Corrigé sur des exercices sur les fonctions en 2de.

EXERCICE 1 :

1)a) On calcule $f(1+5\sqrt{2})$ :
$f(1+5\sqrt{2}) = -\frac{4}{5}(1+5\sqrt{2})^2 + 3(1+5\sqrt{2}) + 5 \\\\= -\frac{4}{5}(1+2\cdot5\sqrt{2}+50)+3+15\sqrt{2}+5 \\\\= -\frac{4}{5}\cdot51-4\cdot5\sqrt{2}+18\sqrt{2}+8 \\\\= -\frac{204}{5}+14\sqrt{2}$

On peut donc écrire : $f(1+5\sqrt{2}) = -\frac{204}{5} + 14\sqrt{2}$

b) On calcule $f(5-\sqrt{3})$ :
$f(5-\sqrt{3}) = -\frac{4}{5}(5-\sqrt{3})^2 + 3(5-\sqrt{3}) + 5 \\\\= -\frac{4}{5}(28-10\sqrt{3}) + 15 - 3\sqrt{3} + 5 \\\\= -\frac{112}{5} + \frac{40}{5}\sqrt{3} + 17 - 3\sqrt{3} \\\\= -\frac{145}{5} - \sqrt{3}$

On peut donc écrire : $f(5-\sqrt{3}) = -\frac{145}{5} - \sqrt{3}$

2) Pour f(x) = 1, on a :
$-\frac{4}{5}x^2 + 3x + 5 = 1 \\-\frac{4}{5}x^2 + 3x + 4 = 0$
On peut résoudre cette équation en utilisant la formule de la discriminante :
$\Delta = 3^2 - 4 \times (-\frac{4}{5}) \times 4 = \frac{121}{5} > 0$
Les racines de l’équation sont alors :
$x_1 = \frac{-3+\sqrt{\frac{121}{5}}}{-\frac{8}{5}} \approx -0,157$
$x_2 = \frac{-3-\sqrt{\frac{121}{5}}}{-\frac{8}{5}} \approx 5,013$
Donc il n’y a pas de réel x tel que f(x) = 1.

Pour f(2) et f(0), on calcule :
$f(2) = \frac{4 \times 2+2}{1+2^2} = \frac{10}{5} = 2$
$f(0) = \frac{4 \times 0+2}{1+0^2} = 2$
Donc les images de 2 et de 0 par f sont égales.

3) On calcule $f(\frac{1}{2})$ :
$f(\frac{1}{2}) = \frac{4\cdot\frac{1}{2}+2}{1+\frac{1}{4}} = \frac{4+2}{\frac{5}{4}} = \frac{24}{5}$

4) On résout l’équation f(x) = 0 :
$-\frac{4}{5}x^2 + 3x + 5 = 0$
On utilise la formule de la discriminante :
$\Delta = 3^2 - 4 \times (-\frac{4}{5}) \times 5 = \frac{89}{5} > 0$
Les racines de l’équation sont alors :
$x_1 = \frac{-3+\sqrt{\frac{89}{5}}}{-\frac{8}{5}}$
$x_2 = \frac{-3-\sqrt{\frac{89}{5}}}{-\frac{8}{5}}$
Donc les antécédents de 0 sont et .

EXERCICE 2 :

1. On calcule f(3) :
$f(3)=\frac{4 \times 3 + 2}{1+3^2} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}.$
Donc f(3) n’est pas égal à 1.

2. On calcule f(2) et f(0) :
$f(2)=\frac{4\times 2+2}{1+2^2} = \frac{10}{5} = 2$
$f(0)=\frac{4\times 0+2}{1+0^2} = 2$
On a donc f(2) = f(0) = 2.

3. On calcule $f(\frac{1}{2})$ :
$f(\frac{1}{2})=\frac{4\times \frac{1}{2} + 2}{1+(\frac{1}{2})^2} = \frac{5}{2}$ .
L’image de $\frac{1}{2}$ par f est donc égale à $\frac{5}{2}$ .

4. On cherche les antécédents de 0 par f, c’est-à-dire les valeurs de x telles que .
On résout l’équation $\frac{4x+2}{1+x^2}=0$ :
$4x+2=0 \Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$ .
La seule solution est donc $x=-\frac{1}{2}$ .
L’antécédent de 0 par f est donc $-\frac{1}{2}$ .

EXERCICE 3 :

a) En lisant graphiquement, on trace une droite verticale passant par x=-1 et on cherche l’intersection avec la courbe. Cette intersection se situe à environ y=1.3. Donc l’image de -1 par f est environ 1.3.

b) En lisant graphiquement, on cherche la valeur de f(0) en lisant l’ordonnée en x=0 sur la courbe, qui est environ y=2. Donc l’image de 0 par f est environ 2.

c) En lisant graphiquement, on trace une droite horizontale passant par y=1 et on cherche les intersections avec la courbe. Il y en a deux, environ en $x=-\frac{3}{2}$ et x=2. Donc les antécédents de 1 par f sont environ $x=-\frac{3}{2}$ et x=2.

d) En lisant graphiquement, on trace une droite horizontale passant par y=3 et on cherche les intersections avec la courbe. Il y a une seule intersection, environ en x=3. Donc l’antécédent de 3 par f est environ x=3.

EXERCICE 4 :

a) En lisant graphiquement, on trouve que g(0) est environ 0.5.

b) En lisant graphiquement, on cherche les valeurs de g(1) et g(-2) en lisant les ordonnées en x=1 et x=-2 sur la courbe. On trouve que g(1) est environ -1 et que g(-2) est environ -1.5.

c) En lisant graphiquement, pour trouver les antécédents éventuels de -1, on trace une droite horizontale passant par y=-1 et on cherche les intersections avec la courbe. Il y a deux intersections, environ en x=-1.5 et x=2. Donc les antécédents éventuels de -1 sont environ -1.5 et 2.

Pour trouver les antécédents éventuels de 1, on trace une droite horizontale passant par y=1 et on cherche les intersections avec la courbe. Il n’y a pas d’intersection.

Pour trouver les antécédents éventuels de 5, on trace une droite horizontale passant par y=5 et on cherche les intersections avec la courbe. Il n’y a pas d’intersection.

EXERCICE 5 :

a) En estimant sur la courbe, on peut voir que f(x)=2 a deux solutions approximativement égales à 2,5 et 6,5.

b) f(x)=0 a trois solutions approximativement égales à 1,5, 3,5 et 6.

c) f(x)=-1 a une solution approximativement égale à 5,5.

d) f(x)=1 a deux solutions approximativement égales à 1 et 5.

EXERCICE 10 :

La première courbe est une fonction paire.
La deuxième courbe n’est ni paire, ni impaire.
La troisième courbe est une fonction impaire.

EXERCICE 11 :

a) La fonction est définie pour tout x sauf pour x = 10 car le dénominateur est nul.
b) g(x) >= 0 pour tout x et le domaine de définition de g est $[0;+\infty[$ .
c) h(x) est définie pour tout x et son domaine de définition est $[-3;+\infty[$ .
d) i(x) est définie pour tout x différent de 0 et son domaine de définition est $\mathbb{R}^{*}$ .

EXERCICE 12 :

1. Les courbes associées aux fonctions sont la droite y = x/2 et la droite y=2x+1.
2. L’équation $\frac{1}{x} = 2x+1$ peut être réécrite sous forme . En résolvant cette équation, on obtient les solutions $x = -1+\sqrt{2}$ et $x = -1-\sqrt{2}$ .
3. a) .
b) $(2x-1)(x+1) = (x-\frac{1}{2})^2+\frac{5}{4}$ .
c) La parabole admet un sommet en $(-\frac{1}{2},\frac{5}{4})$ , donc la hauteur maximale atteinte par la balle est $\frac{5}{4}$ mètres.

EXERCICE 13 :

1. La fonction n’est pas définie en 2 donc l’image de 2 ne peut pas être déterminée.
2. La fonction n’est pas définie en -2 donc la valeur de f(-2) ne peut pas être déterminée.
3. Une valeur approchée des antécédents de 5 est 0,78 et 3,22.
4. f(x) = 4 est équivalent à . En résolvant cette équation, on obtient les solutions $x = 1-\sqrt{\frac{2}{3}}$ et $x = 1+\sqrt{\frac{2}{3}}$ .
5. f(x) < 6 est équivalent à .

En résolvant cette inéquation, on obtient $1-\sqrt{\frac{10}{3}} < x < 1+\sqrt{\frac{10}{3}}$ .
6. $f(x) \geq\,\, 8$ est équivalent à $-3x^2+6x-12 \geq\,\, 0$ .

Cette inéquation est équivalente à $x \leq\,\, 1-\sqrt{\frac{2}{3}}$ ou $x \geq\,\, 1+\sqrt{\frac{2}{3}}$ .

On peut aussi dire que le complémentaire de l’ensemble des antécédents de 8 est l’intervalle $[1-\sqrt{\frac{2}{3}};1+\sqrt{\frac{2}{3}}]$ .

EXERCICE 14 :

1) Df est l’ensemble des réels tels que x+2>0, soit $D_f = ]-2, +\infty[$ .

2) On calcule :

– $f(-1) = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1$ ;
– $f(7) = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$ ;
– n’est pas défini car n’appartient pas à .

Donc, $f(-1) = 1, f(7) =\frac{ 1}{3}$ et f(-4) n’est pas défini.

3) Le ou les antécédents de 2 sont les solutions de l’équation , c’est-à-dire :

$2 = \frac{1}{\sqrt{x+2}}$ ⇔ $x+2 = \frac{1}{4}$ ⇔ $x = -\frac{15}{4}$ .

Donc, le seul antécédent de 2 est $-\frac{15}{4}$ .

4) Le ou les antécédents de -1 sont les solutions de l’équation f(x) = -1, c’est-à-dire :

$-1 = \frac{1}{\sqrt{x+2}}$ ⇔ ⇔ .

Donc, le seul antécédent de -1 est -1.

5) Voici le graphique de f :

EXERCICE 15 :

a) f(x) est définie si et seulement si .

Factorisons le polynôme : .

Le polynôme est négatif entre les racines, soit sur l’intervalle ]-1 ; 3[. Donc l’ensemble de définition de f est Df = ]-∞, -1[ U ]3, +∞[.

b) Pour déterminer l’image de 0, on calcule $f(0) = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}$ .

Pour déterminer l’image de 2π, on calcule $f(2\pi) = \frac{1}{2\pi-\pi} = \frac{1}{\pi}$ .

c) Pour déterminer le ou les antécédents de 2, on résout l’équation $f(x) = \frac{2 }{2} = \frac{1}{x-\pi}$ ,

soit $x-\pi = \frac{1}{2}$ , donc $x = \frac{3}{2} +\pi$ . Le seul antécédent de 2 est donc $x = \frac{3}2{ + \pi$ .

Pour déterminer le ou les antécédents de 0, on résout l’équation f(x) = 0 : $0 = \frac{1}{x-\pi}$ ,

soit x-π = ∞, donc x = ∞ + π ou x = -∞ + π.

Il n’y a pas d’antécédent de 0.

d) Pour déterminer le signe de f, on étudie le signe de l’expression x-π. Si x-π > 0, alors f(x) est négatif, si x-π < 0, alors f(x) est positif. On peut résumer cela par :

– f(x) < 0 si x > π ;
– f(x) > 0 si x < π.

e) Le graphique de f est le suivant :

La courbe est une hyperbole d’asymptotes verticales x = π et x = -1, passant par le point (0,-1/4).

EXERCICE 16 :

On définit la fonction f sur ℝ par $x\,\mapsto \,\sqrt{2}x-\sqrt{3}$

1) L’image de $- \sqrt{2}$ par f est $f(- \sqrt{2}) = - \sqrt{6} - \sqrt{3}$ .

2) Pour déterminer les antécédents de 0 et $\sqrt{2}$ , on résout respectivement les équations et $f(x) = \sqrt{2}$ :

– f(x) = 0 ⇔ $x = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .
– $f(x) = \sqrt{2}$ ⇔ $\sqrt{2}x - \sqrt{3} = \sqrt{2}$ ⇔ $x = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2}$ ou $x = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2}$ .

Donc, l’antécédent de 0 est √3/√2, et les antécédents de √2 sont $x = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2}$ et $x = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2}$ .

3) Pour tout réel x, on a $f(x) = \sqrt{2}x - \sqrt{3}$ .

Le coefficient √2 étant positif, le signe de f(x) est le même que celui de $x - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

En utilisant la valeur de l’antécédent de 0, on peut en déduire que f(x) est négatif si et seulement si $x < \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ , et positif si et seulement si $x > \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

Donc, f est positive sur l’intervalle $]\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}};+\infty[$ et négative sur l’intervalle $]-\infty;\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}[$ .

4) Voici le graphique de f :

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