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Logarithme népérien : Cours Maths Terminale S avec leçon en PDF.

I. Fonction logarithme népérien, fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Fonction exponentielle
Préambule
La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur R.
lim er —Oet lim ex = +T. Léquationé=k, avecke RZ, admet alors une
unique solution dans R, d’aprés le théoréme des valeurs intermédiaires.

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Fonction logarithme népérien
Définition
On appelle fonction logarithme népérien, notée In, la fonction définie sur 10 ; qui å tout nombre réel
strictement x associe l’unique solution de léquation e’ = x dinconnuey. On définit ainsi y = In (x).
f Exemple Å [‘aide de la touche In de la calculatrice, on peutvérifierque In (2) z 0,693.
Remarque Quand il n’y a pas d’ambiguité, on peutnoter Inx au lieu de In (M.
Fonction logarithme népérien
Propriétés
• Pourtoutréelx>O : et
• In (e) = 1
= In (e-1) =

f Exemple 3 eteln131 = 3
Courbes des fonctions In et exp
Propriété
Dans un repere orthonormé, les courbes représentatives des fonctions
In et exp sont symétriques par rapport å la droite déquationy= x.
Sens de variation de la fonction In
Propriété
La fonction In est strictement croissante surlO ; +æ(.
Démonstration
a et b ; O < b o O < < eintb)
exp (n
On en déduit In (a) < In (b) car la est strictement croissante sur k.

Conséquences liées au sens de variation de In
Propriété
Pour tous réels a > O et b > O : In(a) = In (b) a b et In (a) < In (b) e a < b.
Démonstrations
• In (a) = In (b) = ein(bj a = b car la fonction x est strictement croissante sur R.
• In (a) < In (b) o < ein(b) o a < b car la fonctionx ex est strictementcroissante sur R.
o
Remarque Inly) 1 etln(x) 1.

II. Propriétés algébriques de la fonction In

Relation fonctionnelle
Propriété
Pour tous réels a et b strictement positifs :
In (ab) = In (a) + In (b).

Démonstration
Pour tous réels a et b strictement positifs, = ab = x = einLj*ln1bl
soit =
On a donc In (ab) = In(a) + In (b).

Remarques
• On retrouve particularité de l’activité 2, å savoir que cette fonction transforme les produits en sommes.
• Cette formule se généralise å un produit de plusieurs facteurs.
Exemples
• In (10) = In (5 x 2) = In (5) + In(2)
• In (30) = In (2×3 x 5) = In (3) + In (5)

Logarithme d’un inverse, d’un quotient
Propriété
Pour tous réels a et b strictement positifs :
= In ax
In
b
= In (a) — In (b)
Démonstrations
@pour a > O, ax——
b
In
1 doncln
b
= —In (a)
ax— = Oolna41n — = Ooln — = —Inc.
Dérr
= Ina In —
b
= Ina — Inb

Logarithme d’une puissance, d’une racine carrée
Propriété
Pour tout réel a strictement positif, et pour tout entier relatif n :
In (an) = n In (a)
Démonstrations
@einlan) = an et = (einlaj)n = an
On a alors = enlntol, soit In (an) = nln (a).
Exemples
In (25)
• In (16) -2 In(2) + In (8) = In(2′) -2 In (2) 4 In (2) +3 In (2) = 5 In(2)

III. Étude de la fonction logarithme népérien

Dérivée de la fonction In
La fonction In est dérivable sur 10 ; +051 et, pour tout réel x > O, In’ (x) –
Démonstration
On admet que la fonction In est dérivable surlO ; -P Pour tout réel x O, on pose fix) = einß.
La fonction In étant dérivable sur 10 ; -e et la fonction étant dérivable sur k, fest aussi
dérivable sur]O ; comme de fonctions dérivables.
Sachantque (v n u)’ = (v’ n u) x u’, en posant = ex et u(x) = In on a alors :
f'(x) = x In’
On a également = x or x’ = 1.
Par conséquent, on a xx In’ (A) = 1 In’ (x)
Limites aux bornes de l’ensemble de définition
Propriétés
Démonstration
at’* 04-CS
ØLJEN
. lim
. lim In
Remarque Commexe R:, lim In (x) sous entend lim In
O

Tableau de variations de In et courbe représentative
Propriété

IV. Fonction In (u)

Dérivée de Inu
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle l.
La fonction Inu est alors dérivable sur I et(ln u)’ =
Démonstrations
Soit u une fonction positive etdérivable sur un intervalle l.
Sachantque (vo u)’ = (v’ u) x u’, en posant vtx) = Inx, on a alors :
(Inu(x))• = —x u'(x) —
puisque v’ (X) —
u(x)
u(x)
x
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle l.
0 VIDEO
Démonsation
att«04-æ
ØLJEN
Sachantque (v u)’ = (v’ o u) x u’, en posant v(.x) = In x, on a alors = x puisque (exr = ex.
Sens de variation de In u
Propriété
Soit u une fonction dérivable et strictement FN)sitive sur un intervalle l.
Les fonctionsu et In u ont le meme sens de variation sur l.
Démonstration
u étant strictement positive, le signe de — est le meme que celui de LY. Or (In u)’ — —ce qui signifie que
le signe de (Inu)’ est le méme que celui de u’, c’est-ä-dire que u et Inu ont méme sens de variation.


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