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Exponentielle : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.

  La fonction exponentielle à travers des exercices de maths en terminale corrigés qui vous feront progresser.

Ces énoncés font intervenir les notions suivantes :

  1.  définition de l’exponentielle;
  2. sens de variation de la fonction exponentielle;
  3. dérivée de la fonction exponentielle;
  4. limites de la fonction exponentielle;
  5. résoudre des équations et inéquations;
  6. courbe de Gauss;
  7. simplifier des exponentielles à l’aide des formules algébriques.

L’élève devra être capable d’effectuer des calcul avec l’exponentielle en appliquant les différentes propriétés et les formulés à connaître par cœur. Étudier des fonctions contenant des exponentielles en sachant dériver et étudier le sens de variation en créant son tableau de signe et de variations. Ces énoncés sont accompagnés de leur correction afin de vous permettre de combler vos lacunes et d’effacer vos erreurs en terminale.

Exercice n° 1 :

Ecrire à l’aide d’une seule exponentielle :

a. \frac{1}{e^3}

b. e^{-2}\times  \,e^7

Exercice n° 2 :

f est une fonction dérivable sur \mathbb{R} telle que f'=f\,\,et\,\,f(0)=-\frac{1}{2}.

g est la fonction définie sur \mathbb{R} par g(x)=-2f(x).

  1. Vérifier que g est dérivable sur \mathbb{R} et que g’ = g.
  2. Calculer g(0); en déduire l’expression de g(x).
  3. En déduire l’expression de f(x).

Exercice n° 3 :

Dans chaque cas, écrire l’expression avec une seule exponentielle.

1.

a. e^4\times  \,e^6

b.  e\times  \,(e^5)^2

c.  \frac{e^{30}\times  \,e^{-10}}{e^{10}}

2. a désigne un nombre réel, simplifier l’écriture de chaque expression :

a)\,\,\frac{e^{2a}\times  \,e^{-a}}{e^{5a}}\,\,;b)\,\,\frac{e^{2a}+1}{e^{1-a}}\,\,;\,\,c)(e^a)^3\times  \,e

Exercice n° 4 :

f est la fonction définie sur ]-1;+\infty[ par f(x)=\frac{e^x}{1+x}.

Dans un repère, \xi est la courbe représentative de la fonction f et T_a est la tangente à \xi au point A d’abscisse a avec a>-1.

1. donner une équation de T_a.

2. Démontrer qu’il existe deux valeurs de a pour lesquelles T_a passe par l’origine du repère.

Exercice n° 5 :

On modélise la température moyenne T à l’intérieur d’un congélateur en posant :

T(t)=19,5e^{-7\times  \,10^{-4}t}-10,5  où t\in[0;+\infty[ correspond au temps, exprimé en minutes, écoulé

depuis sa mise en marche et T(t) sa température en °C.

1. Donner la température moyenne à l’intérieur du congélateur :

a. avant sa mise en marche;

b. après une journée de fonctionnement.

2. Etudier la limite de T en +\infty et interpréter le résultat obtenu.

Exercice n° 6 :

Ecrire les réels donnés sous la forme exponentielle e^k où k est un entier.

1)e^{-7}\times  \,e^3

2)e^{-1}\times  \,e^{-5}

3)e^2,\times  \,e

4)e\times  \,e^{-1}

5)\frac{1}{e}

6)\frac{1}{e^{-1}}

7)\frac{1}{e^2}

8)\frac{1}{e^{-3}}

9)\frac{e^{-3}}{e^2}

10)\frac{e}{e^{-1}}

11)\frac{e^{-2}}{e}

12)\frac{e^2\times  \,e^{-3}}{e^5}

13)(e^2)^3

14)(e^3)^2

15)(e^{-1})^6

16)e\times  \,(e^{-1})^3

Exercice n° 7 :

Ecrire l’expression donnée sous la forme e^A où A est une expression.

1)e^x,\times  \,e^2

2)e^{-1}\times  \,e^{-x}

3)e\times  \,e^x

4)e^x\times  \,e^x

5)e^x\times  \,e^{-x}

6)e^{x-1}\times  \,e^x

7)(e^x)^2

8)(e^{-x+1})^3

9)(2e^x)^3

10)\frac{e^{5x}}{e^x}

11)\frac{e^{x+1}}{e}

12)\frac{e^3}{e^{2x-1}}

Exercice n° 8 :

On donne l’expression de trois fonctions f,g et h définies et dérivables sur \mathbb{R}.

Calculer la dérivée des fonctions f, g et h.

1)f(x)=e^{0,5x};g(x)=e^{3x};h(x)=e^{-x}.

2)f(x)=e^{x+1};g(x)=e^{1-2x};h(x)=e^{-3x+1}

3)f(x)=2+e^{2x};g(x)=1-e^{-2x};h(x)=e^{-3x+1}

4)f(x)=2+e^{2x};g(x)=1-e^{-2x};h(x)=1+2e^{-x}

Exercice n° 9 :

On estime que les futures découvertes de pétrole dans le monde peuvent être modélisées,
à partir de 2015, par la fonction f définie sur [15 ; +\infty[ par:

f(x)=17280e^{-0,024x}

où f(x) représente, en millions de barils, l’estimation de la quantité
de pétrole qui sera découverte au cours de l’année 2000 + x.
1. Déterminer la limite de la fonction f en +\infty.

2. Calculer f ‘ (x) et en déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [15 ; +\infty [.
3. Interpréter les résultats des questions 1 et 2.

exponentielle

Exercice n° 10:

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=2-e^x+x.

  1. Exprimer f\,'\,(x) en fonction de x.

2) Justifier que, pour tout réel x de l’intervalle [0;+\infty[, f'(x)\leq\,\,0.

3) En déduire les variations de la fonction f sur \mathbb{R}.

Exercice n° 11 :

Ecrire les expressions suivantes sous la forme exponentielle e^A, où A est une expression.

1)\frac{e^{2x+1}}{e^{1-x}}

2)\frac{e^{-x+2}\times  \,e^{-2x-1}}{e^{3x+2}\times  \,e^{-x-1}}

3)\frac{(e^{-x})^2\times  \,e^{-x+1}}{e^{x+2}\times  \,(e^{-x-1})^3}

Exercice n° 12 :

Démontrer les égalités suivantes :

Pour tout réel x,  -2e^{2x}+3e^x+2=(1-2e^x)(2-e^x).

Pour tout réel x,  \frac{e\times  \,e^x}{e^{2+3x}}=(e^{-x-0,5})^2.

Pour tout réel x, \frac{e^{1-3x}}{1+e^{-3x}}=\frac{e}{e^{3x}+1}

Exercice n° 13 :

1)Démontrer que l’équation e^x-2e^{-x}+1=0 est équivalente à l’équation (e^x)^2+e^x-2=0.

2)Résoudre dans \mathbb{R} l’équation e^x-2e^{-x}+1=0.

Exercice n° 14  :

1)Résoudre dans \mathbb{R} l’inéquation e^{-x}-e^x>0.

2)En déduire le signe de 1-\frac{1+e^x}{1+e^{-x}} sur \mathbb{R}.

Exercice n° 15 :

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}^* par f(x)=\frac{e^x+1}{x}

et g la fonction définie sur \mathbb{R} par g(x)=\frac{x+1}{e^x}.

On donne ci-dessous les courbes représentatives C_f et C_g des fonctions f et g.

  1. Conjecturer les limites des fonctions f et g aux bornes de leur ensemble de définition.
  2. Démontrer ces conjectures.

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