corrige

Corrigé des exercices sur les équations et inéquations du second degré en 1ère.

EXERCICE 1 :

1)a) En utilisant la formule du discriminant, on a :

\Delta=1^2-4\times  2\times  3=-23

Comme \Delta<0, l’équation n’a pas de solution réelle.

b) En utilisant la formule du discriminant, on a :

\Delta=6^2-4\times  9\times  1=0

Comme \Delta=0, l’équation a une solution réelle unique donnée par x=\frac{-6}{2\times  9}=-\frac{1}{3}.

c) En factorisant, on obtient : x^2-x-2=(x-2)(x+1).

Les solutions de l’équation sont donc -1 et 2.

2) En utilisant la formule du discriminant, on a : \Delta=(-21)^2-4\times  6\times  9=9.

Comme \Delta>0, l’équation a deux solutions réelles qui sont données par :

x_1=\frac{21+3}{12}=\frac{2}{3} et x_2=\frac{21-3}{12}=1

EXERCICE 2 :

1)a) En utilisant la formule du discriminant, on a :

\Delta=2^2-4\times  (-1)\times  (-3)=8

Comme \Delta>0, la fonction a deux racines réelles données par :

x_1=\frac{-2+\sqrt{8}}{-2}=1+\sqrt{2}  et   x_2=\frac{-2-\sqrt{8}}{-2}=1-\sqrt{2}

b) En utilisant la formule du discriminant, on a :

\Delta=1^2-4\times  1\times  \frac{1}{4}=0

Comme \Delta=0, la fonction a une racine réelle double donnée par :

x=\frac{-1}{2}

c) En utilisant la formule du discriminant, on a :

\Delta=2^2-4\times  2\times  (-12)=100

Comme \Delta > 0, la fonction a deux racines réelles données par :

x_1=\frac{-2+\sqrt{100}}{4}=\frac{1}{2} et x_2=\frac{-2-\sqrt{100}}{4}=-3.

2) a) En utilisant la formule du discriminant, on a :

\Delta=(-5)^2-4\times  4\times  10=-136.

Comme \Delta<0, l’équation n’a pas de solution réelle.

b) En utilisant la formule du discriminant, on a :\Delta=(-3)^2-4\times  3\times  (-60)=849.

Comme \Delta>0, l’équation a deux solutions réelles données par :

x_1=\frac{3+\sqrt{849}}{6} et x_2=\frac{3-\sqrt{849}}{6}

c) En utilisant la formule du discriminant, on a :

\Delta=(-24)^2-4\times  72\times  2=-432

Comme \Delta<0, l’équation n’a pas de solution réelle.

EXERCICE 3 :

La fonction f est un polynôme de degré 2.

Pour déterminer le nombre de racines de la fonction, on calcule le discriminant : \Delta=(-\frac{49}{2})^2-4\times  (-7)\times  14=1681.

Comme \Delta>0, la fonction a deux racines réelles distinctes.

On vérifie que -4 est une racine en remplaçant x par -4 dans f(x) :

f(-4)=-7\times  (-4)^2-\frac{49}{2}\times  (-4)+14=0

Donc -4 est bien une racine de f.

En utilisant la somme des racines, on a :

x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{49}{14}

En utilisant le produit des racines, on a :

x_1\times  x_2=\frac{c}{a}=-2.

Les racines sont solutions de l’équations x^2+Sx+P=0 avec S la somme des deux racines et P leur produit.

En résolvant ce système, on trouve que les deux racines sont -2 et \frac{7}{2}.

EXERCICE 4 :

a) La fonction f(x) est un polynôme de degré 2 car le terme de plus haut degré est x^2.

b) La fonction g(x) n’est pas un polynôme de degré 2 car elle contient une fraction.

c) La fonction h(x) n’est pas un polynôme de degré 2 car le terme de plus haut degré est x.

EXERCICE 5 :

1) En développant l’expression, on obtient :

-3(x-4)^2+7=-3(x^2-8x+16)+7=-3x^2+24x-41=f(x)

2) La forme canonique de f est de la forme f(x)=a(x-h)^2+k, où (h,k) est le sommet de la parabole.

Pour obtenir cette forme, on complète le carré :

f(x)=-3(x^2-8x+16)+7+48=-3(x-4)^2+55

Donc la forme canonique de f est f(x)=-3(x-4)^2+55, et le sommet est (4,55).

L’axe de symétrie est la droite verticale passant par le sommet.

Dans ce cas, c’est la droite x = 4.

Le signe de a est -3, donc la parabole est orientée vers le bas.

EXERCICE 6 :

a) La forme canonique de f(x)=x^2-6x+5 est :

f(x)=(x-3)^2-4

Le sommet est (3,-4) et l’axe de symétrie est la droite x = 3.

Le signe de a est 1, donc la parabole est orientée vers le haut.

b) La forme canonique de f(x)=x^2+5x+4 est :

f(x)=(x+\frac{5}{2})^2-\frac{1}{4}

Le sommet est (-\frac{5}{2},-\frac{1}{4})et l’axe de symétrie est la droite x=-\frac{5}{2}.

Le signe de a est 1, donc la parabole est orientée vers le haut.

EXERCICE 7 :

a) Les coordonnées du sommet sont (-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})=(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4}).

L’axe de symétrie est la droite x=-\frac{1}{2}.

Le signe de a est 1, donc la parabole est orientée vers le haut.

b) Les coordonnées du sommet sont (-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})=(1,1).

L’axe de symétrie est la droite x = 1.

Le signe de a est 2, donc la parabole est orientée vers le haut.

c) Les coordonnées du sommet sont (-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})=(-1,-\frac{1}{2}).

L’axe de symétrie est la droite x = -1.

Le signe de a est 2, donc la parabole est orientée vers le haut.

EXERCICE 8 :

a) L’axe de symétrie est la droite x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}.

Les coordonnées du sommet sont (\frac{1}{4},\frac{5}{8}).

b) L’axe de symétrie est la droite x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}.

Les coordonnées du sommet sont (\frac{5}{4},\frac{47}{8}).

c) L’axe de symétrie est la droite x=-\frac{b}{2a}=-3.

Les coordonnées du sommet sont (-3,-6).

d) L’axe de symétrie est la droite x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}.

Les coordonnées du sommet sont (\frac{1}{2},2).

EXERCICE 9 :

a) On utilise l’identité remarquable (a-b)(a+b)=a^2-b^2 :

f(x)=x^2-121=(x-11)(x+11)

b) On utilise l’identité remarquable (a-b)(a+b)=a^2-b^2 :

f(x)=x^2-3=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})

c) Pour factoriser 25x^2-20x+4, on cherche deux nombres dont la somme est -\frac{b}{a}=\frac{4}{5} et le produit est \frac{c}{a}=\frac{1}{25}.

Ces nombres sont -\frac{2}{5} et -\frac{1}{5}, donc :

f(x)=25x^2-20x+4=25(x-\frac{2}{5})(x-\frac{1}{5})

d) Pour factoriser 9x^2 + 24x + 16, on cherche deux nombres dont la somme est -\frac{b}{a}=-\frac{8}{3} et le produit est \frac{c}{a}=\frac{16}{9}.

Ces racines doubles sont -\frac{4}{3} , donc :

f(x)=9x^2+24x+16=9(x+\frac{4}{3})^2

EXERCICE 10 :

a) Le discriminant est \Delta=4-4\times  5=-16, donc l’équation n’a pas de solution réelle.

b) Le discriminant est \Delta=1+4\times  2\times  6=49, donc l’équation a deux solutions réelles.

c) Le discriminant est \Delta=4-4\times  (-\frac{1}{3})\times  2=\frac{8}{3}, donc l’équation a deux solutions réelles.

d) Le discriminant est \Delta=2^2-4\times  (-1)\times  3=16, donc l’équation a deux solutions réelles.

EXERCICE 11 :

a) On peut factoriser le trinôme par 3 : 3(x^2-3x-4)=3(x-4)(x+1).

Donc les solutions sont x = 4 et x = -1.

b) Le discriminant est \Delta=5^2-4\times  2\times  7=-31, donc l’équation n’a pas de solution réelle.

c) Le discriminant est \Delta=(-2)^2-4\times  2\times  (-\frac{1}{2})=6, donc l’équation a deux solutions réelles.

EXERCICE 12 :

a) On factorise le trinôme : x(x-2)>0.

Les solutions sont donc : x < 0 ou x > 2.

b) Le trinôme est déjà factorisé : (x-9)(x+9)\leq\,0.

Les solutions sont x\leq\,-9 ou x\geq\,9.

c) On trouve les racines du trinôme comme ceci : (x-\frac{3}{2})(x+2.8)=0.

Les racines sont donc x=\frac{3}{2}  et x=-2.8.

Il faut maintenant déterminer le signe de la fonction pour les intervalles suivants :]-\infty,-2.8[,]-2.8,\frac{3}{2}[ et ]\frac{3}{2},+\infty[.

On peut utiliser le test de signe ou la forme canonique de la fonction.

La forme canonique est f(x)=(x-\frac{3}{2})(x+2.8), donc on voit que la parabole est orientée vers le haut (a>0), et que les racines divisent le plan en deux intervalles.

Donc le signe de la fonction est positif sur (-2.8,\frac{3}{2}).

d) Le trinôme est déjà factorisé : x^2+20<0.

Comme a>0, la parabole est orientée vers le haut et n’a pas de racines réelles.

Donc la fonction est négative pour tout x réel.

EXERCICE 13 :

1. Le point A est sur la courbe de f, donc f(x_A)=y_A.

En utilisant les coordonnées du point A, on a :

y_A=f(x_A)=ax_A^2+bx_A+c=-3x_A^2+24x_A-41

On peut utiliser les deux autres points pour écrire un système d’équations.

On utilise la méthode de substitution :

y_B=f(x_B)=ax_B^2+bx_B+c=-3x_B^2+24x_B-41
y_C=f(x_C)=ax_C^2+bx_C+c=-3x_C^2+24x_C-41

On peut résoudre ce système en soustrayant l’équation du point B à l’équation du point A, ce qui élimine le terme en c :

y_A-y_B=-3(x_A^2-x_B^2)+24(x_A-x_B)

\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}=-3(x_A+x_B)+24

On peut ensuite soustraire l’équation du point C à l’équation du point A, ce qui permet d’éliminer le terme en x_B :

y_A-y_C=-3(x_A^2-x_C^2)+24(x_A-x_C)

\frac{y_A-y_C}{x_A-x_C}=-3(x_A+x_C)+24

On a ainsi deux équations linéaires à deux inconnues : x_A+x_B=4 et x_A+x_C=2.

En les soustrayant, on trouve x_B-x_C=2.

On peut ensuite utiliser cette équation pour exprimer x_B en fonction de x_C et simplifier les deux autres équations pour trouver les valeurs de a, b et c :

x_B=x_C+2
x_A=3x_C-2
y_A=-3x_C^2+24x_C-41

En substituant ces expressions dans les équations obtenues plus tôt, on trouve que a=-3,b=24 et c=-41.

Donc l’expression de f est f(x)=-3x^2+24x-41.

EXERCICE 14 :

a) Le discriminant est \Delta=4-4\times  5=-16, donc l’équation n’a pas de solution réelle.

b) Le discriminant est \Delta=1+4\times  2\times  6=49, donc l’équation a deux solutions réelles.

c) Le discriminant est \Delta=4-4\times  (-\frac{1}{3})\times  2=\frac{8}{3}, donc l’équation a deux solutions réelles.

d) Le discriminant est \Delta=2^2-4\times  (-1)\times  3=16, donc l’équation a deux solutions réelles.

EXERCICE 15 :

a) Le discriminant est \Delta=3^2-4\times  3\times  2=-3, donc l’équation n’a pas de solution réelle.

b) Le discriminant est \Delta=(-5)^2-4\times  2\times  7=-31, donc l’équation n’a pas de solution réelle.

c) Le discriminant est \Delta=2^2-4\times  (-\frac{1}{3})\times  2=\frac{8}{3}, donc l’équation a deux solutions réelles.

d) Le discriminant est \Delta=7^2-4\times  2\times  11=9, donc l’équation a deux solutions réelles.

EXERCICE 16 :

exercices equations inequations second degre 3 e1622317212379

a) Le sommet est sur l’axe des x, donc \Delta=0.

b) Le sommet est en dessous de l’axe des x, donc \Delta>0.

c) Le sommet est au dessus de l’axe des x, donc \Delta<0.

d) Le sommet est au dessus de l’axe des x, donc \Delta<0.

EXERCICE 17 :

a) On trouve les racines du trinôme : 2(x-2)(x+4).

On peut en déduire le tableau de signes :

x | -∞ | 2 | 4 | +∞ —|—-|—|—|—-

f(x) | – | 0 | + | +

b) On trouve les racines du trinôme :

-\frac{4}{3}(-\frac{3}{2}-x)(-\frac{3}{2}+x).

On peut en déduire le tableau de signes :

x | -∞ | -\frac{3}{2} | \frac{1}{2} | +∞

—|—-|———–|———|—-

f(x) | + | 0 | – | – c)

On trouve les racines du trinôme :

2(x-\frac{5}{4})(x-\frac{1}{2}).

On peut en déduire le tableau de signes :

x | -∞ | \frac{1}{2}|\frac{5}{4} | +∞

—|—-|———–|———–|—-

f(x) | – | + | – | –

EXERCICE 18 :

a) On factorise le trinôme : x(x-2)>0.

Les racines sont 0 et 2, donc il y a deux intervalles à considérer : ]-\infty;0[ et ]0;2[.

On peut utiliser le test de signe ou la forme canonique de la fonction pour déterminer le signe sur ces intervalles.

On trouve que la fonction est positive sur ]0;2[ et négative sur ]-\infty;0[ et ]2;+\infty[.

Donc les solutions sont x<0 ou x>2.

b) On trouve les racines du trinôme : (x-9)(x+9)\leq\,0.

Les racines sont -9 et 9, donc il y a trois intervalles à considérer : ]-\infty;-9], [-9,9] et [9;+\infty[.

On peut utiliser le test de signe ou la forme canonique de la fonction pour déterminer le signe sur ces intervalles.

On trouve que la fonction est négative sur [-9,9]et positive sur ]-\infty;-9] et [9;+\infty[.

Donc les solutions sont x\leq\,-9 ou x\geq\,9.

c) On trouve les racines du trinôme :(x-1.5)(x+2.8)(x)>0.

Les racines sont 0,-2.8et1.5, donc il y a quatre intervalles à considérer :

]-\infty,-2,8[,]-2,8,0[,]0,1,5[ et]1,5;+\infty[.

On peut utiliser le test de signe ou la forme canonique de la fonction pour déterminer le signe sur ces intervalles.

On trouve que la fonction est négative sur ]-2.8,0[ et positive sur ]-\infty,-2.8[,]0,1,5[ et ]1,5,+\infty[. Donc les solutions sont x<-2.8 ou x\in]0,1,5[.

d) Le trinôme est déjà factorisé : x^2+20<0.

Comme a>0, la parabole est orientée vers le haut et n’a pas de racines réelles.

Donc la fonction est négative pour tout x réel.

Donc la solution est l’ensemble vide.

EXERCICE 19 :

a) On commence par résoudre l’équation associée f(x)=3x^2-4x+\frac{4}{3}=0.

On calcule le discriminant : \Delta=(-4)^2-4\times  3\times  \frac{4}{3}=4.

Le trinôme a donc deux solutions réelles.

En étudiant le signe de f(x) pour les intervalles ]-\infty,\frac{1}{2}], [\frac{1}{2},+\infty[, on trouve que la solution est x\in[\frac{1}{2},1].

b) On commence par résoudre l’équation associée f(x)=5x^2-50.5x+5=0.

On calcule le discriminant : \Delta=(-50.5)^2-4\times  5\times  5=2470.

Le trinôme a donc deux solutions réelles.

En étudiant le signe de f(x) pour les intervalles ]-\infty,\frac{1}{2}[, ]\frac{1}{2},+\infty[,

on trouve que la solution est x\in]\frac{1}{10},\frac{1}{2}[.

c) La parabole est orientée vers le haut, donc f(x)>0 pour tout x.

Donc la solution est l’ensemble \mathbb{R}.

d) On commence par résoudre l’équation associée f(x)=-2x^2+3x-6<0.

On calcule les racines du trinôme :  x=\frac{3\pm\sqrt{39}}{4}.

On peut alors dresser le tableau de signes de f(x) :

x | -∞ | \frac{3-\sqrt{39}}{4} | \frac{3+\sqrt{39}}{4} | +∞
—|—-|———————–|—————-

EXERCICE 20 :

1. On complète le carré : f(x)=(x-3)^2-36-27=(x-3)^2-63.

Donc la forme canonique de f est f(x)=(x-3)^2-63, et le sommet est (3,-63).

L’axe de symétrie est la droite verticale passant par le sommet.

Dans ce cas, c’est la droite x=3.

Le signe de a est 1, donc la parabole est orientée vers le haut.

2. On peut factoriser f(x) comme suit :

f(x)=x^2-6x-27=(x-9)(x+3)

3.

a) On résout f(x)=0 en utilisant la forme factorisée :

(x-9)(x+3)=0

Les solutions sont x=9 et x=-3.

b) On résout f(x) = -27 en utilisant la forme factorisée :

(x-9)(x+3)=-27

On peut réécrire -27 comme 3^3\times  (-1), et on utilise cette astuce pour factoriser :

(x-9)(x+3)+27=0
(x-9)(x+3)+3^3\times  (-1)=0
(x-9)^2+3^2-3^3=0

En utilisant la forme canonique, on voit que le sommet de la parabole est à (9,0), et que la distance entre le sommet et l’axe des x est de 3.

Donc les racines sont à une distance de 3 de l’axe des x, et se trouvent donc à 6 et 12 :

x=9-3=6 ou x=9+3=12

c) On résout f(x)=-36 en utilisant la forme factorisée :

(x-9)(x+3)=-36

On peut réécrire -36 comme 3^2\times  (-4), et on utilise cette astuce pour factoriser :

(x-9)(x+3)+36=0
(x-9)(x+3)+3^2\times  (-4)=0
(x-9)^2+3^2-2\times  3^2=0

Là encore, on retrouve une équation de la forme (x-h)^2+k=0, donc la seule solution est x=9.

4.

a) On vérifie que 1 est racine en remplaçant x par 1 dans g(x) :

g(1)=2\times  1^2-\frac{3}{2}\times  1-\frac{1}{2}=0

Donc 1 est bien racine de g.

b) En utilisant le produit et la somme des racines, on sait que :

x_1\times  x_2=-\frac{1}{4} et x_1+x_2=\frac{3}{4}

On sait aussi que x_1 = 1. On peut utiliser ces informations pour déterminer la valeur de x_2 :

x_1+x_2=1+x_2=\frac{3}{4}\Rightarrowx_2=-\frac{1}{4}

Donc les racines de g sont 1 et -\frac{1}{4}.

5. Pour résoudre f(x) < g(x), on peut d’abord réécrire les deux fonctions sous forme canonique :

f(x)=(x-3)^2-63

g(x)=2(x-\frac{1}{4})^2-\frac{1}{2}

En soustrayant les deux fonctions, on trouve :

f(x)-g(x)=(x-3)^2-2(x-\frac{1}{4})^2-\frac{125}{4}

On veut maintenant trouver les valeurs x pour lesquelles f(x)<g(x), c’est-à-dire les valeurs pour lesquelles

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