corrige

Corrigé des exercices sur les fonctions en 2de.

EXERCICE 1 :

1)a) On calcule f(1+5\sqrt{2}) :
f(1+5\sqrt{2}) = -\frac{4}{5}(1+5\sqrt{2})^2 + 3(1+5\sqrt{2}) + 5 \\\\= -\frac{4}{5}(1+2\cdot5\sqrt{2}+50)+3+15\sqrt{2}+5 \\\\= -\frac{4}{5}\cdot51-4\cdot5\sqrt{2}+18\sqrt{2}+8 \\\\= -\frac{204}{5}+14\sqrt{2}

On peut donc écrire : f(1+5\sqrt{2}) = -\frac{204}{5} + 14\sqrt{2}

b) On calcule f(5-\sqrt{3}) :
f(5-\sqrt{3}) = -\frac{4}{5}(5-\sqrt{3})^2 + 3(5-\sqrt{3}) + 5 \\\\= -\frac{4}{5}(28-10\sqrt{3}) + 15 - 3\sqrt{3} + 5 \\\\= -\frac{112}{5} + \frac{40}{5}\sqrt{3} + 17 - 3\sqrt{3} \\\\= -\frac{145}{5} - \sqrt{3}

On peut donc écrire : f(5-\sqrt{3}) = -\frac{145}{5} - \sqrt{3}

2) Pour f(x) = 1, on a :
-\frac{4}{5}x^2 + 3x + 5 = 1 \\-\frac{4}{5}x^2 + 3x + 4 = 0
On peut résoudre cette équation en utilisant la formule de la discriminante :
\Delta = 3^2 - 4 \times   (-\frac{4}{5}) \times   4 = \frac{121}{5} > 0
Les racines de l’équation sont alors :
x_1 = \frac{-3+\sqrt{\frac{121}{5}}}{-\frac{8}{5}} \approx -0,157
x_2 = \frac{-3-\sqrt{\frac{121}{5}}}{-\frac{8}{5}} \approx 5,013
Donc il n’y a pas de réel x tel que f(x) = 1.

Pour f(2) et f(0), on calcule :
f(2) = \frac{4 \times   2+2}{1+2^2} = \frac{10}{5} = 2
f(0) = \frac{4 \times   0+2}{1+0^2} = 2
Donc les images de 2 et de 0 par f sont égales.

3) On calculef(\frac{1}{2}):
f(\frac{1}{2}) = \frac{4\cdot\frac{1}{2}+2}{1+\frac{1}{4}} = \frac{4+2}{\frac{5}{4}} = \frac{24}{5}

4) On résout l’équation f(x) = 0 :
-\frac{4}{5}x^2 + 3x + 5 = 0
On utilise la formule de la discriminante :
\Delta = 3^2 - 4 \times   (-\frac{4}{5}) \times   5 = \frac{89}{5} > 0
Les racines de l’équation sont alors :
x_1 = \frac{-3+\sqrt{\frac{89}{5}}}{-\frac{8}{5}}
x_2 = \frac{-3-\sqrt{\frac{89}{5}}}{-\frac{8}{5}}
Donc les antécédents de 0 sont x_1 et x_2.

EXERCICE 2 :

1. On calcule f(3) :
f(3)=\frac{4 \times   3 + 2}{1+3^2} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}.
Donc f(3) n’est pas égal à 1.

2. On calcule f(2) et f(0) :
f(2)=\frac{4\times   2+2}{1+2^2} = \frac{10}{5} = 2
f(0)=\frac{4\times   0+2}{1+0^2} = 2
On a donc f(2) = f(0) = 2.

3. On calcule f(\frac{1}{2}):
f(\frac{1}{2})=\frac{4\times   \frac{1}{2} + 2}{1+(\frac{1}{2})^2} = \frac{5}{2}.
L’image de \frac{1}{2} par f est donc égale à \frac{5}{2}.

4. On cherche les antécédents de 0 par f, c’est-à-dire les valeurs de x telles que f(x)=0.
On résout l’équation \frac{4x+2}{1+x^2}=0 :
4x+2=0 \Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}.
La seule solution est donc x=-\frac{1}{2}.
L’antécédent de 0 par f est donc -\frac{1}{2}.

EXERCICE 3 :

a) En lisant graphiquement, on trace une droite verticale passant par x=-1 et on cherche l’intersection avec la courbe. Cette intersection se situe à environ y=1.3. Donc l’image de -1 par f est environ 1.3.

b) En lisant graphiquement, on cherche la valeur de f(0) en lisant l’ordonnée en x=0 sur la courbe, qui est environ y=2. Donc l’image de 0 par f est environ 2.

c) En lisant graphiquement, on trace une droite horizontale passant par y=1 et on cherche les intersections avec la courbe. Il y en a deux, environ en x=-\frac{3}{2} et x=2. Donc les antécédents de 1 par f sont environ x=-\frac{3}{2} et x=2.

d) En lisant graphiquement, on trace une droite horizontale passant par y=3 et on cherche les intersections avec la courbe. Il y a une seule intersection, environ en x=3. Donc l’antécédent de 3 par f est environ x=3.

EXERCICE 4 :

a) En lisant graphiquement, on trouve que g(0) est environ 0.5.

b) En lisant graphiquement, on cherche les valeurs de g(1) et g(-2) en lisant les ordonnées en x=1 et x=-2 sur la courbe. On trouve que g(1) est environ -1 et que g(-2) est environ -1.5.

c) En lisant graphiquement, pour trouver les antécédents éventuels de -1, on trace une droite horizontale passant par y=-1 et on cherche les intersections avec la courbe. Il y a deux intersections, environ en x=-1.5 et x=2. Donc les antécédents éventuels de -1 sont environ -1.5 et 2.

Pour trouver les antécédents éventuels de 1, on trace une droite horizontale passant par y=1 et on cherche les intersections avec la courbe. Il n’y a pas d’intersection.

Pour trouver les antécédents éventuels de 5, on trace une droite horizontale passant par y=5 et on cherche les intersections avec la courbe. Il n’y a pas d’intersection.

EXERCICE 5 :

a) En estimant sur la courbe, on peut voir que f(x)=2 a deux solutions approximativement égales à 2,5 et 6,5.

b) f(x)=0 a trois solutions approximativement égales à 1,5, 3,5 et 6.

c) f(x)=-1 a une solution approximativement égale à 5,5.

d) f(x)=1 a deux solutions approximativement égales à 1 et 5.

EXERCICE 10 :

La première courbe est une fonction paire.
La deuxième courbe n’est ni paire, ni impaire.
La troisième courbe est une fonction impaire.

EXERCICE 11 :

a) La fonction est définie pour tout x sauf pour x = 10 car le dénominateur est nul.
b) g(x) >= 0 pour tout x et le domaine de définition de g est [0;+\infty[.
c) h(x) est définie pour tout x et son domaine de définition est [-3;+\infty[.
d) i(x) est définie pour tout x différent de 0 et son domaine de définition est \mathbb{R}^{*}.

EXERCICE 12 :

1. Les courbes associées aux fonctions sont la droite y = x/2 et la droite y=2x+1.
2. L’équation \frac{1}{x} = 2x+1 peut être réécrite sous forme x^2+2x-1=0. En résolvant cette équation, on obtient les solutions x = -1+\sqrt{2} et x = -1-\sqrt{2}.
3. a) (2x-1)(x+1) = 2x^2+ x -1.
b)(2x-1)(x+1) = (x-\frac{1}{2})^2+\frac{5}{4}.
c) La parabole admet un sommet en (-\frac{1}{2},\frac{5}{4}), donc la hauteur maximale atteinte par la balle est \frac{5}{4} mètres.

EXERCICE 13 :

1. La fonction n’est pas définie en 2 donc l’image de 2 ne peut pas être déterminée.
2. La fonction n’est pas définie en -2 donc la valeur de f(-2) ne peut pas être déterminée.
3. Une valeur approchée des antécédents de 5 est 0,78 et 3,22.
4. f(x) = 4 est équivalent à -3x^2+6x-8 = 0. En résolvant cette équation, on obtient les solutions x = 1-\sqrt{\frac{2}{3}} et x = 1+\sqrt{\frac{2}{3}}.
5. f(x) < 6 est équivalent à -3x^2+6x-10 < 0.

En résolvant cette inéquation, on obtient 1-\sqrt{\frac{10}{3}} < x < 1+\sqrt{\frac{10}{3}}.
6. f(x) \geq\,\, 8 est équivalent à -3x^2+6x-12 \geq\,\, 0.

Cette inéquation est équivalente à x \leq\,\, 1-\sqrt{\frac{2}{3}} oux \geq\,\, 1+\sqrt{\frac{2}{3}}.

On peut aussi dire que le complémentaire de l’ensemble des antécédents de 8 est l’intervalle [1-\sqrt{\frac{2}{3}};1+\sqrt{\frac{2}{3}}].

EXERCICE 14 :

1) Df est l’ensemble des réels tels que x+2>0, soit D_f = ]-2, +\infty[.

2) On calcule :

f(-1) = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1 ;
f(7) = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3} ;
f(-4) n’est pas défini car -4 n’appartient pas à D_f.

Donc, f(-1) = 1, f(7) =\frac{ 1}{3} et f(-4) n’est pas défini.

3) Le ou les antécédents de 2 sont les solutions de l’équation f(x) = 2, c’est-à-dire :

2 = \frac{1}{\sqrt{x+2}}x+2 = \frac{1}{4}x = -\frac{15}{4}.

Donc, le seul antécédent de 2 est -\frac{15}{4}.

4) Le ou les antécédents de -1 sont les solutions de l’équation f(x) = -1, c’est-à-dire :

-1 = \frac{1}{\sqrt{x+2}}x+2 = 1x = -1.

Donc, le seul antécédent de -1 est -1.

5) Voici le graphique de f :

courbe d'une fonction

EXERCICE 15 :

a) f(x) est définie si et seulement si x^2-2x-3>0.

Factorisons le polynôme : x^2-2x-3 = (x-3)(x+1).

Le polynôme est négatif entre les racines, soit sur l’intervalle ]-1 ; 3[. Donc l’ensemble de définition de f est Df = ]-∞, -1[ U ]3, +∞[.

b) Pour déterminer l’image de 0, on calcule f(0) = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}.

Pour déterminer l’image de 2π, on calcule f(2\pi) = \frac{1}{2\pi-\pi} = \frac{1}{\pi}.

c) Pour déterminer le ou les antécédents de 2, on résout l’équation f(x) = \frac{2 }{2} = \frac{1}{x-\pi},

soit x-\pi = \frac{1}{2}, donc x = \frac{3}{2} +\pi. Le seul antécédent de 2 est donc x = \frac{3}2{ + \pi.

Pour déterminer le ou les antécédents de 0, on résout l’équation f(x) = 0 : 0 = \frac{1}{x-\pi},

soit x-π = ∞, donc x = ∞ + π ou x = -∞ + π.

Il n’y a pas d’antécédent de 0.

d) Pour déterminer le signe de f, on étudie le signe de l’expression x-π. Si x-π > 0, alors f(x) est négatif, si x-π < 0, alors f(x) est positif. On peut résumer cela par :

– f(x) < 0 si x > π ;
– f(x) > 0 si x < π.

e) Le graphique de f est le suivant :

courbe Hyperbole

La courbe est une hyperbole d’asymptotes verticales x = π et x = -1, passant par le point (0,-1/4).

EXERCICE 16 :

On définit la fonction f sur ℝ par x\,\mapsto   \,\sqrt{2}x-\sqrt{3}

1) L’image de - \sqrt{2} par f est f(- \sqrt{2}) = - \sqrt{6} - \sqrt{3}.

2) Pour déterminer les antécédents de 0 et \sqrt{2}, on résout respectivement les équations f(x) = 0 et f(x) = \sqrt{2} :

– f(x) = 0 ⇔ x = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.
f(x) = \sqrt{2}\sqrt{2}x - \sqrt{3} = \sqrt{2}x = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2} ou x = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2}.

Donc, l’antécédent de 0 est √3/√2, et les antécédents de √2 sont x = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2} et x = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2}.

3) Pour tout réel x, on a f(x) = \sqrt{2}x - \sqrt{3}.

Le coefficient √2 étant positif, le signe de f(x) est le même que celui de x - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.

En utilisant la valeur de l’antécédent de 0, on peut en déduire que f(x) est négatif si et seulement six < \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, et positif si et seulement si x > \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.

Donc, f est positive sur l’intervalle ]\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}};+\infty[  et négative sur l’intervalle ]-\infty;\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}[.

4) Voici le graphique de f :

fonction affine

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