Suites numériques : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.

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Une série d’exercices de maths en terminale S sur les suites numériques.

Cette fiche fait intervenir les notions suivantes :

définition d’une suite;
somme des termes d’une suite;
convergence d’une suite numérique;
comportement asymptotique d’une suite;
étude suite et fonctions;
suites récurrentes.

Exercice n° 1 :

u est la suite définie par et, pour tout nombre entier naturel n, $u_{n+1}=\sqrt{u_n^2+1}$ .

Avec le tableur, on a obtenu ci-dessous les premières valeurs de et .

Conjecturer une expression de en fonction de n.
Valider cette conjecture par un raisonnement par récurrence.

Exercice n° 2 :

V est la suite définie par et pour tout nombre entier naturel n, $V_{n+1}=V_n+2n+2$ .

Démontrer par récurrence que pour tout nombre entier naturel n, .

Exercice n° 3 :

Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, $2^n\geq\,\,\,\,n+1$ .

Exercice n° 4 :

Sur cette figure :

les triangles sont rectangles.

Démontrer par récurrence, que pour tout nombre entier naturel n, $OA_n=\sqrt{4n+1}$ .

Exercice n° 5 :

Etudier, en justifiant, la limite en l’infini de chacune des suites numériques suivantes :

$1.\,u_n=3(2-0,9^n)\\2.\,v_n=1,01^n-5\\3.\,w_n=\frac{3+0,2^n}{0,9^n-5}\\4.\,t_n=\frac{4^n+5}{2\times \,3^n}$

Exercice n° 6 :

u est la suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme .

Pour tout nombre entier naturel n non nul, exprimer en fonction de n.
Etudier la limite de la suite $\,(\,S_n\,\,)$ .

Exercice n° 7 :

On considère la suite définie par et pour tout $n\in\,\mathbb{N}$ ,

$u_{n+1}=\frac{3u_n}{1+2u_n}$ .

1)Soit f la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\frac{3x}{1+2x}$ .

a)Etudier les variations de f sur $[0;+\infty[$ .

b) En déduire que si $x\in[0;1]$ , alors f ‘ (x) $\in[0;1]$ .

2)Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, $0\leq\,\,u_n\leq\,\,1$ .

3)Déterminer le sens de variation de la suite .

Exercice n° 8 :

La suite est définie par et pour tout $n\in\,\mathbb{N}^*$ ,

$u_{n+1}=u_n+2n+1$ .

1)A l’aide de la calculatrice ou d’un tableur, déterminer les dix premiers

termes de la suite .

2)a)Quelle conjecture peut-on faire sur l’expression de en fonction de n ?

b)Démontrer cette conjecture par récurrence.

Exercice n°9 :

Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul,

$\sum_{q=1}^{n}q^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ .

Exercice n° 10 :

Déterminer la limite de définie sur $\mathbb{N}^*$ en utilisant les théorèmes généraux.

.

$2)u_n=\frac{3}{3+2n}$ .

$3)u_n=4n-1+\frac{5}{\sqrt{n}}$ .

$4)u_n=-n^2-5n+\frac{1}{n}$

Exercice n°11 :

Soit la suite définie par et, pour tout $n\in\,\mathbb{N}$ ,

$u_{n+1}=-\frac{1}{3}u_n+1$ .

Soit la suite définie pour tout entier naturel n par :

.

1)Montrer que la suite est géométrique de raison $-\frac{1}{3}$ .

Préciser le premier terme.

2) Déterminer l’expression de en fonction de n et en déduire que,

pour tout entier naturel n :

$u_n=\frac{17}{4}\times \,(-\frac{1}{3})^n+\frac{3}{4}$ .

3) Déterminer la limite de la suite .

Exercice n° 12 :

Etudier si les suites suivantes, définies sur $\mathbb{N}$ , sont bornées.

$1)u_n=(\frac{1}{3})^n-8$ .

.

.

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