Logarithmes : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.

Les logarithmes avec des exercices corrigés de maths en terminale font intervenir plusieurs propriétés intéressantes ainsi que les fonctions.

Ces exercices corrigés sur les logarithmes font intervenir les notions suivantes :

définition du logarithme;
équations fonctionnelles;
formules algébriques sur les logarithmes;
limites et fonctions logarithmes.

Exercice n° 1 :

Résoudre les équations suivantes :

$a)e^x=1\\b)e^x=4\\c)e^{2x}=2\\d)4e^{-x}-3=12\\e)e^{2x-1}=2\\f)e^{-x}=-5$

Exercice n° 2 :

Résoudre les équations suivantes :

$a)lnx=3\\b)ln(2x)=0\\c)2lnx-1=6\\d)ln(2x-1)=3\\e)ln\,(\,\frac{1}{x-1}\,)=1\,\\f)ln(x^2)=4$

Exercice n° 3 :

Simplifier l’écriture des nombres suivants :

$a=ln3+ln\frac{1}{3}\\b=ln\frac{1}{16}\\c=\frac{1}{2}ln\sqrt{2}$

Exercice n° 4 :

Après avoir préciser l’ensemble de définition des solutions de l’équation, la résoudre.

$a)ln(1-x)+ln(1+x)=2(ln2-ln5)\\b)lnx+ln(x-3)=ln4\\c)ln(x(x-3))=ln4$

Exercice n° 5 :
Soit la fonction f définie sur $]0;+\infty[$ par : $f(x)=2x-1+ln\,(\,\frac{x}{x+1}\,\,)$ .
On note sa représentation graphique dans un repère orthonormé $\,(\,O;\vec{i},\vec{j}\,\,)$ du plan (unité graphique : 2 cm).
1. Étudier la limite de f en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.
2. a. Étudier la limite de f en $+\infty$ .
b. Démontrer que la droite $\Delta$ d’équation est une asymptote à en $+\infty$ .
Étudier la position de par rapport à $\Delta$ .
3. Étudier les variations de f. Dresser son tableau de variations.
4. Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $]0;+\infty[$ et déterminer un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$ .
5. Tracer la droite $\Delta$ et la courbe .

Exercice n° 6 :

Utile aussi pour le bac… en Chimie !
On sait, en Chimie, que le pH d’une solution permet d’exprimer son caractère acide ou basique.
Ce nombre est un décimal compris entre 1 et 14 de sorte que :
● Si pH < 7, alors la solution est dite acide.
● Si pH > 7, alors la solution est dite basique.
● Si pH = 7, elle est dite neutre.

On sait alors que le pH est associé à la relation $pH\,=\,-\,log[H_3O^{+}]$ où est la concentration en ions , exprimée en mol/L.

1. Une solution possède une concentration en ions égale à $5\times \,10^{-9}$ .
Quel est son pH ? Que peut-on dire d’une solution dont la concentration en ions est
égale à 0,1 ?
2. Quelle est la concentration en ions d’une solution neutre ?
3. Si l’on augmente la concentration en ions dans une solution, diminue-t-on ou augmente-t-on le pH de cette solution ?
4. Que faut-il faire à une solution pour incrémenter ou décrémenter son pH ?

Vocabulaire : Incrémenter, c’est ajouter 1. Donc décrémenter, c’est… ?

Exercice n° 7 :
f est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x)=x+2-ln(1+e^{2x})$ .
C est sa courbe dans un repère orthogonal $\,(\,O;\vec{i},\vec{j}\,\,)$ .

1. a. Déterminer la limite de $ln(1+e^{2x})$ en $-\infty$ .
b. En déduire l’existence d’une asymptote oblique $\Delta$ dont on précisera une équation.
c. Montrer que pour tout réel x :
$f(x)=2-x-ln(1+e^{-2x})$
d. Déterminer la limite de f en $+\infty$ , ainsi que l’existence d’une seconde asymptote oblique
$\Delta'$ .
2. Montrer que l’axe des ordonnées est un axe de symétrie pour C.
3. Résoudre l’inéquation $1-e^{2x}\,\geq\,\,0$ .
4. Étudier les variations de la fonction f.
5. Représenter $\Delta$ , $\Delta'$ et C, après avoir indiqué la position de $\Delta$ et C.

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