Corrigé des exercices sur la valeur absolue en 2de.

Mis à jour le 20 mai 2025

EXERCICE 1 :

a) $-2 < x < 6$

b) $x = 1 ; x = 5$

c) $x < -5 ; x > 1$

d) $-3 < x < -2$

e) $p > 0$

f) $-6 < x < 1$ ou $1 < x < 2$

g) $x = \frac{1}{2}$ ; $x = \frac{7}{2}$

h) $-\frac{5}{3} < x < 0$ ou $\frac{2}{3} < x < 1$

i) $x = -1 ; x = 1$

EXERCICE 2 :

$a) 4\\ b) 3,8\\ c) 33,33\\ d) 1\\ e) \sqrt{17}-2\\ f) 2-\sqrt{17}$

EXERCICE 3 :

$a) 7\\ b) 0\\ c) -2\\ d) 14\\$

EXERCICE 4 :

1.a) A effectuer.

b) La distance entre 5 et $\frac{1}{3}$ est $5-\frac{1}{3} = \frac{14}{3}$ .

2. A effectuer.

La distance entre 3 et $-\frac{4}{5}$ est $3-(-\frac{4}{5}) = \frac{17}{5}$ .

3. A effectuer

La distance entre – 1 et $-\frac{4}{5}$ est $-1-(-\frac{4}{5}) = -\frac{1}{5}$ .

EXERCICE 5 :

a) $|\frac{125}{3}-2| = \frac{119}{3}$

b) $|\sqrt{2}-5| = 5-\sqrt{2}$

c) $|-5-\frac{12}{5}| = \frac{37}{5}$

d) $|\pi -4| =4- \pi$

EXERCICE 6 :

a) $|5-\pi|=5-\pi$

b) $|8-\frac{2}{3}| = |\frac{24}{3}-\frac{2}{3}|= | \frac{22}{3} | = \frac{22}{3}$

c) $|2-\frac{9}{2}| = | \frac{4}{2} - \frac{9}{2}| = |-\frac{5}{2}| = \frac{5}{2}$

d) $|-1-8| = |-9| = 9$

e) $|-5-\pi| = |\pi + 5|= \pi + 5$

f) $|\frac{1}{2}+6| = |\frac{13}{2}| = \frac{13}{2}$

EXERCICE 7 :

a) $|x-100|$ représente la distance entre x et 100.

b) $|x-\frac{1}{3}|$ représente la distance entre x et $\frac{1}{3}$ .

c) $|x+5|$ représente la distance entre x et $-5$ .

d) $|1,35-x|$ représente la distance entre $x$ et le point sur la droite numérique à $1,35$ .

e) $|-7-x|$ représente la distance entre $x$ et $-7$ .

f) $|\pi-x|$ représente la distance entre $x$ et $\pi$ .

EXERCICE 8 :

a) L’inégalité $|x-10|\leq\,\, 1$ est équivalente à $-1\leq\,\, x-10\leq\,\, 1$ , c’est-à-dire $9\leq\,\, x\leq\,\, 11$ .

Donc l’ensemble des réels x vérifiant cette inégalité est [9 ; 11].

b) L’inégalité $|x-2,5|\leq\,\, 0,2$ est équivalente à $-0,2\leq\,\, x-2,5\leq\,\, 0,2$ , c’est-à-dire $2,3\leq\,\, x\leq\,\, 2,7$ . Donc l’ensemble des réels x vérifiant cette inégalité est [2,3 ; 2,7].

c) L’inégalité $|x-\frac{1}{2}|\leq\,\, \frac{5}{2}$ est équivalente à $-\frac{5}{2}\leq\,\, x-\frac{1}{2}\leq\,\, \frac{5}{2}$ , c’est-à-dire $-2\leq\,\, x\leq\,\, 3$ .

Donc l’ensemble des réels x vérifiant cette inégalité est [-2 ; 3].

EXERCICE 9 :

1. a) Le centre de [2 ; 6] est $c=\frac{2+6}{2}=4$ , et son rayon est $r=\frac{6-2}{2}=2$ .

b) |x – 4| représente la distance entre x et 4 sur la droite des réels.

c) $x\in[2;6]\Leftrightarrow |x-4|\leq\,\, 2$ .

2. a) Le centre de [1 ; 25] est $c=\frac{1+25}{2}=13$ , et son rayon est $r=\frac{25-1}{2}=12$ .

b) Le centre de [6 ; 20] est $c=\frac{6+20}{2}=13$ , et son rayon est $r=\frac{20-6}{2}=7$ .

$|x-13|\leq\,\, 12$ pour [1 ; 25] et $|x-13|\leq\,\, 7$ pour [6 ; 20].

c) Le centre de [1,2 ; 3] est $c=\frac{1,2+3}{2}=2,1$ et son rayon est $r=\frac{3-1,2}{2}=0,9$ .

$|x-2,1|\leq\,\, 0,9$ pour [1,2 ; 3].

EXERCICE 10 :

a) $|x|\leq\,\, 5$ .

b) $|x-\frac{1,1}{2}|\leq\,\, \frac{1,1}{2}$ .

c) $|x-\frac{1}{2}|\leq\,\, \frac{1}{6}$ .

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