cours maths 4ème

Proportionnalité et pourcentages : cours de maths en 4ème

Un cours de maths sur la proportionnalité en quatrième (4ème).

La proportionnalité et les pourcentages avec le calcul de la quatrième proportionnelle et puis la vitesse moyenne et les grandeurs composées.

Cette leçon fait intervenir les notions suivantes :

– définition de la proportionnalité;

– coefficient de proportionnalité;

– tableau de proportionnalité;

– quatrième proportionnelle;

– produit en croix;

– aspect graphique de la proportionnalité.

I.La quatrième proportionnelle

Propriété :

On considère deux grandeurs proportionnelles et trois valeurs a,b et c données.

On peut déterminer la valeur de x en utilisant la règle de trois (ou le produit en croix).

Définition de la quatrième proportionnelle

Exemple 1 :

Six pots de miel coûtent 21€. On suppose que le prix payé est proportionnel au nombre de pots achetés. Combien coûtent cinq pots ?

  • On regroupe les données dans un tableau de proportionnalité :

Tableau de proportionnalité 1

  • On détermine x par le calcul en utilisant la règle du produit en croix.

x=\frac{21\times 5}{6}=\frac{105}{6}=17,5 €.

  • On en déduit que cinq pots de miel coûtent 17,5 €.

Exemple 2 :

Un fichier de 225 Mo est téléchargé en 54 secondes.

Combien de temps faut-il pour télécharger dans les mêmes conditions un fichier de 850 Mo ?

  • On suppose que le débit de la connexion est constant, c’est-à-dire que la durée de téléchargement est proportionnelle à la taille du fichier.
  • On regroupe les données dans un tableau de proportionnalité.

Tableau de proportionnalité 2

  • On détermine la valeur de x en utilisant la règle du produit en croix vue en cinquième : x=\frac{54\times 850}{225}=\frac{45900}{225}=204\,s.
  • On en déduit que la durée de téléchargement d’un fichier d’une capacité de 850 Mo est de 204 secondes.

Remarque :

L’exemple 1 peut également se résoudre en déterminant le prix d’un pot : 21 : 6 =3,50 € donc un pot coûte 3,50 euros.

Puis, on détermine le prix de 5 pots : 5 x 3,50 17,50 €.

En revanche, ce passage à l’unité est plus délicat dans l’exemple 2.

II. Appliquer la proportionnalité

1.Les pourcentages

Exemple :

Dans un collège de 475 élèves, il y a 323 demi-pensionnaires.

Quel est le pourcentage de demi-pensionnaires dans ce collège ?

On cherche le nombre de demi-pensionnaires pour 100 élèves dans lequel la proportion de demi-pensionnaires serait la même.

  • On regroupe les données dans un tableau de proportionnalité.

Tableau de proportionnalité 3

  • On détermine x par le calcul  : x=\frac{323\times 100}{475}=68.
  • On en déduit que 68 % des élèves sont demi-pensionnaires dans ce collège.

2.La vitesse moyenne

Définition :

On définit la vitesse moyenne v en fonction du temps t et de la vitesse parcourue d.

v=\frac{d}{t}.

Exemple :

Lors d’une randonnée en montagne, nous avons parcouru 12,6 km en 4h 30 min.

Quelle a été notre notre vitesse moyenne ?

  • Ici, d = 12,6 km  et t = 4h 30 min=4,5 h.
  • On a donc v=\frac{d}{t}=\frac{12,6}{4,5}=2,8\,km/h.

Remarque :

  • Il faut veiller à la cohérence des unités dans les applications.
  • On passe d’une vitesse en m/s en km/h en multipliant par 3,6.

3. Les grandeurs composées

Exemple  : 

L’or est un métal qui figure parmi les plus denses. Sa masse volumique est 19,3\,kg/dm^3.

La banque de France conserve ce métal sous forme de pavés, appelés lingots, de 2,65 dm de hauteur et dont la base a une aire de 0,244 dm².

Combien pèse un tel lingot ?

  • Dire que la masse volumique de l’or est de 19,3\,kg/dm^3 signifie que 1\,dm^3 d’or pèse 19,3 kg.
  • On cherche la masse d’un lingot de volume V=2,65\times 0,244=0,6466\,dm^3.

grandeurs composées 2

  • x=\frac{19,3\times 0,6466}{1}=12,48\,kg
  • Un lingot d’or pèse donc 12,48 kg.

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