Limite de suites et fonctions : cours de maths en terminale S en PDF

sommaire

1 I.Suites et fonctions: étude comparative
- 1.1 1 Sens de variation de fonctions et de suites numériques.
- 1.2 2.Suites et fonctions majorées, minorées, bornées
2 II.Limites de suites et de fonctions.
- 2.1 1.Limite finie (l ) et limite en + de fonctions et suites.
- 2.2 2.Limite finie en – de fonctions numériques.
  - - 2.2.0.1 3.Limite finie d’une fonction en un point aR
3 II.Cas où la fonction ou la suite n’a pas de limite.
4 III.Le théorèmes de comparaison

Un cours de maths en terminale S à télécharger gratuitement au format PDF. Une étude comparative des suites numériques et des fonctions ainsi que l’étude de la limite d’une suite et d’une fnction en l’infini ou en une valeur finie.

I.Suites et fonctions: étude comparative

Remarque:

Les suites numériques étant des fonctions particulières ( définies sur N ou une partie de N ), on retrouvera nécessairement pour les suites et les fonctions, des propriétés analogues.

Toutes les propriétés ne seront pas reprises ici, mais seulement celles dont la comparaison est instructive.

Les suites apparaîtront dans la colonne de droite et les fonction numériques dans celle de gauche. Sauf cas particuliers, les suites sont définies sur N ou éventuellement une partie de N (à partir d’un certain rang ) et les fonctions sont définies sur R ou une partie de R ( la plupart du temps sur un intervalle I ).

1 Sens de variation de fonctions et de suites numériques.

f croissante sur I $\Leftrightarrow$ Pour tout a $\in$ I et b $\in$ I, si a $\leq\,$ b alors f(a) $\leq\,$ f(b)

f strictement croissante sur I $\Leftrightarrow$ Pour tout a $\in$ I et b $\in$ I, si a < b alors f(a) < f(b)

f décroissante sur I $\Leftrightarrow$ Pour tout a $\in$ I et b $\in$ I, si a $\leq\,$ b alors f(a) $\geq\,$ f(b)

f strictement décroissante sur I $\Leftrightarrow$ Pour tout a $\in$ I et b $\in$ I, si a < b alors f(a) > f(b)

f constante sur I $\Leftrightarrow$ Pour tout a $\in$ I et b $\in$ I, si a $\leq\,$ b alors f(a) = f(b)

f monotone sur I $\Leftrightarrow$ f conserve le même sens de variation sur l’intervalle I

Si f est dérivable sur I, alors: f croissante sur I Pour tout x $\in$ I, f ‘ (x) $\geq\,$ 0

Si f est dérivable sur I, alors: f décroissante sur I Pour tout x $\in$ I, f ‘ (x) $\leq\,$ 0

Si f est dérivable sur I, alors: f constante sur I Pour tout x $\in$ I, f ‘ (x) = 0

(U_n) croissante Pour tout n $\in$ N , on a: U_n $\leq\,$ U_n+1

(U_n) strictement croissante Pour tout n $\in$ N , on a: U_n < U_n+1

(U_n) décroissante Pour tout n $\in$ N , on a: U_n $\geq\,$ U_n+1

(U_n) strictement décroissante Pour tout n $\in$ N , on a: U_n > U_n+1

(U_n) constante Pour tout n $\in$ N , on a: U_n = U_n+1

(U_n) monotone (U_n) est soit croissante, soit décroissant, soit constante.

Remarque:

Il se peut que cela ne soit pas réalisé sur tout l’ensemble N : préciser alors à partir de quel rang cela est vrai.

2.Suites et fonctions majorées, minorées, bornées

f majorée sur I $\Leftrightarrow$ Il existe M $\in$ R, tel que, pour tout x $\in$ I, on ait: f(x) $\leq\,$ M

f minorée sur I $\Leftrightarrow$ Il existe m $\in$ R, tel que, pour tout x $\in$ I, on ait: f(x) $\geq\,$ m

f bornée sur I $\Leftrightarrow$ f est majorée et minorée sur I

(U_n) majorée $\Leftrightarrow$ Il existe M $\in$ R, tel que, pour tout n $\in$ N, on ait: U_n $\leq\,$ M

(U_n) minorée $\Leftrightarrow$ Il existe m $\in$ R, tel que, pour tout x $\in$ N, on ait: U_n $\geq\,$ m

(U_n) bornée $\Leftrightarrow$ (U_n) est majorée et minorée

II.Limites de suites et de fonctions.

1.Limite finie (l $\in$ $\mathbb{R}$ ) et limite en + $\infty$ de fonctions et suites.

Si f est définie sur R ou un intervalle de la forme [A; + $\infty$ [ où A $\in$ R et si tout intervalle ouvert contenant

contient aussi toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand, on dit que f tend vers

lorsque x tend vers + $\infty$ .On écrit $\lim_{x\to +\infty}f(x)=l$ .

Dans cette situation, la représentation graphique de f possède alors une asymptote horizontale d’équation y = en + $\infty$ .

Exemple:

$\lim_{x\to +\infty} \frac{2x+1}{x-1}=2$

Si tout intervalle ouvert contenant

contient aussi tous les termes de la suite (Un) à partir d’un certain rang, on dit que (U_n) converge vers

.On écrit $\lim_{n\to +\infty}U_n=l$

Exemple:

$\lim_{n\to +\infty}5-\frac{1}{2^n}=5$

2.Limite finie en – $\infty$ de fonctions numériques.

Propriété :

Si f est définie sur R ou un intervalle de la forme ]- $\infty$ ; A] où A $\in$ R et si tout intervalle ouvert contenant contient aussi toutes les valeurs de f(x) pour – x assez grand, on dit que f tend vers lorsque x tend vers – $\infty$ .

On écrit $\lim_{x\to -\infty}f(x)=l$

Dans cette situation, la représentation graphique de f possède alors une asymptote horizontale d’équation y = en – $\infty$ .

Exemple:

$\lim_{x\to -\infty} \frac{sinx}{x}=0$ .

3.Limite finie d’une fonction en un point a $\in$ R

Propriété :

Si f est définie sur R ou un intervalle I contenant a $\in$ R et si tout intervalle ouvert contenant contient aussi toutes les valeurs de f(x) pour tout x $\in$ I assez proche de a, on dit que f tend vers lorsque x tend vers a.

On écrit $\lim_{x\to a}f(x)=l$ .

Exemple:

$\lim_{x\to 0} \frac{sinx}{x}=1$

II.Cas où la fonction ou la suite n’a pas de limite.

Sans entrer dans les détails théoriques, nous allons citer quelques exemples de fonctions et de suites ne possédant pas de limite. Il est intéressant de visualiser ces exemples sur une calculatrice graphique.

1. f définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=\frac{ |x |}{x}$ .

Nous avons: Si x > 0, f(x) = 1, donc $\lim_{x\to 0^+}f(x)=1$ et si x < 0, f(x) = -1, donc $\lim_{x\to 0^+}f(x)=-1$ .

Les limites à gauche et à droite de 0 existent, mais sont différentes donc f n’a pas de limite en 0.

2. Pour tout n $\in$ N, U_n = sin n prend une infinité de valeurs sur l’intervalle [-1 ; 1], sans jamais se rapprocher d’une valeur limite.

3. Pour tout n $\in$ N, prend alternativement les valeurs -1 et 1, donc pas de limite.

III.Le théorèmes de comparaison

Théorème :

Pour les fonctions, dans les propriétés ci-dessous, la lettre a désigne aussi bien un réel que + $\infty$ ou – $\infty$ .
Lorsque a = + $\infty$ , les fonctions sont définies sur R ou un intervalle I de la forme [ A ; + $\infty$ [ où A est un réel.

Lorsque a = – $\infty$ , les fonctions sont définies sur R ou un intervalle I de la forme ] – $\infty$ ; A ] où A est un réel.
Lorsque a $\in$ R , les fonctions sont définies sur R ou un intervalle I de la forme [ A ; B ] où A et B sont des réels et a $\in$ [ A ; B ].
Si la limite concernée est la limite à gauche de a, les fonctions sont définies sur un intervalle I de la forme ] – $\infty$ ; a [ ou [ A ; a [ où A est un réel.
Si la limite concernée est la limite à droite de a, les fonctions sont définies sur un intervalle I de la forme ] a ; + $\infty$ [ ou ] a ; A ] où A est un réel.

Pour les suites, l’indice n est un entier naturel supérieur ou égal à un certain rang (qui sera souvent 0).

IV.Théorème de composition de deux fonctions:

Théorème :

Si f est une fonction définie sur un intervalle J tel que, pour tout x $\in$ I, on ait:
y = u(x) $\in$ J, c’est à dire: u(I) $\subset$ J.
Si on a aussi $\lim_{x\to a}u(x)=b$ et $\lim_{y\to b}f(y)=l$ , alors $\lim_{x\to a}fou(x)= l$ .

Si f est une fonction définie sur un intervalle J tel que:
pour tout entier $n\geq\, n_0$ on ait: $u_n\in J$
Si on a aussi $\lim_{n\to +\infty}u_n=b$ et $\lim_{y\to b}f(y)=l$ , alors $\lim_{n\to +\infty}f(u_n)=l$ .

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF

Télécharger ou imprimer cette fiche «limite de suites et fonctions : cours de maths en terminale S en PDF» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

Télécharger nos applications gratuites Mathématiques Web avec tous les cours,exercices corrigés.

D'autres articles analogues à limite de suites et fonctions : cours de maths en terminale S en PDF

Mathématique web est un site de mathématiques destinés aux élèves et professeurs du collège (6ème, 5ème, 4ème et 3ème) au lycée (2de, 1ère et terminale. Vous trouverez sur ce site de nombreuses ressources vous permettant de vous familiariser avec les mathématiques. Toutes les cours de maths sont rédigés par des professeurs et sont conformes aux programmes officiels de l'éducation nationale.
Comment réussir en maths ?
Une question régulièrement posée, comme le dit le dicton rien ne tombe du ciel. Afin de combler vos lacunes en mathématiques et d'envisager une progression constante tout au long de l'année scolaire et analogues à limite de suites et fonctions : cours de maths en terminale S en PDF.
Pour celà, il faudra maitriser le contenu de votre leçon (définitions, théorèmes et propriétés) et vous exercer régulièrement sur les milliers d'exercices de maths disponibles sur notre site et vous pourrez également, consulter le corrigé de chaque exercice afin de repérér vos différentes erreurs et par conséquent, développer des compétences en maths.
De nombreux exercices de maths pour tous les niveaux similaires à ceux de votre manuel scolaire ainsi que, toutes les leçons du collège au lycée rédigées par des enseignants titutaires de l'éducation nationale similaires à limite de suites et fonctions : cours de maths en terminale S en PDF.
En complément, vous trouverez de nombreux exercices de programmation et d'algorithme réalisés avec le programme scratch ainsi que de nombreux sujets de contrôles de maths afin de vous préparer le jour d'un devoir surveillé en classe.
Toutes les fiches ( cours et exercices) sont à télécharger gratuitement en PDF afin de pouvoir les imprimer librement sur des supports similaires à ceux de votre manuel scolaire.

Intégrales et primitives : cours de maths en terminale S en PDF.
91
Les intégrales et les primitives avec un cours de maths en terminale S à télécharger gratuitement en PDF. Nous verrons dans cette leçon la définition et les différentes propriétés de l'intégrale ainsi que la signification géométriques avec les aires. Les différentes façons de calculer une intégrale à l'aide de la…
Tags: f, a, i, on, intervalle, cours, maths, terminale, s
Limite de fonctions et opérations sur les limites : cours de maths en terminale S
90
Les tableaux ci-dessous résument les résultats à connaître. Ces tableaux sont valables dans les trois situations étudiées: Lorsque la variable . Lorsque la variable . Lorsque la variable où a R. Mais il va de soi que, pour les deux fonctions f et g concernées, les limites sont prises au…
Tags: limite, fonctions, on, f, a, s, cours, maths, terminale
Probabilités : cours de maths en terminale S en PDF
81
I.Introduction aux probabilités La théorie des probabilités consiste à mathématiser le hasard, c'est à dire les phénomènes aléatoires et donner un sens précis aux phrases du type: "A pile ou face, j'ai une chance sur deux d'obtenir pile." "Au Loto, il est nettement plus probable de perdre, que de gagner…
Tags: on, a, cours, maths, terminale, s
Nombres complexes : Cours Maths Terminale S avec leçon en PDF.
79
Un cours de maths en terminale S sur les nombres complexes. Ce cours de maths fait intervenir les notions suivantes : définition du nombre complexe; forme algébrique; forme géométrique; formule d'Euler; formule de Moivre; équations complexes; représentation géométrique d'un nombre complexe; partie réelle et imaginaire d'un nombre complexe; opérations sur…
Tags: on, a, cours, maths, terminale, s
Suites numériques : Cours Maths Terminale S et leçon en PDF.
77
Un cours de maths sur les suite numériques en terminale S. Cette leçon sur les suites numériques fait intervenir les notions suivantes : définition d'une suite; suite croissante, décroissante et monotonie d'une suite; suite convergente et divergente; monotonie d'une suite; limite d'une suite numérique; les suites adjacentes. Ce cours de…
Tags: on, cours, maths, terminale, s

Les dernières fiches mises à jour

Mathématiques Web c'est 1 924 165 fiches de cours et d'exercices téléchargées.
Rejoignez les 43 566 membres de Mathématiques Web, inscription gratuite.

I.Suites et fonctions: étude comparative

1 Sens de variation de fonctions et de suites numériques.

2.Suites et fonctions majorées, minorées, bornées

II.Limites de suites et de fonctions.

2.Limite finie en – <img class="LatexImg" src="https://mathematiques-web.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?\infty" alt="\infty" /> de fonctions numériques.

3.Limite finie d’une fonction en un point a<img class="LatexImg" src="https://mathematiques-web.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?\in" alt="\in" />R

II.Cas où la fonction ou la suite n’a pas de limite.

III.Le théorèmes de comparaison

D'autres articles analogues à limite de suites et fonctions : cours de maths en terminale S en PDF

2.Limite finie en – $\infty$ de fonctions numériques.

3.Limite finie d’une fonction en un point a $\in$ R