Exponentielle : exercices de maths en terminal corrigés en PDF.

Des exercices de maths corrigés en terminale sur les fonctions exponentielles.

Ces exercices font intervenir les notions suivantes :

définition de l’exponentielle;
sens de variation de la fonction exponentielle;
dérivée de la fonction exponentielle;
limites de la fonction exponentielle;
résoudre des équations et inéquations;
courbe de Gauss;
simplifier des exponentielles à l’aide des formules algébriques.

Exercice n° 1 :

Ecrire à l’aide d’une seule exponentielle :

a. $\frac{1}{e^3}$

b. $e^{-2}\times \,e^7$

Exercice n° 2 :

f est une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f\,\,et\,\,f(0)=-\frac{1}{2}$ .

g est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par .

Vérifier que g est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que g’ = g.
Calculer g(0); en déduire l’expression de g(x).
En déduire l’expression de f(x).

Exercice n° 3 :

Dans chaque cas, écrire l’expression avec une seule exponentielle.

a. $e^4\times \,e^6$

b. $e\times \,(e^5)^2$

c. $\frac{e^{30}\times \,e^{-10}}{e^{10}}$

2. a désigne un nombre réel, simplifier l’écriture de chaque expression :

$a)\,\,\frac{e^{2a}\times \,e^{-a}}{e^{5a}}\,\,;b)\,\,\frac{e^{2a}+1}{e^{1-a}}\,\,;\,\,c)(e^a)^3\times \,e$

Exercice n° 4 :

f est la fonction définie sur $]-1;+\infty[$ par $f(x)=\frac{e^x}{1+x}$ .

Dans un repère, $\xi$ est la courbe représentative de la fonction f et est la tangente à $\xi$ au point A d’abscisse a avec .

1. donner une équation de .

2. Démontrer qu’il existe deux valeurs de a pour lesquelles passe par l’origine du repère.

Exercice n° 5 :

On modélise la température moyenne T à l’intérieur d’un congélateur en posant :

$T(t)=19,5e^{-7\times \,10^{-4}t}-10,5$ où $t\in[0;+\infty[$ correspond au temps, exprimé en minutes, écoulé

depuis sa mise en marche et T(t) sa température en °C.

1. Donner la température moyenne à l’intérieur du congélateur :

a. avant sa mise en marche;

b. après une journée de fonctionnement.

2. Etudier la limite de T en $+\infty$ et interpréter le résultat obtenu.

Exercice n° 6 :

Ecrire les réels donnés sous la forme exponentielle où k est un entier.

$1)e^{-7}\times \,e^3$

$2)e^{-1}\times \,e^{-5}$

$3)e^2,\times \,e$

$4)e\times \,e^{-1}$

$5)\frac{1}{e}$

$6)\frac{1}{e^{-1}}$

$7)\frac{1}{e^2}$

$8)\frac{1}{e^{-3}}$

$9)\frac{e^{-3}}{e^2}$

$10)\frac{e}{e^{-1}}$

$11)\frac{e^{-2}}{e}$

$12)\frac{e^2\times \,e^{-3}}{e^5}$

$15)(e^{-1})^6$

$16)e\times \,(e^{-1})^3$

Exercice n° 6 :

Ecrire l’expression donnée sous la forme où A est une expression.

$1)e^x,\times \,e^2$

$2)e^{-1}\times \,e^{-x}$

$3)e\times \,e^x$

$4)e^x\times \,e^x$

$5)e^x\times \,e^{-x}$

$6)e^{x-1}\times \,e^x$

$8)(e^{-x+1})^3$

$10)\frac{e^{5x}}{e^x}$

$11)\frac{e^{x+1}}{e}$

$12)\frac{e^3}{e^{2x-1}}$

Exercice n° 7 :

On donne l’expression de trois fonctions f,g et h définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ .

Calculer la dérivée des fonctions f, g et h.

$1)f(x)=e^{0,5x};g(x)=e^{3x};h(x)=e^{-x}$ .

$2)f(x)=e^{x+1};g(x)=e^{1-2x};h(x)=e^{-3x+1}$

$3)f(x)=2+e^{2x};g(x)=1-e^{-2x};h(x)=e^{-3x+1}$

$4)f(x)=2+e^{2x};g(x)=1-e^{-2x};h(x)=1+2e^{-x}$

Exercice n° 8 :

On estime que les futures découvertes de pétrole dans le monde peuvent être modélisées,
à partir de 2015, par la fonction f définie sur [15 ; + $\infty$ [ par:

$f(x)=17280e^{-0,024x}$

où f(x) représente, en millions de barils, l’estimation de la quantité
de pétrole qui sera découverte au cours de l’année 2000 + x.
1. Déterminer la limite de la fonction f en + $\infty$ .

2. Calculer f ‘ (x) et en déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [15 ; + $\infty$ [.
3. Interpréter les résultats des questions 1 et 2.

Exercice n° 9 :

Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par .

Exprimer $f\,'\,(x)$ en fonction de x.

2) Justifier que, pour tout réel x de l’intervalle $[0;+\infty[$ , $f'(x)\leq\,\,0$ .

3) En déduire les variations de la fonction f sur $\mathbb{R}$ .

Exercice n° 10 :

Ecrire les expressions suivantes sous la forme exponentielle , où A est une expression.

$1)\frac{e^{2x+1}}{e^{1-x}}$

$2)\frac{e^{-x+2}\times \,e^{-2x-1}}{e^{3x+2}\times \,e^{-x-1}}$

$3)\frac{(e^{-x})^2\times \,e^{-x+1}}{e^{x+2}\times \,(e^{-x-1})^3}$

Exercice n° 11 :

Démontrer les égalités suivantes :

Pour tout réel x, $-2e^{2x}+3e^x+2=(1-2e^x)(2-e^x)$ .

Pour tout réel x, $\frac{e\times \,e^x}{e^{2+3x}}=(e^{-x-0,5})^2$ .

Pour tout réel x, $\frac{e^{1-3x}}{1+e^{-3x}}=\frac{e}{e^{3x}+1}$

Exercice n° 12 :

1)Démontrer que l’équation $e^x-2e^{-x}+1=0$ est équivalente à l’équation .

2)Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $e^x-2e^{-x}+1=0$ .

Exercice n° 13 :

1)Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $e^{-x}-e^x>0$ .

2)En déduire le signe de $1-\frac{1+e^x}{1+e^{-x}}$ sur $\mathbb{R}$ .

Exercice n° 14 :

Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=\frac{e^x+1}{x}$

et g la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\frac{x+1}{e^x}$ .

On donne ci-dessous les courbes représentatives et des fonctions f et g.

Conjecturer les limites des fonctions f et g aux bornes de leur ensemble de définition.
Démontrer ces conjectures.

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