Fonction convexe : cours de maths en terminale S avec leçon en PDF.

cours maths terminale

I. Convexité d’une fonction

1.Sécante à la courbe représentative d’une fonction.

Définition :

Soit f une fonction et C_f sa courbe représentative dans un repère.
Soit A et B deux points de C_f alors la droite (AB) est sécante de C_f.

convexité cours terminale 3

2.Convexité et concavité.

Définitions :

Soit f une fonction et C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

On dit que :

  1. f est convexe sur un intervalle I si, pour tout réel x de I, C_f est en dessous de ses sécantes.
  2. f est concave sur un intervalle I si, pour tout réel x de I, C_f est au-dessus de ses sécantes.

3. les fonctions usuelles.

Propriété :

La fonction x \mapsto   \sqrt{x} est concave.

Les fonctions x \mapsto   x^2 et x \mapsto   e^x sont convexes.
La fonction x \mapsto   \frac{1}{x} est convexe sur \mathbb{R}.

Exemple :
Soit f la fonction inverse définie sur \mathbb{R}^* par f(x)=\frac{1}{x} et C_f sa courbe représentative
dans le repère ci-dessous.

fonction inverse
Alors le segment [CD] est au-dessus de la courbe de C_f pour x strictement positif donc f est
convexe sur \mathbb{R}^{+*} et le segment [AB] est en dessous de la courbe C_f pour x strictement négatif
donc f est concave sur \mathbb{R}^{-*}.

4.Position par rapport aux sécantes.

Propriété :

• Si f est une fonction convexe sur un intervalle I alors pour tous réels x et y de I et pour tout t\in[0;1], on a :
f(tx+ (1 - t)y) \leq\, tf(x)+ (1 - t)f(y)
• Si f est une fonction concave sur un intervalle I alors pour tous réels x et y de I et pour tout t t\in[0;1], on a :
f(tx+ (1 - t)y) \geq\, tf(x)+ (1 - t)f(y)

Démonstration :
Soient deux réels x et y et soit t\in[0;1].

Soit A(x;f(x)) et B(y;f(y)); Alors le point
M(tx+(1-t)y;tf(x)+(1-t)f(y)) appartient au segment [AB], sécante de C_f .

f étant convexe, cette sécante est située au-dessus de C_f.
M est donc situé au-dessus du M(tx+(1-t)y;f(tx+(1-t)y)).
D’où f(tx+(1-t)y)\leq\, tf(x)+(1-t)f(y).

convexité cours terminale 2

Remarque :

Si les inégalités précédentes sont strictes, on dira que f est une fonction strictement convexe ou strictement concave sur l.

Propriété : concavité.

f est convexe sur I si et seulement si - f est concave.

Exemple :

Soit fla fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=-e^x.

La fonction x \mapsto   e^x est convexe, donc f:x \mapsto   -e^x est concave.

convexité cours terminale 1

II. Fonction convexe et dérivées première et seconde

1.Fonction convexe et fonction concave.

Théorème :

Soit I un intervalle réel.
Soit f une fonction deux fois dérivable sur I et f' sa fonction dérivée.

  •  f est convexe sur l, si et seulement si, pour tout réel x de l, f' est croissante.
  • f est concave sur l, si et seulement si, pour tout réel x de l, f' est décroissante.

Exemple :
Soit f la fonction définie et dérivable sur \mathbb{R}.
On a dressé le tableau de variations de la fonction f'.

convexité cours terminale 4
Alors f est concave sur ]-\infty ; 3] et convexe sur [3;+\infty [.

2.La fonction dérivée seconde.

Définition :

Soit f une fonction supposée deux fois dérivable sur I et f' sa fonction dérivée.
On appelle dérivée seconde de la fonction f, notée f'', la dérivée de f'.

Exemple :
Soit f la fonction définie (et dérivable deux fois) sur \mathbb{R} par l’expression f(x)=x^3+4x^2+5x+1
Alors f'(x)=3x^2+8x+5 et f''(x)=6x+8.

Remarques :

  1. La dérivée seconde d’une fonction affine est toujours nulle.
  2. La fonction exponentielle est égale à sa dérivée, donc à sa dérivée seconde également.

3.Convexité et dérivée seconde.

Théorème :

Soit f une fonction supposée deux fois dérivable et f' sa fonction dérivée.

  1. f est convexe sur I si et seulement si, pour tout réel x de l, f'' est positive.
  2. f est concave sur I si et seulement si, pour tout réel x de l, f'' est négative.

Démonstration :

f’ est croissante (resp. décroissante) si et seulement si est f'' est positive (resp. négative).
Donc f est convexe (resp. concave) si et seulement si  f'' est positive (resp. négative).

III. Tangente et point d’inflexion

1.Dérivée seconde et tangente.

Propriété :

Soit f une fonction supposée deux fois dérivable sur I de dérivée seconde f''.

Si f'' est positive sur  I, alors la courbe représentative de f est au-dessus de ses tangentes.

Preuve :

Soit \phi la fonction définie sur I par la différence entre la fonction et sa tangente.
\phi(x)=f(x)-(f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0))=f(x)-f'(x_0)x+f'(x_0)x_0-f(x_0).
Alors \phi est dérivable comme somme de fonctions dérivables et, en notant \phi' sa dérivée, on obtient :

\phi'(x)=f'(x)-f'(x_0)+0-0=f'(x)-f'(x_0).

Or f'' est positive donc f' est croissante. D’où :
si x\geq\, x_0 alors f'(x)\geq\, f'(x_0) donc \phi'(x)\geq\, 0.
si x\leq\, x_0 alorsf'(x)\leq\, f'(x_0) donc \phi'(x)\leq\, 0.
De plus, \phi(x_0) = f(x_0)-f'(x_0)x_0 + f'(x_0)x_0 -f(x_0)=0

On obtient le tableau de variations ci-dessous.

convexité cours terminale 5

Donc, pour tout réel x de I, \phi(x)\geq\, 0 donc f(x)\geq\, f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) autrement dit, la courbe représentative de f est au-dessus de ses tangentes.

Conclusion :

Si f'' est positive, alors la courbe représentative de f est au-dessus de ses tangentes.

Remarques :

  1. Si f'' est négative sur I alors la courbe représentative de f est en dessous de ses tangentes.
  2. Attention à la réciproque, une fonction convexe n’est pas obligatoirement deux fois dérivable.

2.Point d’inflexion à la courbe représentative d’une fonction.

Définition :

Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I et C_f sa courbe représentative sur cet intervalle
dans un repère orthonormé du plan.
Soit A un point de C_f et T_A la tangente C_f au point A.
On dit que A est un point d’inflexion pour C_f si, au point A, la courbe C_f traverse T_A.

Exemple :
Soit f la fonction cube et C_f sa courbe représentative dans un repère.

Alors l’origine du repère O(0 ; 0) est un point d’inflexion pour C_f.

En revanche les tangentes en -1 et en 1 ne traversent pas la courbe, les points de coordonnées (-1;f(-1)) et (1;f(1))ne sont donc pas des points d’inflexion.

convexité cours terminale 6

Propriété :

Pour qu’il y ait point d’inflexion, il faut que f'' change de signe donc que f' change de variation.

Exemple :

Si f(x)=x^3 alors f'(x)=3x^2 et f''(x)=6x.
Donc f''(x)\geq\, 0\Leftrightarrow x\geq\, 0  et f''(x)\leq\, 0\Leftrightarrow x\leq\, 0.

Il y a changement de signe de la dérivée seconde, donc f change de convexité, il y a donc en O(0 ; 0) un point d’inflexion.

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