corrige

Corrigé des exercices sur les équations en 2de.

EXERCICE 1 :

1) Pour résoudre cette équation, on développe le produit des quatre expressions entre parenthèses :

0(2x - 2)(3x - 3)(0,04x - 0,4) = 0

Ce produit est nul si et seulement si l’une des expressions entre parenthèses est nulle. Donc, on résout les équations :

– 2x – 2 = 0 ⇔ x = -1
– 3x – 3 = 0 ⇔ x = 1
– 0.04x – 0.4 = 0 ⇔ x = 10

Les solutions de l’équation (E_1) sont donc x = -1, x = 1 et x = 10.

2) On cherche à déterminer les solutions de l’équation :

\frac{2x + 3}{5x - 1} = 2

On commence par multiplier chaque membre de l’équation par 5x - 1 pour éliminer le dénominateur :

2x + 3 = 4(5x - 1)

On développe et on réduit :

2x + 3 = 20x - 4

18x = 7

x = \frac{7}{18}

La solution de l’équation (E2) est donc x = \frac{7}{18}.

3) On cherche à résoudre l’équation :

4x - 0,8 = 2 - 1,6x

On regroupe les termes en x et on réduit :

5,6x = 2,8

x = \frac{2,8}{5,6}

x = 0,5

La solution de l’équation (E3) est donc x = 0,5.

4) On cherche à résoudre l’équation :

\frac{3}{x} = \frac{x}{5}

On multiplie chaque membre de l’équation par x pour éliminer le dénominateur :

3 = \frac{x^2}{5}

On multiplie chaque membre de l’équation par 5 :

15 = x^2

On obtient une équation du second degré qu’on résout :

x = \pm\sqrt{15}

Les solutions de l’équation (E4) sont donc x = -\sqrt{15} et x = \sqrt{15}.

5) On cherche à résoudre l’équation :

(x - 2)^2 = \frac{1}{16}(5 - 2x)^2

On développe les deux membres de l’équation et on réduit :

x^2 - 9x + 16 = 0

On obtient une équation du second degré qu’on résout :

x_1 = 1, x_2 = 8

Les solutions de l’équation (E5) sont donc x = 1 et x = 8.

6) On cherche à résoudre l’équation :

\frac{x-4}{x-2} = \frac{x+2}{x}

On élimine les dénominateurs en multipliant chaque membre de l’équation par x(x – 2) :

x(x - 2)(x - 4) = (x + 2)(x - 2)

On développe et on réduit :

x^3 - 6x^2 + 8x = x^2

On réduit encore :

x^3 - 7x^2 + 8x = 0

On factorise par x :

x(x^2 - 7x + 8) = 0

On résout l’équation du second degré x^2 - 7x + 8 = 0 :

x_1 = 1, x_2 = 8, x_3 = 0

Les solutions de l’équation (E6) sont donc x = 1, x = 8 et x = 0.

7) On développe les deux membres de l’équation :

3x - 2x^2 + 3 - 4x^2 = 4x^2 - 9

On réduit et on obtient une équation du second degré :

6x^2 - 3x - 6 = 0

On divise les deux membres de l’équation par 3 pour simplifier :

2x^2 - x - 2 = 0

On résout cette équation du second degré en utilisant la formule générale :

x_1 = -1, x_2 = \frac{1}{2}

Les solutions de l’équation (E7) sont donc x = -1 et x = 1/2.

8) On cherche à résoudre l’équation :

\frac{x^2}{1 - 2x} = -1

Comme le membre de gauche est négatif, il n’existe pas de solution réelle à cette équation.

9) On développe et on réduit les deux membres de l’équation :

x^2 + 4x + 4 = 2x^2 - 8

On réduit et on obtient une équation du second degré :

x^2 - 4x - 12 = 0

On résout cette équation du second degré en utilisant la formule générale :

x^2 - 4x - 12 = 0

Les solutions de l’équation (E_9) sont donc x = -2 et x = 6.

10) On multiplie chaque membre de l’équation par 2x – 3 pour éliminer le dénominateur :

x^2 + x + 1 = 2x - 3

On développe et on réduit :

x^2 - x - 4 = 0

On résout cette équation du second degré en utilisant la formule générale :

x_1 = 2, x_2 = -2

La solution de l’équation (E_{10}) est donc x = 2.

EXERCICE 2:

a) En développant et simplifiant, on obtient :

\frac{x}{2} - \frac{3}{2} = \frac{2x}{6} + \frac{5}{6}
-\frac{x}{2} - \frac{2x}{6} = \frac{5}{6} + \frac{3}{2}

-\frac{5x}{6} = \frac{17}{6}

x = -\frac{17}{5}

Donc l’équation admet une solution unique x = -\frac{17}{5}.

b) En développant et simplifiant l’équation, on obtient :

x^2 + 2x - 3 = 0\\\\ (x-1)^2 - 1 - 3 = 0\\\\ (x-1)^2 = 4\\\\ x-1 = \pm2

x_1 = -1 et x_2 = 3

Donc l’équation admet deux solutions x_1 = -1 et x_2 = 3.

c) En développant et simplifiant l’équation, on obtient :

3x^2 - x + 4 = 0
(3x-4)(x+1) = 0

Donc l’équation admet deux solutions x_1 = \frac{4}{3} et x_2 = -\frac{1}{3}.

d) En développant et simplifiant l’équation, on obtient :

2x^2 - x - 1 = 0
(2x+1)(x-1) = 0

Donc l’équation admet deux solutions x_1 = -\frac{1}{2} et x_2 = 1.

e) En développant et simplifiant l’équation, on obtient :

16x^2 - 100x + 81 = 0
(4x-9)(4x-9) = 0

Donc l’équation admet une solution unique x = \frac{9}{4}.

EXERCICE 3 :

a) x^2-12 = (x+ \sqrt{12})(x-\sqrt{ 12}) = (x+2 \sqrt{3})(x-2 \sqrt{3})

b) 9y^2+12y+4 = (3y+2)^2

c) x^2+169-26x = (x-13)^2

d) 144x+144x^2+36 = 36(4x+3)(4x+1)

e) (3x+1)^2-(2x)^2 = (3x+2x+1)(3x-2x+1) = (5x+1)(x+1)

f) 9t^2-24t+16 = (3t-2)^2

g)-22x+121x^2+1 = -(11x-1)^2

h)(x+1)^2-9 = (x+4)(x-2)

EXERCICE 4 :

a) En suivant la courbe, on peut estimer que la solution de l’équation f(x)=2 est environ x=4.

b) On peut voir que la courbe coupe l’axe des x à deux endroits, environ aux points x=1 et x=6. Donc les solutions de l’équation f(x)=0 sont x = 1 et x = 6.

c) La courbe ne coupe pas l’axe des y à la valeur f(x)=-1. Il n’y a donc pas de solution à cette équation.

d) On peut estimer que la solution de l’équation f(x)=1 est environ x=2.5.

EXERCICE 5 :

a) Le dénominateur ne peut pas être nul, donc 10-x≠0, c’est-à-dire x≠10. Par conséquent, l’ensemble de définition est : ℝ\{10} (l’ensemble des réels excepté 10).

b) L’expression sous la racine doit être positive ou nulle, donc x≥0. L’ensemble de définition est donc : [0,+∞[ (l’intervalle semi-ouvert à droite de 0, incluant 0).

c) Il n’y a pas de restriction sur x. L’ensemble de définition est donc : ℝ (l’ensemble des réels).

d) Le dénominateur ne peut pas être nul, donc x≠0. Par conséquent, l’ensemble de définition est : ℝ\{0} (l’ensemble des réels excepté 0).

EXERCICE 6 :

1. La courbe associée à la fonction inverse f est la courbe en bleu, et la courbe associée à la fonction affine g est la droite en rouge.

2. Pour résoudre graphiquement l’équation \frac{1}{x}= 2x +1, il faut trouver l’intersection entre la courbe de f et la droite de g.

Visuellement, on voit qu’il y a une intersection entre ces deux courbes approximativement au point de coordonnées (-0.6, -1.2).

On peut alors confirmer cette solution en vérifiant que \frac{1}{-0.6}= 2(-0.6) +1, ce qui est bien vérifié.

3.
a) On développe l’expression (2x - 1)(x + 1) :
(2x - 1)(x + 1) = 2x^2 + x - 1

b) On peut retrouver algébriquement le résultat obtenu à la question 2 en résolvant l’équation \frac{1}{x}= 2x +1 :

\frac{1}{x}= 2x +1 \Leftrightarrow 1= 2x^2 +x
\Leftrightarrow 2x^2 +x - 1 = 0

On retrouve bien l’expression (2x - 1)(x + 1) précédemment obtenue en développant cette équation. Les solutions de cette équation sont :

x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{4} = \frac{1}{2}
x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{4} = -1

Ces solutions sont également visibles graphiquement en regardant l’intersection entre la courbe f et l’axe horizontal (correspondant à y=0).

EXERCICE 7 :

1)

On développe chaque membre de l’équation :

(x+5)(x+1) = (3x-2)(x+1)

x^2 + 6x + 5 = 3x^2 + x - 2

2x^2 - 5x - 7 = 0

On peut résoudre cette équation pour trouver :

x_1 = -\frac{7}{2}

x_2 = \frac{1}{2}

Donc l’équivalence est fausse, car l’équation obtenue n’implique pas que x+5=3x-2.

Pour que l’équation de droite devienne équivalente à l’équation de gauche, on peut ajouter simplement l’équation x+5 \neq -1, qui correspond à la restriction d’ensemble de définition de la fraction \frac{3x - 2}{x + 1}. L’énoncé modifié serait donc :

(x+5)(x+1) = (3x-2)(x+1) \Leftrightarrow (x+5 \neq -1) \land (x+5=3x-2)

2)

On développe chaque membre de l’équation :

$(x+3)(x^2+1) = (x^2+1)(4x-1)$

$x^3 + 3x^2 + x + 3 = 4x^3 – x^2 + 4x – 1$

$3x^3 – 4x^2 + x + 4 = 0$

On peut résoudre cette équation pour trouver :

$x \approx -1.0087$

$x \approx -0.2971 + 0.4259i$

$x \approx -0.2971 – 0.4259i$

Donc l’équivalence est fausse, car l’équation obtenue n’implique pas que $x+3=4x-1$.

Il n’y a pas de modification à apporter à l’équation de droite pour obtenir une équivalence avec l’équation de gauche, car l’équation de gauche ne peut pas être simplifiée de façon similaire à l’équation de droite.

3)

On développe chaque membre de l’équation :

$(2x-3)^2 = (3x-1)^2$

$4x^2 – 12x + 9 = 9x^2 – 6x + 1$

5x^2 - 6x - 8 = 0

On peut résoudre cette équation pour trouver :

x_1 = \frac{3}{5}

x_2 = -\frac{8}{5}

Donc l’équivalence est fausse, car l’équation obtenue n’implique pas que 2x-3 = 3x-1.

Pour que l’équation de droite devienne équivalente à l’équation de gauche, on peut ajouter simplement l’équation $2x-3\geq\, 0$, qui correspond à la restriction d’ensemble de définition de la racine carrée $(2x-3)^2$. L’énoncé modifié serait donc :

(2x-3)^2 = (3x-1)^2 \Leftrightarrow (2x-3 \geq\, 0) \land (2x-3 = 3x-1)

EXERCICE 8 :

a) L’équation $(x+4)(x-7)=0$ est vérifiée si et seulement si l’un des facteurs est nul. Donc on doit résoudre les deux équations :

$x+4 = 0$ ce qui donne $x=-4$

$x-7 = 0$ ce qui donne $x=7$

Les solutions de l’équation initiale sont donc $x=-4$ et $x=7$.

b) L’équation (2x+3)(4x-5)=0 est vérifiée si et seulement si l’un des facteurs est nul. Donc on doit résoudre les deux équations :

$2x+3 = 0$ ce qui donne x=-\frac{3}{2}

$4x-5 = 0$ ce qui donne x=\frac{5}{4}

Les solutions de l’équation initiale sont donc $x=-\frac{3}{2}$ et x=\frac{5}{4}.

c) L’équation $-x(5-4x)=0$ est vérifiée si et seulement si l’un des facteurs est nul. Donc on doit résoudre les deux équations :

$x = 0$

5-4x = 0 ce qui donne x=\frac{5}{4}

La solution de l’équation initiale est donc x=0 ou x=\frac{5}{4}.

d) L’équation (-15x+3)(3x+9)=0 est vérifiée si et seulement si l’un des facteurs est nul. Donc on doit résoudre les deux équations :

$-15x+3 = 0$ ce qui donne $x=\frac{1}{5}$

$3x+9 = 0$ ce qui donne $x=-3$

Les solutions de l’équation initiale sont donc x=\frac{1}{5} et $x=-3$.

e) L’équation $(2x-4)^2=0$ est vérifiée si et seulement si le carré du facteur est nul, c’est-à-dire si le facteur est zéro. Donc on doit résoudre l’équation :

$2x-4 = 0$ ce qui donne $x=2$

La solution de l’équation initiale est donc $x=2$.

f) L’équation 3x(x-5)=0 est vérifiée si et seulement si l’un des facteurs est nul. Donc on doit résoudre les deux équations :

$3x = 0$ ce qui donne x=0

$x-5 = 0$ ce qui donne $x=5$

Les solutions de l’équation initiale sont donc $x=0$ et $x=5$.

EXERCICE 9 :

a) On factorise : 5x(x-6/5)=0.

Donc soit x=0 soit x=6/5.

b) On factorise par (x+4) :

(2x+1)(x+4)+(3-5x)(x+4)=0.

Donc (x+4)((2x+1)+(3-5x))=0, soit (x+4)(-3x+4)=0.

Donc soit x=-4 soit x=4/3.

c) On développe les produits et on simplifie : 3x^2-35x+35=0.

Cette équation n’a pas de solutions réelles car son discriminant \Delta=(-35)^2-4(3)(35)=-455 est négatif.

d) On factorise : 4(x+1)^2=0. Donc soit x=-1.

EXERCICE 10 :

a) On a x^2=81 si et seulement si x=±9.

b) L’équation x^2=-7 n’a pas de solutions réelles car son discriminant Δ=4(7) est positif.

c) L’équation x^2=15 a pour solutions x=±√15.

d) On divise les deux membres de l’équation 3x^2=48 par 3 pour obtenir x^2=16, qui a pour solutions x=±4.

e) On soustrait 20 des deux côtés de l’équation 2x^2+20=0 pour obtenir 2x^2=-20, puis on divise les deux côtés par 2 pour obtenir x^2=-10. Cette équation n’a pas de solutions réelles car son discriminant Δ=4(10) est positif.

f) On ajoute 2 des deux côtés de l’équation 4x^2-2=1 pour obtenir 4x^2=3, puis on divise les deux côtés par 4 pour obtenir x^2=3/4. Cette équation a pour solutions x=±√3/2.

EXERCICE 11 :

a) On reconnaît l’identité remarquable (x+3)^2=x^2+6x+9, donc l’équation x^2+6x+9=0 est équivalente à (x+3)^2=0, qui a pour solution x=-3.

b) On utilise la formule de la racine carrée : x=\frac{1}{72}(12\pm\sqrt{12}). Cependant, comme le discriminant de l’équation est positif, on ne peut pas simplifier davantage en nombre rationnel.

c) On factorise l’équation pour obtenir x(x-8)=0, donc les solutions sont x=0 et x=8.

d) On divise les deux côtés de l’équation 5(2x+1)^2=20 par 5 pour obtenir (2x+1)^2=4, donc les solutions sont x=-3/2 et x=1/2.

e) On développe les carrés pour obtenir 16x^2+42x+16=25x^2-60x+36, ce qui équivaut à 9x^2-102x+20=0. On utilise la formule de la racine carrée pour trouver les solutions : x=\frac{51\pm\sqrt{1981}}{9}.

f) On ajoute 100 des deux côtés de l’équation (x-2)^2-100=0 pour obtenir (x-2)^2=100, puis on utilise la formule de la racine carrée pour obtenir x=2±10. Les solutions sont donc x=-8 et x=12.

EXERCICE 12 :

a) On élève les deux côtés de l’équation à la puissance 2 pour obtenir x=144.

b) L’équation \sqrt{x}=-2 n’a pas de solutions réelles car le carré d’un nombre réel est toujours positif.

c) On élève les deux côtés de l’équation à la puissance 2 pour obtenir x=132,25.

d) On divise les deux côtés de l’équation 3\sqrt{x}=21 par 3 pour obtenir \sqrt{x}=7, puis on élève les deux côtés à la puissance 2 pour obtenir x=49.

EXERCICE 13 :

a) On résout l’équation 2x-1=x+6 en soustrayant x et en ajoutant 1 des deux côtés pour obtenir x=7.

b) On résout l’équation 4=9(2x+6) en divisant les deux côtés par 9 et en soustrayant 6 pour obtenir x=-\frac{5}{3}.

c) On résout l’équation 2x=-3(x-4) en développant le produit et en isolant les termes en x d’un côté de l’équation pour obtenir 5x=12, donc x=\frac{12}{5}.

d) On multiplie les deux côtés de l’équation \frac{x+1}{x-1}=\frac{1}{2} par (x-1) pour obtenir x+1=\frac{x-1}{2}, ce qui équivaut à 3x=3, donc x=1. Cependant, il faut vérifier que x=1 n’est pas une solution exclue de l’équation initiale. En effet, on peut remplacer x par 1 dans \frac{x+1}{x-1} et on trouve \frac{2}{0}, qui n’est pas défini. Donc, l’équation n’a pas de solution.

EXERCICE 14 :

1. Pour estimer le nombre de bactéries au bout d’un jour, il suffit de remplacer t par 1 dans la fonction N(t) :
N(1) = (0,5 \times   1 + 1)^2 = 2,25 milliers de bactéries.
Donc on estime qu’il y a environ 2 250 bactéries au bout d’un jour.

2. Pour trouver le temps auquel le nombre de bactéries atteint 16 000, on doit résoudre l’équation N(t) = 16 :
(0,5t + 1)² = 16
0,5t + 1 = √16
0,5t + 1 = 4 ou 0,5t + 1 = -4 (mais cette dernière solution est impossible)
0,5t = 3
t = 6
Donc le nombre de bactéries atteint 16 000 au bout de 6 jours.

EXERCICE 15 :

1. La boîte en question a une surface extérieure constituée de 5 faces : la base carrée, deux faces carrées latérales et deux faces rectangulaires représentant le couvercle et sa base.

La surface de la base carrée est x², la surface des deux faces carrées latérales est 2x \times   2, et la surface des deux faces rectangulaires est 2x \times   2.

Donc la surface extérieure totale est :
S(x) = x^2 + 4x + 4x + 4x
S(x) = x^2 + 12x
Mais la hauteur de la boîte est égale à 2, donc les dimensions des deux faces rectangulaires sont (x+4) et 2, et non pas 2x et 2. Donc la formule correcte est :
S(x) = x^2 + 4x + 2(x+4) \times   2
S(x) = x^2 + 12x + 16
Donc la surface extérieure de la boîte est donnée en fonction de x par la formule S(x) = x^2+ 12x + 16.

2. Pour trouver quelle(s) valeur(s) de x donnent une surface extérieure de 72, il suffit de résoudre l’équation :
x² + 12x + 16 = 72
x² + 12x – 56 = 0
On peut résoudre cette équation en utilisant la formule quadratique, mais elle admet des solutions entières :
x = 4 ou x = -14
Comme x représente une longueur positive, la seule solution acceptable est x = 4. Donc la boîte en question a une base carrée de côté 4 pour avoir une surface extérieure de 72.

EXERCICE 16 :

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux. Les coefficients directeurs des droites passant par deux points (x_1,y_1) et (x_2,y_2) sont donnés par la formule :
a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Donc pour que les droites (AB) et (CD) soient parallèles, il faut que :
a_B - a_A = a_D - a_C
a_B, a_A, a_D, a_C sont les coefficients directeurs des droites (AB), (AC), (CD) et (BC), respectivement.

On peut appliquer cette formule pour trouver la condition à vérifier en fonction de x pour que les droites (AB) et (CD) soient parallèles.

Mais sans plus d’informations sur les points A, B, C et D, on ne peut pas répondre à cette question de manière précise.

EXERCICE 17 :

1) Pour x = 0, on a y = 1 et donc :
A = 3(0^2+1^2) - 4(0+1) + 6 \times   0\times   1 = -1
Pour x = -2, on a y = 3 et donc :
A = 3((-2)^2+3^2) - 4((-2)+3) + 6 \times   (-2) \times   3 = -37

2) On développe :
(x+y)^2 - 2xy = x^2 + 2xy + y^2 - 2xy = x^2 + y^2
Donc A = 3(x^2 + y^2) - 4(x + y) + 6xy
= 3[(x+y)^2 - 2xy] - 4(x + y) + 6xy
= 3(x+y)^2 - 12xy - 4(x+y)
= 3(x+y)^2 - 4(x+y) -10xy
= (3(x+y) - 10xy) (x+y - 1)
Mais on sait que x+y = 1, donc A = (3 - 10xy)(1-x-y)

Si x+y = 1, alors 1-x-y = 0 et donc A = 3 - 10xy. On a également x+y = 1, donc xy ≤ 1/4 par inégalité arithmético-géométrique. Donc 10xy ≤ 5 et donc 3 – 10xy ≥ -2. Donc si x+y = 1, on a -2 ≤ A ≤ 3. Mais on sait également que A = (3 – 10xy)(1-x-y), donc si x+y = 1, alors 3 – 10xy = 1-x-y et donc A = -1. Ainsi, si x+y = 1, alors A est toujours égal à -1.

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