :
a.
b.
Exercice n° 2 :
f est une fonction dérivable sur telle que
.
g est la fonction définie sur par
.
- Vérifier que g est dérivable sur
et que g’ = g.
- Calculer g(0); en déduire l’expression de g(x).
- En déduire l’expression de f(x).
Exercice n° 3 :
Dans chaque cas, écrire l’expression avec une seule exponentielle.
1.
a.
b.
c.
2. a désigne un nombre réel, simplifier l’écriture de chaque expression :
Exercice n° 4 :
f est la fonction définie sur par
.
Dans un repère, est la courbe représentative de la fonction f et
est la tangente à
au point A d’abscisse a avec
.
1. donner une équation de .
2. Démontrer qu’il existe deux valeurs de a pour lesquelles passe par l’origine du repère.
Exercice n° 5 :
On modélise la température moyenne T à l’intérieur d’un congélateur en posant :
où
correspond au temps, exprimé en minutes, écoulé
depuis sa mise en marche et T(t) sa température en °C.
1. Donner la température moyenne à l’intérieur du congélateur :
a. avant sa mise en marche;
b. après une journée de fonctionnement.
2. Etudier la limite de T en et interpréter le résultat obtenu.
Exercice n° 6 :
Ecrire les réels donnés sous la forme exponentielle où k est un entier.
Exercice n° 6 :
Ecrire l’expression donnée sous la forme où A est une expression.
Exercice n° 7 :
On donne l’expression de trois fonctions f,g et h définies et dérivables sur .
Calculer la dérivée des fonctions f, g et h.
.
Exercice n° 8 :
On estime que les futures découvertes de pétrole dans le monde peuvent être modélisées,
à partir de 2015, par la fonction f définie sur [15 ; +[ par:
où f(x) représente, en millions de barils, l’estimation de la quantité
de pétrole qui sera découverte au cours de l’année 2000 + x.
1. Déterminer la limite de la fonction f en +.
2. Calculer f ‘ (x) et en déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [15 ; + [.
3. Interpréter les résultats des questions 1 et 2.
Exercice n° 9 :
Soit f la fonction définie sur par
.
- Exprimer
en fonction de x.
2) Justifier que, pour tout réel x de l’intervalle ,
.
3) En déduire les variations de la fonction f sur .
Exercice n° 10 :
Ecrire les expressions suivantes sous la forme exponentielle , où A est une expression.
Exercice n° 11 :
Démontrer les égalités suivantes :
Pour tout réel x, .
Pour tout réel x, .
Pour tout réel x,
Exercice n° 12 :
1)Démontrer que l’équation est équivalente à l’équation
.
2)Résoudre dans l’équation
.
Exercice n° 13 :
1)Résoudre dans l’inéquation
.
2)En déduire le signe de sur
.
Exercice n° 14 :
Soit f la fonction définie sur par
et g la fonction définie sur par
.
On donne ci-dessous les courbes représentatives et
des fonctions f et g.
- Conjecturer les limites des fonctions f et g aux bornes de leur ensemble de définition.
- Démontrer ces conjectures.
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