Logarithme népérien : cours de maths en terminale S avec leçon en PDF.

cours maths terminale

I. Fonction logarithme népérien, fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Propriétés : la fonction exponentielle.

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur \mathbb{R}.
Nous avons \lim_{x\to -\infty }e^x=0 et \lim_{x\to +\infty }e^x=+\infty.

L’équation e^x=k, avec k\in \mathbb{R}^{+*}, admet alors une unique solution dans \mathbb{R}, d’après le théorème des valeurs intermédiaires.

Logarithme cours terminale 1

Définition : fonction logarithme népérien.

On appelle fonction logarithme népérien, notée ln, la fonction définie sur ]0;+\infty[ qui à tout nombre réel strictement positif x associe l’unique solution de l’équation e^y=x  d’inconnue y.

On définit ainsi y = ln (x).

Exemple :

A l’aide de la touche ln de la calculatrice, on peut vérifier que ln (2) \simeq 0,693.

Remarque :

Quand il n’y a pas d’ambiguïté, on peut noterlnx au lieu de ln(x).

Propriétés : fonction logarithme népérien.
  • Pour tout réel x>0,e^{lnx}=x
  • Pour tout réel x,ln(e^x)=x
  • ln1=0
  • lne=1
  • ln(\frac{1}{e})=-lne=-1

Exemple :

ln(e^3)=3  et e^{ln3}=3.

II. Courbes des fonctions logarithme népérien et exponentielle

Propriété :

Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions ln et exp sont symétriques par rapport à la droite d’équation y= x.

Logarithme cours terminale 2

III. Sens de variation de la fonction logarithme népérien

Propriété :

La fonction ln est strictement croissante sur ]0;+\infty[.

Démonstration :

Soient a et b deux nombres réels strictement positifs.
0<a<b\Leftrightarrow 0<e^{ln(a)}<e^{ln(b)}.

On en déduit ln (a) < ln (b) car la fonction x \mapsto   e^x est strictement croissante sur \mathbb{R}.

Propriétés :

Pour tous réels a > O et b > O : ln(a)= ln(b) \Leftrightarrow a=b\, et\,ln (a) < ln (b) \Leftrightarrow a < b.

Preuve :

•  ln(a)=ln(b)\Leftrightarrow e^{ln(a)}=e^{ln(b)}\Leftrightarrow a=b car la fonction x \mapsto   e^x est strictement croissante sur \mathbb{R}.
ln(a)<ln(b)\Leftrightarrow e^{ln(a)}<e^{ln(b)}\Leftrightarrow a<b car la fonction x \mapsto   e^x est strictement croissante sur \mathbb{R}.

Remarque :

ln(x)>0\Leftrightarrow x>1   et    ln(x)<0\Leftrightarrow 0<x<1.

Logarithme cours terminale 3

IV. Propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien

1.Relation fonctionnelle.

Propriété :

Pour tous réels a et b strictement positifs :
ln(ab) = ln(a) + ln(b).

Preuve :

Pour tous réels a et b strictement positifs, e^{ln(ab)}=ab=e^{ln(a)}\times   e^{ln(b)}=e^{ln(a)+ln(b)}
soit e^{ln(ab)}=e^{ln(a)+ln(b)}.
On a donc ln(ab) = ln(a) + ln(b).

Remarques :

  1. On retrouve la particularité  que cette fonction transforme les produits en sommes.
  2. Cette formule se généralise à un produit de plusieurs facteurs.

Exemples :

ln (10) = ln (5 \times   2) = ln (5) + ln(2)
ln (30) = ln (2\times   3 \times   5) =ln (2) + ln (3) + ln (5)

2. Logarithme d’un inverse et d’un quotient.

Propriété :

Pour tous réels a et b strictement positifs :

ln(\frac{a}{b})=ln(a)-ln(b)  et  ln(\frac{1}{a})=-ln(a).

Preuve :

Pour tout nombre réel a strictement positif :

ln(1)=ln(\frac{a}{a})=ln(a\times   \frac{1}{a})=lna+ln(\frac{1}{a}) d’où  ln(a)+ln(\frac{1}{a})=0

ainsi, nous avons ln(\frac{1}{a})=-ln(a).

Pour tous nombres réels a et b strictement positifs:

ln(\frac{a}{b})=ln(a\times   \frac{1}{b})=ln(a)+ln(\frac{1}{b})=ln(a)-ln(b).

3. Logarithme d’une puissance, d’une racine carrée.

Propriété :

Pour tout réel a strictement positif, et pour tout entier relatif n :

ln(a^n) = nln(a)  et ln(\sqrt{a})=\frac{1}{2}ln(a).

Exemples :

ln(25)=ln(5^2)=2ln(5).

ln(16)-2ln(2)+ln(8)=ln(2^4)-2ln(2)+ln(2^3)=4ln(2)-2ln(2)+3ln(2)=5ln(2)

ln(\sqrt{6})=ln(6^{\frac{1}{2}})=\frac{1}{2}ln(6).

V. Étude de la fonction logarithme népérien

1.Dérivée de la fonction logarithme népérien.

Propriété :

La fonction ln est dérivable sur ]0;+\infty[ et, pour tout réel x>0, ln'(x)=\frac{1}{x}.

Preuve :
On admet que la fonction ln est dérivable sur ]0;+\infty[ .

Pour tout réel x>0, on pose f(x)=e^{ln(x)}.
La fonction ln étant dérivable sur ]0;+\infty[ et la fonction exponentielle étant dérivable sur \mathbb{R},

f est aussi dérivable sur ]0;+\infty[ comme composée de fonctions dérivables.
Sachant que (vou)'=(v'ou)\times   u', en posant v(x)=e^x et u(x) = ln(x),  on a alors :
f'(x)=e^{ln(x)}\times   ln'(x)=x\times   ln'(x).
On a également f(x)=x donc  f'(x)=1.
Par conséquent, on a  x\times   ln'(x)=1\Leftrightarrow ln'(x)=\frac{1}{x}.

2.Limites aux bornes de l’ensemble de définition.

Propriétés :

\lim_{x\to +\infty}ln(x)=+\infty  et    \lim_{x\to 0}ln(x)=-\infty

3.Tableau de variations de ln et courbe représentative.

Propriété :

Logarithme cours terminale 4 Logarithme cours terminale 5

4.Croissance comparée.

Propriété :

\lim_{x\to +\infty}\frac{lnx}{x}=0\,;\, \lim_{x\to 0}xlnx=0;\lim_{x\to +\infty}\frac{lnx}{x^n}=0\,(n\in\mathbb{N}^*)\,;\, \lim_{x\to 0}x^nlnx=0\,(n\in\mathbb{N}^*)

5. Fonction composée ln (u).

Propriété : dérivée de ln u.

Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle l.
La fonction lnu est alors dérivable sur I et (ln u)' =\frac{u'}{u}

Propriété : sens de variation  de ln(u).

Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle l.
Les fonctions u et lnu ont le même sens de variation sur l.

Preuve :

u étant strictement positive, le signe de  \frac{u'}{u} est le même que celui de u'u'.

Or (ln u)' =\frac{u'}{u}, ce qui signifie que le signe de (lnu)' est le même que celui de u',

c’est-à-dire que u et lnu ont même sens de variation.

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