sommaire
Un cours de maths en terminale S sur les nombres complexes.
Ce cours de maths fait intervenir les notions suivantes :
- définition du nombre complexe;
- forme algébrique;
- forme géométrique;
- formule d’Euler;
- formule de Moivre;
- équations complexes;
- représentation géométrique d’un nombre complexe;
- partie réelle et imaginaire d’un nombre complexe;
- opérations sur les nombres complexes.
Ce cours de maths sur les nombres complexes, rédigé par un enseignant de l’éducation nationale, est à télécharger gratuitement au format PDF.
I.Forme algébrique d’un nombre complexe
Il existe un ensemble de nombres noté 
, dont les éléments sont appelés les nombres complexes, tel que :
- contient l’ensemble des nombres réels;
- les règles de calculs dans sont les mêmes que dans ;
- contient un élément noté tel que ;
- tout nombre complexe z peut s’écrire de manière unique sous la forme avec et deux nombres réels (cette écriture s’appelle l’écriture algébrique du nombre complexe z).Le nombre x est appelé partie réel (notée Re(z)) du nombre z et le nombre y est appelé partie imaginaire (notée Im(z)) du nombre complexe z.
Exemple :
Le nombre est un nombre complexe.
est sa partie réelle et 2 est sa partie imaginaire.
- z est un nombre réel si et seulement si Im(z)=0.
- z est un imaginaire pur si et seulement si Re(z)=0.
II.Conjugué d’un nombre complexe
On considère z un nombre complexe dont la forme algébrique est z=x+iy avec x et y deux nombres réels.On appelle conjugué du nombre z, le nombre complexe, noté , tel que .
Exemple :
et .
On considère deux nombres complexes et .Nous avons les propriétés suivantes :
- avec
- est un imaginaire pur
- avec
- avec
- avec
III.Représentation graphique des nombres complexes
1.Affixe d’un point
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct
On associe à tout nombre complexe z=x+iy , on associe le point M(x;y).
M est appelé le point image de z et z est appelé l’affixe du point M dans le repère orthonormé direct . On note M(z) qui se lit le point M d’affixe z.
Exemple :
Le point M d’affixe a pour coordonnées .
Le point N d’affixe a pour coordonnées .
2.Affixe d’un vecteur
A tout nombre complexe z affixe du point M(x,y), on associe le vecteur tel que .et on note , le vecteur d’affixe z.
Exemples:
Le vecteur d’affixe z=1+2i a pour coordonnées .
Le vecteur d’affixe 1-3i a pour coordonnées .
On considère deux vecteurs et d’affixes respectives et.Le vecteur a pour affixe .
Le vecteur a pour affixe avec .
3.Les équations du second degré dans
On considère un nombre réel .
- Si a>0, les solutions sont et ;
- Si a<0, les solutions sont et ;
- Si a=0, la solution est z=0.
Exemple :
L’équation admet comme solutions dans : et .
4.Les équations du type az²+bz+c=0
On considère des nombres réels a,b et c avec .On considère dans , l’équation (E) : de discriminant .
- Si >0, les solutions sont et ;
- Si <0, les solutions sont et ;
- Si =0, la solution est .
Exemple :
Résoudre dans , l’équation (E) : .
.
Les solutions sont :
et .
5.Factorisation d’un trinôme du second degré
On considère des nombres réels a,b et c avec .Pour tout nombre , on pose .
On note et les deux solutions de dans (avec éventuellement = lorsque =0).
On a pour tout , .
Exemple :
Reprenons l’exemple précédent, .
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