corrige

Corrigé des exercices sur la trigonométrie en 1ère.

EXERCICE 1 :

1) On a :

g(-x)=cos(4(-x))sin^2(4(-x))=cos(-4x)sin^2(-4x)=cos(4x)sin^2(4x)=g(x)

Donc g est une fonction paire, ce qui signifie que son graphe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

2) On a :

g(x+\frac{\pi}{2})=cos(4(x+\frac{\pi}{2}))sin^2(4(x+\frac{\pi}{2}))=cos(4x+2\pi)sin^2(4x+2\pi)=cos(4x)sin^2(4x)=g(x)

Donc g est une fonction \frac{\pi}{2}-périodique, c’est-à-dire que son graphe se répète tous les \frac{\pi}{2}.

EXERCICE 2 :

1) On a :

g(-x)=cos(-x)+sin(-x)=cos(x)-sin(x)\neq g(x)
g(x+\pi)=cos(x+\pi)+sin(x+\pi)=-cos(x)-sin(x)\neq g(x)

Donc g n’est ni paire ni impaire.

2) On a :

g(x+2\pi)=cos(x+2\pi)+sin(x+2\pi)=cos(x)+sin(x)=g(x)

Donc g est une fonction 2\pi-périodique, c’est-à-dire que son graphe se répète tous les 2\pi.

3) On remarque que :

-1\leq\, cos(x)\leq\, 1
-1\leq\, sin(x)\leq\, 1

Donc en ajoutant les deux inégalités, on obtient :

-2\leq\, cos(x)+sin(x)\leq\, 2

Donc pour tout réel x, -2\leq\, g(x)\leq\, 2.

EXERCICE 3 :

1) On a cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}, donc cos(-\frac{\pi}{3})=cos(\pi-\frac{\pi}{3})=-cos(\frac{\pi}{3})=-\frac{1}{2}.

De plus, cos(\frac{2\pi}{3})=cos(\pi+\frac{\pi}{3})=-cos(\frac{\pi}{3})=-\frac{1}{2}.

2) On a sin(-\frac{\pi}{3})=-sin(\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}.

De plus,sin(\frac{2\pi}{3})=sin(\pi+\frac{\pi}{3})=-sin(\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}.

EXERCICE 4 :

1) On a cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}  lorsque x=\frac{\pi}{6} ou x=\frac{11\pi}{6} (car cos est positif sur [0,\pi] et \frac{\sqrt{3}}{2} est l’une des valeurs que peut prendre cos à ces deux angles).

2) On a sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{2} lorsque x=\frac{\pi}{4} ou x=\frac{3\pi}{4} (car sin est positif sur [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}] et \frac{\sqrt{2}}{2} est l’une des valeurs que peut prendre sin à ces deux angles).

EXERCICE 5 :

Courbe cosinus

1. Les abscisses des points A et B sont respectivement \frac{\pi}{3} et \frac{2\pi}{3}.

2. Les solutions sur [0;2\pi[ de l’équation cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2} sont x=\frac{\pi}{6} et x=\frac{11\pi}{6}.

3. Les solutions sur [0;2\pi[ de l’inéquation cos(x) \leq\,\, \frac{\sqrt{3}}{2} sont x\in[0,\frac{\pi}{6}]\cup[\frac{5\pi}{6},\pi]\cup[\frac{7\pi}{6},2\pi].

EXERCICE 6 :

a) On a f(x+1)=cos(2\pi(x+1))=cos(2\pi x+2\pi)=cos(2\pi x)=f(x) pour tout réel x, donc f est bien T-périodique avec T=1.

b) On a f(x+\frac{2\pi}{3})=sin(3(x+\frac{2\pi}{3}))=sin(3x+2\pi)=sin(3x)=f(x) pour tout réel x, donc f est bien T-périodique avec T=\frac{2\pi}{3}.

c) On a f(x+\frac{2\pi}{7})=\frac{2}{3}cos(7(x+\frac{\pi}{4})+\frac{2\pi}{7})=\frac{2}{3}cos(7x+\frac{9\pi}{28})=\frac{2}{3}cos(7x+\frac{2\pi}{7})=f(x) pour tout réel x, donc f est bien T-périodique avec T=\frac{2\pi}{7}.

d) On a f(x+\frac{6\pi}{5})=\frac{10}{7}sin(\frac{5(x+\frac{6\pi}{5})-8}{3})=\frac{10}{7}sin(\frac{5x-2\pi}{3})=\frac{10}{7}sin(\frac{5x}{3})=f(x) pour tout réel x, donc f est bien T-périodique avec T=\frac{6\pi}{5}.

EXERCICE 7 :

1.a) On a \frac{91\pi}{4}=22\pi+\frac{\pi}{4}, donc x=-\frac{\pi}{4}.

b) cos(\frac{91\pi}{4})=\cos(22\pi+\frac{\pi}{4})=\cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}

et sin(\frac{91\pi}{4})=\sin(22\pi+\frac{\pi}{4})=\sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}.

2.a) cos(-\frac{13\pi}{6})=\cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}.

b) sin(-\frac{81\pi}{2})=sin(40\pi-\frac{\pi}{2})=-sin(\frac{\pi}{2})=-1.

3.a) cos(\frac{25\pi}{3})=\cos(8\pi+\frac{\pi}{3})=\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}, donc sin(\frac{25\pi}{3})=\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})=\sin(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}.

b) sin(\frac{45\pi}{6})=\sin(\frac{15\pi}{2})=\sin(7\pi+\frac{\pi}{2})=\sin(\frac{\pi}{2})=1, donc cos(\frac{45\pi}{6})=\cos(\frac{\pi}{2})=0.

EXERCICE 8 :

1.a) Comme f est définie sur ]-\pi ; \pi], on a -1 \leq\, X=cos(x) \leq\, 1.

b) En résolvant l’équation 4X^2\,+\,2(\sqrt{2}\,-\,l)X\,-\sqrt{2}=0, on trouve X_1=\frac{-\sqrt{2}}{4\sqrt{2}-2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}(\sqrt{2}-1)=\cos(\frac{3\pi}{4}) etX_2=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}(\sqrt{2}+1)=\cos(\frac{\pi}{4}).

c) Les solutions sur [-1,1] de l’équation 4X^2\,+\,2(\sqrt{2}\,-\,l)X\,-\sqrt{2}=0 sont X=\cos(\frac{\pi}{4}) et X=\cos(\frac{3\pi}{4}).

d) En utilisant le fait que cos(x)=X, on en déduit les solutions de l’équation f(x)=0 sur ]-\pi ; \pi]: x=\frac{\pi}{4}+2k\pi et x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi pour k\in\mathbb{Z}.

2. Les solutions sur [-1,1] de l’inéquation 4X^2\,+\,2(\sqrt{2}\,-\,l)X\,-\sqrt{2}>0 sont

X \in ]-\infty,\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4\sqrt{2}-2}[\cup]\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4\sqrt{2}-2},\frac{-\sqrt{2}}{4}[\cup]\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4\sqrt{2}-2}[\cup]\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4\sqrt{2}-2},+\infty[.

En utilisant le fait que cos(x)=X, on en déduit les solutions de l’inéquation f(x)>0 sur ]-\pi ; \pi]:

x \in ]\arccos(\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4\sqrt{2}-2}),\arccos(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4\sqrt{2}-2})[\cup]\arccos(\frac{\sqrt{2}}{4}),\arccos(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4\sqrt{2}-2})[.

EXERCICE 9 :

Tourne disque en vinyle

1. Le disque tourne 33 tours et \frac{1}{3} de tour par minute, donc il tourne pendant 60 \times   33\times   \frac{1}{3}=\frac{2000}{3} min.

Chaque chanson a donc une durée de \frac{\frac{2000}{3}}{6}= \frac{100}{3} min.

Le saphir se trouvera donc sur le demi-axe négatif à la fin de chaque chanson, c’est-à-dire après une durée de \frac{100}{3} min.

2. Le disque tourne 16 tours et \frac{2}{3} de tour par minute, donc il tourne pendant 16 \times   60+\frac{2}{3}= 962\times   \frac{2}{3} s.

Chaque chanson a donc une durée de5 \times   60=300 s.

a) Après 3 min=180 s, le saphir aura parcouru un angle de \frac{180}{300} \times   2\pi=\frac{6}{5}\pi.

Il se trouvera donc sur le demi-axe positif.

b) Après 4 min=240 s, le saphir aura parcouru un angle de \frac{240}{300} \times   2\pi=\frac{8}{5}\pi.

Il se trouvera donc sur le demi-axe négatif.

c) A la fin de la première chanson, le saphir aura parcouru un angle de \frac{300}{300} \times   2\pi=2\pi.

Il reviendra donc à la position de départ sur le demi-axe positif.

d) A la fin de la deuxième chanson, le saphir aura parcouru un angle de \frac{2 \times   300}{300} \times   2\pi=4\pi. Il se trouvera donc sur le demi-axe négatif.

EXERCICE 10 :

1. La fonction cos est paire et 2\pi-périodique, donc la fonction f est également paire et 2\pi-périodique. Graphiquement, cela signifie que la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et qu’elle se répète identiquement tous les 2\pi.

2. Comme f est 2\pi-périodique, il suffit d’étudier la fonction sur un intervalle de longueur 2\pi.

Le plus petit intervalle possible est donc [-\pi;\pi].

3. a) La fonction f’ est définie et dérivable sur tout \mathbb{R}, sauf en les points où sin^2(x)=-3 (ce qui n’a pas de sens).

Sur les autres points, on a

f'(x)=\frac{-sin(x)(3+sin^2(x))-cos(x)2sin(x)}{(3+sin^2(x))^2}\\\\=\frac{-sin(x)(3+sin^2(x))-2cos(x)sin(x)}{(3+sin^2(x))^2}\\\\=-\frac{sin(x)(sin^2(x)+2)}{(3+sin^2(x))^2}.

Comme sin^2(x)\geq\, 0, on a f'(x)\leq\, 0 si sin(x) \geq\, 0 et f'(x)\geq\, 0 si sin(x) \leq\, 0.

b) Les extrema locaux de f sont les points où f'(x)=0 ou f n’est pas dérivable.

Les points où f est pas dérivable sont les points où sin^2(x)=-3, qui n’existent pas. Donc les seuls points où f'(x)=0 sont les points où sin(x)=0, c’est-à-dire les multiples entiers de \pi.

c) Sur l’intervalle [-\pi;\pi], f est décroissante sur [-\pi;0]et croissante sur [0;\pi].

Le minimum de f est donc atteint en x=\pi, où f(\pi)=-\frac{1}{3}, et le maximum est atteint en x=0, où f(0)=1.

Pour tracer la courbe de f sur [-\pi;3\pi], on peut se baser sur la périodicité de f : f est 2\pi-périodique donc il suffit de tracer la courbe sur un intervalle de longueur 2\pi et de la répéter ensuite identiquement sur chaque intervalle de même longueur.

On peut donc tracer la courbe de f sur [0,2\pi] et ensuite représenter cette courbe sur chaque intervalle[2k\pi ; (2k+2)\pi] en la décalant horizontalement de 2k\pi.

EXERCICE 12 :

1. La fonction cos est paire, donc la fonction f est également paire et 2\pi-périodique.

Graphiquement, cela signifie que la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et qu’elle se répète identiquement tous les 2\pi.

2. La fonction f’ est définie et dérivable sur tout \mathbb{R}.

Sur cet intervalle, f’ est positive si sin(x)<0, c’est-à-dire si x\in]\pi,2\pi[, et négative si sin(x)>0, c’est-à-dire si x\in ]0,\pi [.

Donc f est croissante sur [0,\pi] et décroissante sur [\pi,2\pi].

3. Sur l’intervalle [0,2\pi], f est décroissante sur [0,\pi] et croissante sur [\pi,2\pi]. Le minimum de f est donc atteint en x=\pi, où f(\pi)=-\frac{1}{3}, et le maximum est atteint en x=0 et en x=2\pi, où f(0)=f(2\pi)=-1.

Ensuite, on peut dresser le tableau de variations de f sur l’intervalle [-\pi;\frac{3}{\pi}] en répétant le tableau sur chaque intervalle [2k\pi ; (2k+2)\pi] et en décalant horizontalement en cela pour chaque table.

EXERCICE 13 :

1. Puisque -1\leq\, cos(x)\leq\, 1 pour tout x, on a -1\leq\, -x\leq\, 1, donc les solutions de l’équation cos(x)=-x sont dans l’intervalle [-1,1].

2. La fonction f est définie et dérivable sur [-1,1], donc elle est continue sur cet intervalle.

Puisque f(-1)=-1+cos(-1)<0 et f(1)=1+cos(1)>0, la courbe de f rencontre l’axe des abscisses au moins une fois dans l’intervalle [-1,1].

On peut conjecturer que l’équation cos(x)=-x admet une unique solution dans cet intervalle, qui correspond à l’abscisse de l’intersection de la courbe de f avec l’axe des abscisses.

b) f'(x)=-sin(x)+1, donc f'(x) est positive si sin(x)<1, c’est-à-dire si x\in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[, et négative si sin(x)>1, c’est-à-dire si x\in ]\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}[.

Donc f est croissante sur [-1,0] et décroissante sur [0,1].

c) En partant du tableau de variations de f', on peut en déduire le tableau de variations de f sur [-1,1]. Puisque la fonction est croissante sur [-1,0] et décroissante sur [0,1], elle admet un unique zéro sur l’intervalle [0,1], correspondant donc à l’unique solution de l’équation cos(x)=-x dans l’intervalle [-1,1].

d) A l’aide d’une calculatrice, on obtient une valeur approchée de la solution de l’équation cos(x)=-x dans l’intervalle [-1,1] : x \approx 0,7391.

EXERCICE 14 :

Lentille d'un phare

1. La lentille parcourt un angle de 360° en 5 secondes, donc elle parcourt un angle de \frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ} en 1 seconde.

2. L’aire balayée par la lentille en 1 seconde est proportionnelle à l’angle parcouru en 1 seconde, donc elle vaut \frac{72}{360}\cdot \pi (45\text{ km})^2 \approx 29,9\text{ km}^2.

EXERCICE 15 :

1. La fonction cos est paire, donc pour tout réel x, on a f_m(-x)=cos(-mx)=cos(mx)=f_m(x). La fonction f_m est donc paire.

Graphiquement, cela signifie que la courbe représentative de f_m est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

2. Pour tout réel x, on a f_m(x+\frac{2\pi}{m})=cos(m(x+\frac{2\pi}{m}))=cos(mx+2\pi)=cos(mx)=f_m(x).

La fonction f_m est donc périodique de période \frac{2\pi}{m}.

3. Puisque cos(x) est périodique de période 2\pi, la fonction cos(mx) est périodique de période \frac{2\pi}{m}.

On peut donc se limiter à étudier f_m sur l’intervalle[0,\frac{2\pi}{m}], c’est-à-dire sur l’intervalle [0,\frac{\pi}{m}] si on se restreint aux valeurs positives de x.

4. a) La fonction f'_m est définie et dérivable sur tout \mathbb{R}, donc elle est continue sur tout \mathbb{R}.

Puisque le sin est positif sur [0,\frac{\pi}{m}], on a f'_m(x)=-msin(mx)\leq\, 0 sur cet intervalle.

b) D’après le tableau de variations de f'_m, la fonction f_m est décroissante sur [0,\frac{\pi}{m}].

c) Si m>0, f_m admet un maximum en 0 et une valeur minimale en\frac{\pi}{m}, qui sont respectivement f_m(0)=1 et f_m(\frac{\pi}{m})=-1.

Par ailleurs, si on considère la périodicité de f_m de période \frac{2\pi}{m}, on peut recopier le tableau de variation sur l’intervalle [0,\frac{\pi}{m}] sur chaque intervalle de la forme [\frac{2k\pi}{m}, \frac{(2k+1)\pi}{m}], en le décalant horizontalement de \frac{2k\pi}{m}.

EXERCICE 16 :

Rose des vents

1. Le sens « O » se situe à gauche de l’axe des ordonnées.

Comme l’axe des abscisses correspond au sens « E » et que le sens « S » est dirigé vers le bas, le sens « O » est dirigé vers la gauche et en bas.

Cela correspond donc à un réel négatif qui est plus grand que \frac{-\pi}{2}.

Par exemple, on peut prendre -\frac{3\pi}{4}.

2. Le sens « S » est dirigé vers le bas de l’axe des ordonnées. Comme le sens « N » correspond à \frac{\pi}{2}, cela correspond donc à un réel négatif.

Comme le sens « S » est à mi-chemin entre le sens « E » et le sens « O », cela correspond donc à un réel qui est le milieu entre 0 et -\pi.

On a donc -\frac{\pi}{2}.

3. Le sens « NE » fait un angle de \frac{\pi}{4} avec l’axe des abscisses. Cela correspond donc au réel \frac{\pi}{4}.

4. a) Le sens « NNE » fait un angle de \frac{\pi}{8} avec l’axe des abscisses. Cela correspond donc au réel \frac{\pi}{8}.

b) Par symétrie, le sens « SSE » correspond à un angle de \frac{\pi}{8} avec l’axe des abscisses, donc cela correspond au réel –\frac{\pi}{8}.

c) Par symétrie, le sens « NNO » correspond à un angle de \frac{\pi}{4} avec l’axe des abscisses mais du côté gauche de l’axe des ordonnées (puisque c’est le symétrique du sens « NE » par rapport à l’axe des ordonnées).

Cela correspond donc à l’opposé du réel \frac{\pi}{4}, c’est-à-dire -\frac{\pi}{4}.

EXERCICE 17 :
A=cos(\frac{\pi}{4})+cos(\frac{3\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=0
B=sin(\frac{\pi}{3})-cos(\frac{\pi}{4})+sin(\frac{5\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{2}
C=cos^2(\frac{\pi}{2})-sin^2(\frac{\pi}{2})=0-1=-1

EXERCICE 18 :
D=-cos(\frac{7\pi}{3})+cos(\frac{41\pi}{3})=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-1
B=sin(-\frac{87\pi}{4})+sin(-\frac{21\pi}{6})=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}

EXERCICE 19 :
Désolé, il n’y a pas de données à partir desquelles résoudre un exercice.

EXERCICE 20 :
1. En utilisant les coordonnées des points M et N, on obtient un système d’équations à deux inconnues a et b :

a \times   cos(-\frac{\pi}{2})+b \times   sin(-\frac{\pi}{2})=2
a \times   cos(\frac{\pi}{4})+b \times   sin(\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}

En résolvant ce système, on trouve a=\sqrt{2} et b=2\sqrt{2}.

2. En utilisant les valeurs de a et b obtenues, on peut écrire :

f(x)=\sqrt{2}cos(x)+2\sqrt{2}sin(x)

3. Pour montrer que f est 2\pi-périodique, on peut calculer f(x+2\pi) et vérifier qu’on obtient la même expression que f(x).

En effectuant les calculs, on obtient :

f(x+2\pi)=\sqrt{2}cos(x+2\pi)+2\sqrt{2}sin(x+2\pi)
= \sqrt{2}cos(x)+2\sqrt{2}sin(x)
= f(x)

Ceci signifie que si on trace la courbe représentative de f sur un intervalle [a, a+2\pi], on pourra la décaler de 2\pi pour obtenir la courbe sur l’intervalle [a+2\pi, a+4\pi], et ainsi de suite.

4. Pour déterminer si f est paire ou impaire, il faut vérifier si f(-x)=f(x) (cas d’une fonction paire) ou f(-x)=-f(x) (cas d’une fonction impaire).

En remplaçant x par -x dans l’expression de f, on obtient :

f(-x)=\sqrt{2}cos(-x)+2\sqrt{2}sin(-x)
= \sqrt{2}cos(x)-2\sqrt{2}sin(x)

On constate que f(-x) est différent de f(x) et de -f(x), donc f n’est ni paire ni impaire.

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «corrigé des exercices sur la trigonométrie en 1ère.» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.


D'autres fiches analogues :


Inscription gratuite à Mathématiques Web. Mathématiques Web c'est 2 212 817 fiches de cours et d'exercices téléchargées.