Corrigé des exercices sur les équations et inéquations du second degré en 1ère.

EXERCICE 1 :

1)a) En utilisant la formule du discriminant, on a :

\Delta=1^2-4\times  2\times  3=-23

Comme \Delta<0, l’équation n’a pas de solution réelle.

b) En utilisant la formule du discriminant, on a :

\Delta=6^2-4\times  9\times  1=0

Comme \Delta=0, l’équation a une solution réelle unique donnée par x=\frac{-6}{2\times  9}=-\frac{1}{3}.

c) En factorisant, on obtient : x^2-x-2=(x-2)(x+1).

Les solutions de l’équation sont donc -1 et 2.

2) En utilisant la formule du discriminant, on a : \Delta=(-21)^2-4\times  6\times  9=9.

Comme \Delta>0, l’équation a deux solutions réelles qui sont données par :

x_1=\frac{21+3}{12}=\frac{2}{3} et x_2=\frac{21-3}{12}=1

EXERCICE 2 :

1)a) En utilisant la formule du discriminant, on a :

\Delta=2^2-4\times  (-1)\times  (-3)=8

Comme \Delta>0, la fonction a deux racines réelles données par :

x_1=\frac{-2+\sqrt{8}}{-2}=1+\sqrt{2}  et   x_2=\frac{-2-\sqrt{8}}{-2}=1-\sqrt{2}

b) En utilisant la formule du discriminant, on a :

\Delta=1^2-4\times  1\times  \frac{1}{4}=0

Comme \Delta=0, la fonction a une racine réelle double donnée par :

x=\frac{-1}{2}

c) En utilisant la formule du discriminant, on a :

\Delta=2^2-4\times  2\times  (-12)=100

Comme \Delta > 0, la fonction a deux racines réelles données par :

x_1=\frac{-2+\sqrt{100}}{4}=\frac{1}{2} et x_2=\frac{-2-\sqrt{100}}{4}=-3.

2) a) En utilisant la formule du discriminant, on a :

\Delta=(-5)^2-4\times  4\times  10=-136.

Comme \Delta<0, l’équation n’a pas de solution réelle.

b) En utilisant la formule du discriminant, on a :\Delta=(-3)^2-4\times  3\times  (-60)=849.

Comme \Delta>0, l’équation a deux solutions réelles données par :

x_1=\frac{3+\sqrt{849}}{6} et x_2=\frac{3-\sqrt{849}}{6}

c) En utilisant la formule du discriminant, on a :

\Delta=(-24)^2-4\times  72\times  2=-432

Comme \Delta<0, l’équation n’a pas de solution réelle.

EXERCICE 3 :

La fonction f est un polynôme de degré 2.

Pour déterminer le nombre de racines de la fonction, on calcule le discriminant : \Delta=(-\frac{49}{2})^2-4\times  (-7)\times  14=1681.

Comme \Delta>0, la fonction a deux racines réelles distinctes.

On vérifie que -4 est une racine en remplaçant x par -4 dans f(x) :

f(-4)=-7\times  (-4)^2-\frac{49}{2}\times  (-4)+14=0

Donc -4 est bien une racine de f.

En utilisant la somme des racines, on a :

x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{49}{14}

En utilisant le produit des racines, on a :

x_1\times  x_2=\frac{c}{a}=-2.

Les racines sont solutions de l’équations x^2+Sx+P=0 avec S la somme des deux racines et P leur produit.

En résolvant ce système, on trouve que les deux racines sont -2 et \frac{7}{2}.

EXERCICE 4 :

a) La fonction f(x) est un polynôme de degré 2 car le terme de plus haut degré est x^2.

b) La fonction g(x) n’est pas un polynôme de degré 2 car elle contient une fraction.

c) La fonction h(x) n’est pas un polynôme de degré 2 car le terme de plus haut degré est x.

EXERCICE 5 :

1) En développant l’expression, on obtient :

-3(x-4)^2+7=-3(x^2-8x+16)+7=-3x^2+24x-41=f(x)

2) La forme canonique de f est de la forme f(x)=a(x-h)^2+k, où (h,k) est le sommet de la parabole.

Pour obtenir cette forme, on complète le carré :

f(x)=-3(x^2-8x+16)+7+48=-3(x-4)^2+55

Donc la forme canonique de f est f(x)=-3(x-4)^2+55, et le sommet est (4,55).

L’axe de symétrie est la droite verticale passant par le sommet.

Dans ce cas, c’est la droite x = 4.

Le signe de a est -3, donc la parabole est orientée vers le bas.

EXERCICE 6 :

a) La forme canonique de f(x)=x^2-6x+5 est :

f(x)=(x-3)^2-4

Le sommet est (3,-4) et l’axe de symétrie est la droite x = 3.

Le signe de a est 1, donc la parabole est orientée vers le haut.

b) La forme canonique de f(x)=x^2+5x+4 est :

f(x)=(x+\frac{5}{2})^2-\frac{1}{4}

Le sommet est (-\frac{5}{2},-\frac{1}{4})et l’axe de symétrie est la droite x=-\frac{5}{2}.

Le signe de a est 1, donc la parabole est orientée vers le haut.

EXERCICE 7 :

a) Les coordonnées du sommet sont (-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})=(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4}).

L’axe de symétrie est la droite x=-\frac{1}{2}.

Le signe de a est 1, donc la parabole est orientée vers le haut.

b) Les coordonnées du sommet sont (-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})=(1,1).

L’axe de symétrie est la droite x = 1.

Le signe de a est 2, donc la parabole est orientée vers le haut.

c) Les coordonnées du sommet sont (-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})=(-1,-\frac{1}{2}).

L’axe de symétrie est la droite x = -1.

Le signe de a est 2, donc la parabole est orientée vers le haut.

EXERCICE 8 :

a) L’axe de symétrie est la droite x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}.

Les coordonnées du sommet sont (\frac{1}{4},\frac{5}{8}).

b) L’axe de symétrie est la droite x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}.

Les coordonnées du sommet sont (\frac{5}{4},\frac{47}{8}).

c) L’axe de symétrie est la droite x=-\frac{b}{2a}=-3.

Les coordonnées du sommet sont (-3,-6).

d) L’axe de symétrie est la droite x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}.

Les coordonnées du sommet sont (\frac{1}{2},2).

EXERCICE 9 :

a) On utilise l’identité remarquable (a-b)(a+b)=a^2-b^2 :

f(x)=x^2-121=(x-11)(x+11)

b) On utilise l’identité remarquable (a-b)(a+b)=a^2-b^2 :

f(x)=x^2-3=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})

c) Pour factoriser 25x^2-20x+4, on cherche deux nombres dont la somme est -\frac{b}{a}=\frac{4}{5} et le produit est \frac{c}{a}=\frac{1}{25}.

Ces nombres sont -\frac{2}{5} et -\frac{1}{5}, donc :

f(x)=25x^2-20x+4=25(x-\frac{2}{5})(x-\frac{1}{5})

d) Pour factoriser 9x^2 + 24x + 16, on cherche deux nombres dont la somme est -\frac{b}{a}=-\frac{8}{3} et le produit est \frac{c}{a}=\frac{16}{9}.

Ces racines doubles sont -\frac{4}{3} , donc :

f(x)=9x^2+24x+16=9(x+\frac{4}{3})^2

EXERCICE 10 :

a) Le discriminant est \Delta=4-4\times  5=-16, donc l’équation n’a pas de solution réelle.

b) Le discriminant est \Delta=1+4\times  2\times  6=49, donc l’équation a deux solutions réelles.

c) Le discriminant est \Delta=4-4\times  (-\frac{1}{3})\times  2=\frac{8}{3}, donc l’équation a deux solutions réelles.

d) Le discriminant est \Delta=2^2-4\times  (-1)\times  3=16, donc l’équation a deux solutions réelles.

Voir Corrigés 11 à 20...
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