Logarithme : exercices de maths en terminale S corrigés en PDF.

Logarithmes avec des exercices corrigés de maths en terminale S faisant intervenir les propriétés des logarithmes népériens et les fonctions.

Ces exercices corrigés de maths sur les logarithmes font intervenir les notions suivantes :

définition du logarithme;
équations fonctionnelles;
formules algébriques sur les logarithmes;
limites et fonctions logarithmes.

Exercice n° 1 :

Résoudre les équations suivantes :

$a)e^x=1\\b)e^x=4\\c)e^{2x}=2\\d)4e^{-x}-3=12\\e)e^{2x-1}=2\\f)e^{-x}=-5$

Exercice n° 2 :

Résoudre les équations suivantes :

$a)lnx=3\\b)ln(2x)=0\\c)2lnx-1=6\\d)ln(2x-1)=3\\e)ln ( \frac{1}{x-1} )=1 \\f)ln(x^2)=4$

Exercice n° 3 :

Simplifier l’écriture des nombres suivants :

$a=ln3+ln\frac{1}{3}\\b=ln\frac{1}{16}\\c=\frac{1}{2}ln\sqrt{2}$

Exercice n° 4 :

Après avoir préciser l’ensemble de définition des solutions de l’équation, la résoudre.

$a)ln(1-x)+ln(1+x)=2(ln2-ln5)\\b)lnx+ln(x-3)=ln4\\c)ln(x(x-3))=ln4$

Exercice n° 5 :
Soit la fonction f définie sur $]0;+\infty[$ par : $f(x)=2x-1+ln ( \frac{x}{x+1} )$ .
On note sa représentation graphique dans un repère orthonormé $( O;\vec{i},\vec{j} )$ du plan (unité graphique : 2 cm).
1. Étudier la limite de f en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.
2. a. Étudier la limite de f en $+\infty$ .
b. Démontrer que la droite $\Delta$ d’équation est une asymptote à en $+\infty$ .
Étudier la position de par rapport à $\Delta$ .
3. Étudier les variations de f. Dresser son tableau de variations.
4. Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $]0;+\infty[$ et déterminer un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$ .
5. Tracer la droite $\Delta$ et la courbe .

Exercice n° 6 :

Utile aussi pour le bac… en Chimie !
On sait, en Chimie, que le pH d’une solution permet d’exprimer son caractère acide ou basique.
Ce nombre est un décimal compris entre 1 et 14 de sorte que :
● Si pH < 7, alors la solution est dite acide.
● Si pH > 7, alors la solution est dite basique.
● Si pH = 7, elle est dite neutre.
On sait alors que le pH est associé à la relation $pH = - log[H_3O^{+}]$ où est la concentration en ions , exprimée en mol/L.

1. Une solution possède une concentration en ions égale à $5\times 10^{-9}$ .
Quel est son pH ? Que peut-on dire d’une solution dont la concentration en ions est
égale à 0,1 ?
2. Quelle est la concentration en ions d’une solution neutre ?
3. Si l’on augmente la concentration en ions dans une solution, diminue-t-on ou augmente-t-on le pH de cette solution ?
4. Que faut-il faire à une solution pour incrémenter ou décrémenter son pH ?

Vocabulaire : Incrémenter, c’est ajouter 1. Donc décrémenter, c’est… ?

Exercice n° 7 :
f est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x)=x+2-ln(1+e^{2x})$ .
C est sa courbe dans un repère orthogonal $( O;\vec{i},\vec{j} )$ .

1. a. Déterminer la limite de $ln(1+e^{2x})$ en $-\infty$ .
b. En déduire l’existence d’une asymptote oblique $\Delta$ dont on précisera une équation.
c. Montrer que pour tout réel x :
$f(x)=2-x-ln(1+e^{-2x})$
d. Déterminer la limite de f en $+\infty$ , ainsi que l’existence d’une seconde asymptote oblique
$\Delta'$ .
2. Montrer que l’axe des ordonnées est un axe de symétrie pour C.
3. Résoudre l’inéquation $1-e^{2x} \geq\, 0$ .
4. Étudier les variations de la fonction f.
5. Représenter $\Delta$ , $\Delta'$ et C, après avoir indiqué la position de $\Delta$ et C.

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