corrige

Corrigé des exercices sur les fonctions en 1ère.

EXERCICE 1:

Parabole

1) a) « La parabole P et la droite d se coupent en deux points, un seul point ou pas du tout. »

b) « La parabole P est située strictement au-dessus de la droite d sur l’intervalle d’intersection si les coordonnées des points d’intersection de P et d sont tous de y strictement supérieurs aux coordonnées des points d’intersection du deuxième tronçon de P et de la droite d.

La parabole P est située strictement en-dessous de la droite d sur l’intervalle d’intersection si les coordonnées des points d’intersection de P et d sont tous de y strictement inférieurs aux coordonnées des points d’intersection du deuxième tronçon de P et de la droite d. »

2) a) Les solutions de f(x) = g(x) sont les abscisses des points d’intersection de la parabole P et de la droite d.

b) Les solutions de f(x) > g(x) sont les abscisses des points de la parabole P situés strictement au-dessus de la droite d sur l’intervalle d’intersection.

c) Les solutions de f(x) < g(x) sont les abscisses des points de la parabole P situés strictement en-dessous de la droite d sur l’intervalle d’intersection.

EXERCICE 2:

Parabole

1) Pour étudier la position relative de la parabole P et de la droite d, il faut déterminer les points d’intersection de la parabole et de la droite (s’il y en a), et voir comment la parabole se positionne par rapport à la droite avant et après ces points.

2) a) Les solutions de f(x) = g(x) sont les abscisses des points d’intersection de la parabole P et de la droite d.

b) Les solutions de f(x) > g(x) sont les abscisses des points de la parabole P situés strictement au-dessus de la droite d sur l’intervalle d’intersection.

c) Les solutions de f(x) < g(x) sont les abscisses des points de la parabole P situés strictement en-dessous de la droite d sur l’intervalle d’intersection.

EXERCICE 3:

Courbes

1) La position relative des courbes dépend de l’allure des courbes et de leur intersection éventuelle.

On peut voir sur le graphique que les courbes C_f et C_g se coupent en deux points, et que la courbe C_f est située au-dessus de la courbe C_g entre ces deux points.

2) a) Les solutions de f(x) = g(x) sont les abscisses des points d’intersection des courbes C_f et C_g.

b) Les solutions de f(x) > g(x) sont les abscisses des points tels que f(x) est strictement supérieur à g(x).

c) Les solutions de f(x) < g(x) sont les abscisses des points tels que f(x) est strictement inférieur à g(x).

EXERCICE 4:

Courbe

1) Les variations de f sur [-5;6] sont décroissantes sur [-5;-2], croissantes sur [-2;3], puis décroissantes sur [3;6].

La fonction prend son maximum en -2 et son minimum en 3.

2) Le tableau de signes de la fonction dérivée f ‘ est :

x -5 -2 3 6

f ‘ (x) + 0 – +

EXERCICE 5:

Tableau de signes

La fonction g admet un maximum local en un point où g ' est nulle et où g '' est strictement négative.

Dans le tableau de signes de g ' , cela correspond à un changement de signe de + à – en 1.

Donc g admet un maximum local en x = 1, et c’est un maximum.

EXERCICE 6:

Tableau de signes

1) La fonction g admet un minimum local en un point où g ' est nulle et où g '' est strictement positive. Dans le tableau de signes de g ' , cela correspond à un changement de signe de – à + en -2.

Donc g admet un minimum local en x = -2, et c’est un minimum.

2) La fonction g n’admet pas de maximum local car il n’y a pas de changement de signe de g ' de positif à négatif.

EXERCICE 7:

1) La fonction f est de la forme ax^2 + bx + c, avec a = \frac{3}{4}, b = -15, et c = 100.

Elle est donc de classe C² sur \mathbb{R}.

Sa dérivée est f'(x) = \frac{3}{2} x -15 pour tout réel x.

2) Le tableau de signes de f' sur \mathbb{R} est le suivant:

x               -∞    \frac{5}{2}   +∞
f'(x)        –      0          +

3) La fonction f admet un extremum local en un point où f' est nulle, donc en x = \frac{5}{2}.

En outre, la fonction f ' change de signe de négatif à positif en ce point, donc f admet un minimum local en x = \frac{5}{2}.

EXERCICE 8:

Tableau de variation

a) Pour tout x entre 3 et 8, g(x) est inférieur ou égal à 1.

b) Pour tout x entre -2 et 3, g(x) est compris entre -2 et 1.

c) Pour tout x entre -5 et 3,g(x) est compris entre -4 et 1.

d) Comme g est décroissante sur [-5;-2], g(b) est inférieur ou égal à g(a).

e) Comme g est croissante sur [-2;3],g(b) est supérieur ou égal à g(a).

f) Comme g est décroissante sur [-5;-2] et croissante sur [3;8], g(a) est supérieur ou égal à g(b).

EXERCICE 9:

Parabole

1. La position relative de la parabole P et de la droite d dépend de leur intersection éventuelle et de leur position relative sur les intervalles correspondants.

2. a) Les solutions de f(x) = g(x) sont les abscisses des points d’intersection de la parabole P et de la droite d.

b) Les solutions de f(x) > g(x) sont les abscisses des points de la parabole P situés strictement au-dessus de la droite d sur l’intervalle d’intersection.

c) Les solutions de f(x) < g(x) sont les abscisses des points de la parabole P situés strictement en-dessous de la droite d sur l’intervalle d’intersection.

EXERCICE 10:

Parabole et tangente

1. Pour étudier la position relative de la parabole P et de la droite d, il faut déterminer leurs intersections éventuelles et voir comment la parabole se positionne par rapport à la droite avant et après ces intersections.

2. a) Les solutions de f(x) = g(x) sont les abscisses des points d’intersection de la parabole P et de la droite d.

b) Les solutions de f(x) > g(x) sont les abscisses des points de la parabole P situés strictement au-dessus de la droite d sur l’intervalle d’intersection.

c) Les solutions de f(x) < g(x) sont les abscisses des points de la parabole P situés strictement en-dessous de la droite d sur l’intervalle d’intersection.

EXERCICE 11:

Courbes

1) D’après le graphique, la courbe C_fest située au-dessus de la courbe C_g sur l’intervalle [0;2] et en-dessous sur l’intervalle ]-∞;0[ et ]2;+∞[. Donc, la position relative des courbes dépend de l’intervalle considéré.

2)
a) L’équation f(x) = g(x) équivaut à l’équation f(x) – g(x) = 0, qui est également l’abscisse des points d’intersection des courbes C_f et C_g.

D’après le graphique, on peut voir qu’il y a deux points d’intersection, situés en environ -2 et 1,5.

b) L’inéquation f(x) > g(x) est vraie sur l’intervalle [0;2], où la courbe C_f est située au-dessus de C_g. Donc, les solutions de cette inéquation sont les valeurs de x appartenant à [0;2[.

c) L’inéquation f(x) < g(x) est vraie pour les valeurs de x appartenant à ]-∞;-2[ et ]2;+∞[, où la courbe C_fest située en-dessous de C_g.

Donc, les solutions de cette inéquation sont les valeurs de x appartenant à ]-∞;-2[ et ]2;+∞[.

EXERCICE 12:

1) En développant l’expression f(x) - g(x), on obtient :

f(x) - g(x) = x^2 - 3x + 7 - (5x - 9)
= x^2 - 8x + 16
= (x - 4)^2

2) Comme il s’agit du carré d’une expression, f(x) - g(x) est toujours positif ou nul.

Donc, f(x) est toujours supérieur ou égal à g(x), pour tout x.

3) En déduire la position relative des courbes C_f et C_g : la courbe C_f est située au-dessus de la courbe C_g sur tout l’intervalle de définition commun, donc C_f est située au-dessus de C_g.

EXERCICE 13:

Courbe

1) Les variations de f sur [-5;6] sont décroissantes sur [-5;3] et croissantes sur [3;6]. Le maximum est atteint enx = 3 et vaut f(3) = 7, et le minimum est atteint en x = -5 et vaut f(-5) = 57.

2) Le tableau de signes de la fonction dérivée f’ est :

x -5 3 6
f'(x) 13 0 -3

EXERCICE 14:

Parabole

1) Sur l’intervalle [-2;10], f’ est positif sur [-2;0] et sur [4;10], et négatif sur [0;4]. Donc, le tableau de signes de f' est :

x -2 0 4 10
f'(x) + – – +

2) En utilisant le tableau de signes de f’, on peut dresser le tableau de variations de f :

x -2 0 4 10
f(x) déc. croiss. déc. déc.

EXERCICE 15:

Tableau de signes

D’après le tableau de signes de f’, la fonction f change de pente de positif à négatif en 2, donc f admet un maximum local en x = 2.

EXERCICE 16:

Tableau de signes

D’après le tableau de signes de g’, la fonction g change de pente de négatif à positif en 2, donc g admet un minimum local en x = 2.

EXERCICE 17:

Tableau de signes

1) D’après le tableau de signes de f’, la fonction f change de pente de négatif à positif en -3, donc f admet un minimum local en x = -3.

2) D’après le tableau de signes de f’, la fonction f change de pente de positif à négatif en 1, donc f admet un maximum local en x = 1.

EXERCICE 18:

Tableau de signes

D’après le tableau de signes de g’, la fonction g ne change pas de pente, donc elle n’admet pas d’extremum local.

EXERCICE 19:

Carrés

1) On a AM + MN + NB = 10, donc x + \frac{x}{5} + \frac{10 - x}{5}= 10, ce qui donne x = 2.

2) L’aire du domaine est la somme des aires des deux carrés, moins l’aire du triangle AMB. Donc :

f(x) = 2x^2 - 10x + 100 - \frac{x(10 - x)}{2}
= -\frac{1 }{2}x^2 + 10x - 50

3) La fonction f est dérivable sur son intervalle de définition, qui est I = [0;10], et f'(x) = -x + 10.

4) Le maximum de f est atteint en x = 5, où f(5) = 25.

EXERCICE 20:

Hyperbole

a) Pour tout réel x non nul, on a :

f(x) - g(x) = \frac{1}{4}x^2 - 5 - \frac{-7}{x}
= \frac{1}{4}x^2 + \frac{7}{x} - 5

b) Pour x > 0, le premier terme est positif, le deuxième aussi, et le troisième est négatif.

Donc f(x) - g(x) est positif, ce qui implique que f(x) est supérieur à g(x) pour tout x > 0.

Pour x < 0, le premier terme est positif, le deuxième est négatif, et le troisième est négatif.

Donc f(x) - g(x) est négatif, ce qui implique que f(x) est inférieur à g(x) pour tout x < 0.

Donc, f(x) est supérieur à g(x) sur ]0;+∞[ et inférieur à g(x) sur ]-∞;0[.

c) En termes de position relative des courbes C_f et C_g, la courbe C_f est donc située au-dessus de la courbe C_g sur ]0;+∞[ et en-dessous de C_g sur ]-∞;0[.

EXERCICE 21:

Tableau de variation

a) Pour tout x de [-5;8], g(x) est compris entre 17 et 33.

b) Pour tout x de [-2;3], g(x) est croissante.

c) Pour tout x de [-5;3], g(x) est décroissante.

d) Comme g est décroissante sur [-5;-2], g(b) est inférieur ou égal à g(a).

e) Comme g est croissante sur [-2;3], g(b) est supérieur ou égal à g(a).

f) Comme g est décroissante sur [-5;-2] et croissante sur [3;8], g(a) est supérieur ou égal à g(b).

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