cours maths terminale

Convexité : Cours Maths Terminale S avec leçon en PDF.

I. Convexité d’une fonction

Sécante
Définition
Soit f une fonction et Cfsa courbe représentative dans un repére.
Soit A et B deux points de alors la droite (AB) est sécante de

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Convexité et concavité
Définitions
Soit f une fonction et ffsa courbe représentative dans un repére. On dit que :
@fest convexe sur un intervalle I si, pour tout réel x de l, est en dessous de ses sécantes.
@fest concave sur un intervalle I si, pour tout réel x de l, est au-dessus de ses sécantes.
Fonctions usuelles
Propriété
La fonction x vl¯x est concave. Les fonctions et exsont convexes.
La fonction est convexe sur R + et concave sur R_.

Exemple
Soit fla fonction cube définie sur k par fix) = et cersa courbe représentative
dans le ci-contre.
Alors le segment [CDI est au-dessus de la courbe ce,-pour x positif donc fest
convexe sur R, et le segment [ABI est en-dessous de la courbe <erpour x négatif
doncfestconcavesurk .

Position par rapport aux sécantes
Propriété
• Si fest une fonction convexe sur un intervalle I alors pour tous réels x ety de I et pour tout t (O ; II on a :
fltx+ (1 – tnx) + (1 – t)fly)
• Si fest une fonction concave sur un intervalle I alors pour tous réels x etyde I et pour tout t (O ; II on a :
fltx+(l – tnx)+ (1 – t)fly)

Démonstration
Soit deux réelsx ety et soit tun réel de [O ; 1]. SoitACc ; fix)) et BO’ ; Alors le point
M(tx4 (1 — fly; tflx) + (1 — appartient au segment [ABI, sécante de
f étant convexe, cette sécante est située au-dessus de
M est donc situé au-dessus du IN)int N(tx4 (1 — t)y; fitx4 (1 — fly)).
D’oü f(tx+ (1 —t)y) tf(x) + (1 —
Remarque Si les inégalités précédentes sont strictes, on dira que fest une fonction
strictement convexe ou strictement concave sur l.

Concavité
Propriété
f est convexe sur I si et seulement si – fest concave.
Exemple Soit fla fonction définie sur k par fix) = —ea. La fonction x e* est convexe, donc f: x —e est
concave.

II. Fonction convexe et dérivées première et seconde

Fonction convexe, fonction concave
Théoréme
Soit I un intervalle réel.
Soit f une fonction deux fois dérivable sur I et f’ sa fonction dérivée.
• f est convexe sur l, si et seulement si, pour tout réel x de l, f’ est croissante.
• f est concave sur l, si et seulement si, pour tout réel x de l, f’ est décroissante.

Exemple
Soit fla fonction définie etdérivable sur R.
On a dressé le tableau de variations
de la fonction f’.
Alors fest concave sun—I ; 3] et convexe
sur [3 ; -Pl

Dérivée premiere de fonctions de référence
Soit u une fonction dérivable sur l, de dérivée alors les fonctions 112 et eu sont dérivables sur I de dérivées :
= 2u’u
et (eu)’ = u’eu.
Exemples
@Si = (12 — 7x 4 alors f’ (x) = 2(2x — — 7x 2)
g(x) = e
7x- 1 alors g = 7e7x-
@Si hCx) = alors h = 5xAer’
Dérivée seconde
Soit f une fonction supposée deux fois dérivable sur I et f’ sa fonction dérivée.
On appelle dérivée seconde de la fonction f, notée f », la dérivée de f’.
Exemple
Soit fla fonction définie (et dérivable deux fois) sur R par Ikxpression fly)
Alors f’tx) = 312 + 4 x (2x) 4 5 = 31? 4 8K 4 5 et f »tx) = 6K 4 8.
o
Remarques
1 La dérivée seconde d’une fonction affine esttoujours nulle.
=x044ß+5X+1.
La fonction est égale å sa dérivée, donc å sa dérivée seconde également.

Convexité et dérivée seconde
Théoréme
Soit f une fonction supposée deux fois dérivable et f’ sa fonction dérivée.
• fest convexe sur I si et seulement si, pour tout réel x de l, f » est positive.
• fest concave sur I si et seulement si, pour tout réel x de l, f » est négative.
Démonstration
f’ est croissante (resp. décroissante) si et seulement si est ‘N)sitive (resp. négative).
Donc fest cowexe (resp. concave) si et seulement si est ‘N)sitive (resp. négative).

III. Tangente et point d’inflexion

Dérivée seconde et tangente
Soit f une fonction supposée deux fois dérivable sur I de dérivée seconde f ».
Si f » est sur l, alors la courbe représentative de f est au-dessus de ses tangentes.

Démonstration
Soit@ la fonction définie sur I par la différence entre la fonction et sa tangente.
$(x) = — —xo) 4 fixo)) = ax) — f’ (xo)x 4 f'(xo) xo — (xo)
Alors est dérivable comme somme de fonctions dérivables et, en notant
sa dérivée, on obtient :

Or f » est positive donc f’ est croissante. D’oü :
si x xo alors f'(xo) donc (x) 0.
si x < xo alors f'(xo) donc (x) O.
De plus, O(xo) = ftxo) — f'(xo) xo 4 f’txo) xo — fixo)
On obtient le tableau de variations ci-contre.

Donc, pour tout réel x de l, O(x) O donc — 4 fixo) autrement dit, la courbe représentative
de fest au-dessus de ses tangentes.
Conclusion : si f » est positive, alors la courbe représentative de fest au-dessus de ses tangentes.
O
Remarques
@Si f » est négative sur alors la courbe représentative de fest en-dessous de ses tangentes.
Attention å la réciproque une fonction convexe nést pas obligatoirement deux fois dérivable.

Point d’inflexion
Définition
Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I et sa courbe représentative sur cet intervalle
dans un repére orthonormé.
Soit A un point deßfet TA la tangente å ffau A.
On dit que Aest un point d’inflexion pourßfsi, au pointA, la courbeßftraverse T .

Exemple
Soit fla fonction cube et cersa courbe représentative dans un repére. Alors l’origine
du repare 0(0 ; O) est un d inflexion pour En revanche les tangentes en —1
et en 1 ne traversent pas la courbe, les points de coordonnées (—1 ; et (1 ; f(l))
ne sont donc pas des points dinflexion.

Point d’inflexion
Propriété
Pour qufil y ait point d’inflexion, il faut que f » change de signe donc que f’ change
de variation.

Exemple
Si = e alors f’ tx) = 312 et = ax.
Donc f » [x) 0 si et seulement si x 0 O si et seulement six < O.
II y a changement de signe de la dérivée seconde, donc fchange de convexité, il y a donc en ; O)
un point d inflexion.


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