Convexité : Cours Maths Terminale S avec leçon en PDF.

cours maths terminale

I. Convexité d’une fonction

Sécante
Définition
Soit f une fonction et Cfsa courbe représentative dans un repére.
Soit A et B deux points de alors la droite (AB) est sécante de

convexité cours terminale 1 convexité cours terminale 2

convexité cours terminale 3 convexité cours terminale 4 convexité cours terminale 5 convexité cours terminale 6

Convexité et concavité
Définitions
Soit f une fonction et ffsa courbe représentative dans un repére. On dit que :
@fest convexe sur un intervalle I si, pour tout réel x de l, est en dessous de ses sécantes.
@fest concave sur un intervalle I si, pour tout réel x de l, est au-dessus de ses sécantes.
Fonctions usuelles
Propriété
La fonction x vl¯x est concave. Les fonctions et exsont convexes.
La fonction est convexe sur R + et concave sur R_.

Exemple
Soit fla fonction cube définie sur k par fix) = et cersa courbe représentative
dans le ci-contre.
Alors le segment [CDI est au-dessus de la courbe ce,-pour x positif donc fest
convexe sur R, et le segment [ABI est en-dessous de la courbe <erpour x négatif
doncfestconcavesurk .

Position par rapport aux sécantes
Propriété
• Si fest une fonction convexe sur un intervalle I alors pour tous réels x ety de I et pour tout t (O ; II on a :
fltx+ (1 – tnx) + (1 – t)fly)
• Si fest une fonction concave sur un intervalle I alors pour tous réels x etyde I et pour tout t (O ; II on a :
fltx+(l – tnx)+ (1 – t)fly)

Démonstration
Soit deux réelsx ety et soit tun réel de [O ; 1]. SoitACc ; fix)) et BO’ ; Alors le point
M(tx4 (1 — fly; tflx) + (1 — appartient au segment [ABI, sécante de
f étant convexe, cette sécante est située au-dessus de
M est donc situé au-dessus du IN)int N(tx4 (1 — t)y; fitx4 (1 — fly)).
D’oü f(tx+ (1 —t)y) tf(x) + (1 —
Remarque Si les inégalités précédentes sont strictes, on dira que fest une fonction
strictement convexe ou strictement concave sur l.

Concavité
Propriété
f est convexe sur I si et seulement si – fest concave.
Exemple Soit fla fonction définie sur k par fix) = —ea. La fonction x e* est convexe, donc f: x —e est
concave.

II. Fonction convexe et dérivées première et seconde

Fonction convexe, fonction concave
Théoréme
Soit I un intervalle réel.
Soit f une fonction deux fois dérivable sur I et f’ sa fonction dérivée.
• f est convexe sur l, si et seulement si, pour tout réel x de l, f’ est croissante.
• f est concave sur l, si et seulement si, pour tout réel x de l, f’ est décroissante.

Exemple
Soit fla fonction définie etdérivable sur R.
On a dressé le tableau de variations
de la fonction f’.
Alors fest concave sun—I ; 3] et convexe
sur [3 ; -Pl

Dérivée premiere de fonctions de référence
Soit u une fonction dérivable sur l, de dérivée alors les fonctions 112 et eu sont dérivables sur I de dérivées :
= 2u’u
et (eu)’ = u’eu.
Exemples
@Si = (12 — 7x 4 alors f’ (x) = 2(2x — — 7x 2)
g(x) = e
7x- 1 alors g = 7e7x-
@Si hCx) = alors h = 5xAer’
Dérivée seconde
Soit f une fonction supposée deux fois dérivable sur I et f’ sa fonction dérivée.
On appelle dérivée seconde de la fonction f, notée f », la dérivée de f’.
Exemple
Soit fla fonction définie (et dérivable deux fois) sur R par Ikxpression fly)
Alors f’tx) = 312 + 4 x (2x) 4 5 = 31? 4 8K 4 5 et f »tx) = 6K 4 8.
o
Remarques
1 La dérivée seconde d’une fonction affine esttoujours nulle.
=x044ß+5X+1.
La fonction est égale å sa dérivée, donc å sa dérivée seconde également.

Convexité et dérivée seconde
Théoréme
Soit f une fonction supposée deux fois dérivable et f’ sa fonction dérivée.
• fest convexe sur I si et seulement si, pour tout réel x de l, f » est positive.
• fest concave sur I si et seulement si, pour tout réel x de l, f » est négative.
Démonstration
f’ est croissante (resp. décroissante) si et seulement si est ‘N)sitive (resp. négative).
Donc fest cowexe (resp. concave) si et seulement si est ‘N)sitive (resp. négative).

III. Tangente et point d’inflexion

Dérivée seconde et tangente
Soit f une fonction supposée deux fois dérivable sur I de dérivée seconde f ».
Si f » est sur l, alors la courbe représentative de f est au-dessus de ses tangentes.

Démonstration
Soit@ la fonction définie sur I par la différence entre la fonction et sa tangente.
$(x) = — —xo) 4 fixo)) = ax) — f’ (xo)x 4 f'(xo) xo — (xo)
Alors est dérivable comme somme de fonctions dérivables et, en notant
sa dérivée, on obtient :

Or f » est positive donc f’ est croissante. D’oü :
si x xo alors f'(xo) donc (x) 0.
si x < xo alors f'(xo) donc (x) O.
De plus, O(xo) = ftxo) — f'(xo) xo 4 f’txo) xo — fixo)
On obtient le tableau de variations ci-contre.

Donc, pour tout réel x de l, O(x) O donc — 4 fixo) autrement dit, la courbe représentative
de fest au-dessus de ses tangentes.
Conclusion : si f » est positive, alors la courbe représentative de fest au-dessus de ses tangentes.
O
Remarques
@Si f » est négative sur alors la courbe représentative de fest en-dessous de ses tangentes.
Attention å la réciproque une fonction convexe nést pas obligatoirement deux fois dérivable.

Point d’inflexion
Définition
Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I et sa courbe représentative sur cet intervalle
dans un repére orthonormé.
Soit A un point deßfet TA la tangente å ffau A.
On dit que Aest un point d’inflexion pourßfsi, au pointA, la courbeßftraverse T .

Exemple
Soit fla fonction cube et cersa courbe représentative dans un repére. Alors l’origine
du repare 0(0 ; O) est un d inflexion pour En revanche les tangentes en —1
et en 1 ne traversent pas la courbe, les points de coordonnées (—1 ; et (1 ; f(l))
ne sont donc pas des points dinflexion.

Point d’inflexion
Propriété
Pour qufil y ait point d’inflexion, il faut que f » change de signe donc que f’ change
de variation.

Exemple
Si = e alors f’ tx) = 312 et = ax.
Donc f » [x) 0 si et seulement si x 0 O si et seulement six < O.
II y a changement de signe de la dérivée seconde, donc fchange de convexité, il y a donc en ; O)
un point d inflexion.




Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF

Télécharger ou imprimer cette fiche «convexité : Cours Maths Terminale S avec leçon en PDF.» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.


Télécharger nos applications gratuites Mathématiques Web avec tous les cours,exercices corrigés.

Application Mathématiques Web sur Google Play Store. Application Mathématiques Web sur Apple Store.


.

D'autres articles analogues à convexité : Cours Maths Terminale S avec leçon en PDF.

Mathématique web est un site de mathématiques destinés aux élèves et professeurs du collège (6ème, 5ème, 4ème et 3ème) au lycée (2de, 1ère et terminale. Vous trouverez sur ce site de nombreuses ressources vous permettant de vous familiariser avec les mathématiques. Toutes les cours de maths sont rédigés par des professeurs et sont conformes aux programmes officiels de l'éducation nationale.
Comment réussir en maths ?
Une question régulièrement posée, comme le dit le dicton rien ne tombe du ciel. Afin de combler vos lacunes en mathématiques et d'envisager une progression constante tout au long de l'année scolaire et analogues à convexité : Cours Maths Terminale S avec leçon en PDF..
Pour celà, il faudra maitriser le contenu de votre leçon (définitions, théorèmes et propriétés) et vous exercer régulièrement sur les milliers d'exercices de maths disponibles sur notre site et vous pourrez également, consulter le corrigé de chaque exercice afin de repérér vos différentes erreurs et par conséquent, développer des compétences en maths.
De nombreux exercices de maths pour tous les niveaux similaires à ceux de votre manuel scolaire ainsi que, toutes les leçons du collège au lycée rédigées par des enseignants titutaires de l'éducation nationale similaires à convexité : Cours Maths Terminale S avec leçon en PDF..
En complément, vous trouverez de nombreux exercices de programmation et d'algorithme réalisés avec le programme scratch ainsi que de nombreux sujets de contrôles de maths afin de vous préparer le jour d'un devoir surveillé en classe.
Toutes les fiches ( cours et exercices) sont à télécharger gratuitement en PDF afin de pouvoir les imprimer librement sur des supports similaires à ceux de votre manuel scolaire.

  • 85
    Intégrales et primitives : cours de maths en terminale S en PDF.Les intégrales et les primitives avec un cours de maths en terminale S à télécharger gratuitement en PDF. Nous verrons dans cette leçon la définition et les différentes propriétés de l'intégrale ainsi que la signification géométriques avec les aires. Les différentes façons de calculer une intégrale à l'aide de la…
    Tags: f, i, fonction, x, cours, maths, terminale, s
  • 80
    Limite de fonctions et opérations sur les limites : cours de maths en terminale SLes tableaux ci-dessous résument les résultats à connaître. Ces tableaux sont valables dans les trois situations étudiées: Lorsque la variable . Lorsque la variable . Lorsque la variable où a R. Mais il va de soi que, pour les deux fonctions f et g concernées, les limites sont prises au…
    Tags: f, l, fonction, s, cours, maths, terminale
  • 76
    Limite de suites et fonctions : cours de maths en terminale S en PDFUn cours de maths en terminale S à télécharger gratuitement au format PDF. Une étude comparative des suites numériques et des fonctions ainsi que l'étude de la limite d'une suite et d'une fnction en l'infini ou en une valeur finie. I.Suites et fonctions: étude comparative Remarque: Les suites numériques étant…
    Tags: f, i, cours, maths, terminale, s
  • 75
    Logarithme népérien : Cours Maths Terminale S avec leçon en PDF.I. Fonction logarithme népérien, fonction réciproque de la fonction exponentielle. Fonction exponentielle Préambule La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur R. lim er —Oet lim ex = +T. Léquationé=k, avecke RZ, admet alors une unique solution dans R, d'aprés le théoréme des valeurs intermédiaires. Fonction logarithme népérien Définition…
    Tags: fonction, x, cours, maths, terminale, s
  • 70
    Probabilités : cours de maths en terminale S en PDFI.Introduction aux probabilités La théorie des probabilités consiste à mathématiser le hasard, c'est à dire les phénomènes aléatoires et donner un sens précis aux phrases du type: "A pile ou face, j'ai une chance sur deux d'obtenir pile." "Au Loto, il est nettement plus probable de perdre, que de gagner…
    Tags: cours, maths, terminale, s
Les dernières fiches mises à jour



Chaîne Youtube

Inscription gratuite à Mathématiques Web.  Mathématiques Web c'est 1 924 138 fiches de cours et d'exercices téléchargées.
Rejoignez les 43 564 membres de Mathématiques Web, inscription gratuite.

A propos de webmaster 275 Articles
webmaster de ce site Mathématiques Web qui est géré par une équipe volontaire d'enseignants de maths du collège au lycée.Notre but est de mettre en ligne, gratuitement, le maximum de ressources et fiche de maths afin de permettre aux élèves de réviser sur des exercices, contrôles et sujets du brevet et du baccalauréat mais également de fournir aux professeurs des ressources qu'ils peuvent utiliser librement en classe.