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Matrices et graphes : cours de maths en terminale en PDF.

    Le chapitre sur les matrices avec un cours de maths en terminale et nécessite une certaine concentration de la part de l’élève.  Cette leçon d’enseignement de spécialité lui permettra de développer des compétences nouvelles.

I. La notion de matrice.

Soient m, n et p trois entiers naturels non nuls.

1.Notion de matrice et opérations.

Définition :

Une matrice de taille (ou format) n\times  \,p  est un tableau de nombres réels n lignes et p colonnes.

Exemple :

matrice

est une matrice à 2 lignes et 3 colonnes donc de taille 2\times  \,3.

Définitions :

Lorsque n = 1, on dit que M est une matrice ligne, formée d’une seule ligne.
Puis, lorsque p = 1, on dit que M est une matrice colonne, formée d’une seule colonne.
Et lorsque n = p, on dit que M est une matrice carrée d’ordre n.
Une matrice diagonale est une matrice carrée, dont tous les termes sont nuls sauf
lorsque i=j.
La matrice identité d’ordre n est la matrice diagonale d’ordre n dont les coefficients
diagonaux sont égaux à 1. On la note I_n.
La matrice nulle de taille n\times  \,p, notée O_{n,p} , est la matrice de taille n\times  \,p, dont tous les coefficients sont nuls.

Exemples :

Exemples de matrices

Définition :

Deux matrices A et B de taille n\times  \,p sont égales lorsque, pour tout i\in\,\,\{\,1,2,...,n\,\,\} et j\in\,\,\{\,1,2,...,p\,\,\}

on a (a_{ij})=(b_{ij}).

Définition :

Une matrice carrée d’ordre n sont symétrique lorsque, pour tout i\in\,\,\{\,1,2,...,n\,\,\} et j\in\,\,\{\,1,2,...,n\,\,\}

on a (a_{ij})=(a_{ji}).

Exemple :

La matrice suivante est symétrique.

matrice

2. Opérations sur les matrices.

Définitions :

Soient A\,=(a_{ij}) et B\,=(b_{ij}) deux matrices de taille n\times  \,p.

  1. La somme des matrices A et B, notée A + B, est la matrice C\,=(c_{ij}) de taille n\times  \,p
    telle que, pour tous 1\leq\,\,i\leq\,\,n et1\leq\,\,j\leq\,\,p, on c_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}.
  2.  Le produit de la matrice A par un réel \lambda, noté \lambda\,A, est la matrice M\,=\,(m_{ij}) de
    taille n\times  \,p telle que, pour tous 1\leq\,\,i\leq\,\,n et 1\leq\,\,j\leq\,\,p, on a m_{i,j}=\lambda\times  \,a_{i,j}.
Propriétés :

Soient A, B et C trois matrices de même taille et \alpha et \beta deux réels.

  1. A+ B = B + A (commutativité de la somme de matrices)
  2. A+(B +C) = (A+ B)+C (associativité de la somme de matrices)
  3. 1\times  \,A=A\times  \,1=A
  4. (\alpha\,+\beta\,)A=\alpha\,A+\,\beta\,A
  5. \alpha\,(A+B)=\alpha\,A+\alpha\,B
Définition :

On appelle matrice opposée de A la matrice M=(-1)A, notée -A, telle que,

pour tout  1\leq\,\,i\leq\,\,n et 1\leq\,\,j\leq\,\,p, on a m_{i,j}=-a_{i,j}.

De plus, on note A-B la matrice A+(-B).

Exemples :

somme et produit de matrices

Définition :

Soit L=(l_{1,1},l_{1,2},...,l_{1,n}) une matrice ligne de taille 1\times  \,n et

matrice colonne

une matrice colonne de taille matrice colonne de taille n\times  \,1.

Alors le produit L\times  \,C est le nombre réel définit par :

produit de matrices

Exemple :

produit de matrices

3.Produit de deux matrices.

Définition :

Si A est une matrice de taille m\,\times  \,n et B une matrice de taille n\times  \,p, le produit des
matrices A et B, noté A\times  \,B ou AB, est la matrice C\,=\,(c_{i,j}) de taille m\times  \,p  telle que,
pour tout  1\leq\,\,i\leq\,\,n et 1\leq\,\,j\leq\,\,p, on a c_{i,j}=\sum_{k=1}^{n}b_{i,k}\times  \,b_{k,j}.
Autrement dit, l’élément c_{i,j}. est le produit de la i-ème ligne de A par la j-ième
colonne de B.

Propriétés :

Soient A, B et C trois matrices et \lambda un nombre réel.

Sous réserve de définition des produits et des sommes, on a :

  1. (A\times  \,B)\times  \,C=A\times  (\,B\times  \,C)=A\times  \,B\times  \,C
  2. A\times  \,(B+C)=A\times  \,B+\,A\times  \,C
  3. (A+B)\times  \,C=A\times  \,C+\,B\times  \,C
  4. (\lambda\,A)\times  \,B=A\times  \,(\lambda\,B)=\lambda\,AB
  5. I_n\times  \,A=A\times  \,I_n=A
Définition :

Soient A une matrice carrée d’ordre n et k un entier naturel non nul.
La puissance k-ième de A, notée A^k, est la matrice A^k=A\times  \,A\times  \,...\times  \,A (k fois).

4.Inverse d’une matrice et résolution de système.

Définition :

Une matrice carrée A de taille n est inversible lorsqu’il existe une matrice carrée B
de taille n telle que A\times  \,B\,=\,B\,\times  \,A=I_n.

Définition :

Soit  matrice carrée une matrice carrée d’ordre 2.

Le déterminant de A est le réel, noté det(A), défini par det(A)=ad-bc.

Propriété :

Une matrice carrée est inversible si, et seulement si, son déterminant est non nul.
En particulier, si  matrice carrée est inversible alors

matrice inverse

Propriété :

Soient A une matrice carrée de taille n et X et B deux matrices colonnes à n lignes.
Si A est inversible, alors le système d’écriture matricielle AX = B admet une unique
solution donnée par la matrice colonne X\,=\,A^{-1}\times  \,B.

Exemple :

système et matrice

II. Les graphes.

Définitions :

Un graphe est une représentation composée de sommets (des points) reliés par des
arêtes (segments).
Un graphe orienté est un graphe dont les arêtes sont munies d’un sens de parcours.
L’ordre d’un graphe est le nombre de sommets de ce graphe.
Le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes incidentes à ce sommet, sans tenir
compte de leur éventuel sens de parcours.

Exemple :
Le graphe ci-dessous est d’ordre 5.
Les sommets K et L sont de degré 3.
Les sommets M , M et M, sont de degré 2.

graphe

Définitions :

Deux sommets sont adjacents lorsqu’ils sont reliés par au moins une arête.
Un graphe est complet lorsque tous ses sommets sont deux à deux adjacents.

Exemples :
1. Le graphe ci-dessous est complet car tous ses sommets sont deux à  deux adjacents.

graphe
2. Le graphe ci-dessous n’est pas complet car les sommets A et B, par exemple, ne sont
pas adjacents.

graphe

Définition :

Pour un graphe non orienté, une chaîne est une suite d’arêtes consécutives reliant
deux sommets (éventuellement confondus).
La longueur d’une chaine est le nombre d’arêtes la composant.
Pour un graphe orienté, un chemin est une suite d’arêtes consécutives reliant deux
sommets (éventuellement confondus) en tenant compte du sens de parcours des arêtes.

graphe

III. Application du calcul matriciel aux graphes.

Définition :

Soit n un entier naturel non nul. On considère un graphe d’ordre n (orienté ou non)
dont les sommets sont numérotés de 1 à n, puis rangés dans l’ordre croissant.
La matrice d’adjacence de ce graphe est la matrice carrée de taille n, dont le

coefficienta_{i,j} est égal au nombre d’arêtes partant du sommet i pour arriver au sommet j.

Exemple :

En notant M la matrice d’adjacence du graphe ci-dessous obtenue en rangeant

les sommets dans l’ordre alphabétique.

Nous avons :

matrice matrice

Propriété :

Soient n et k deux entiers naturels non nuls et M la matrice d’adjacence d’un graphe
d’ordre n, dont les sommets sont numérotés de 1 à n et rangés dans l’ordre croissant
Le terme de la i-ème ligne et de la j-ième colonne de la matrice M^k donne le
nombre de chaînes (ou de chemins) de longueur k reliant le sommet i au sommet j.

Exemple :

exercice sur les matrices

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