corrige

Corrigé des exercices sur les inéquations et tableaux de signes en 2de.

EXERCICE 1 :

1) 2x - 5 < 3x - 7
On peut simplifier cette inégalité en isolant x :
2x - 3x < -7 + 5
-x < -2
Et en multipliant par -1, on obtient :
x > 2
Donc la solution de cette inégalité est x ∈ ]2; +∞[.

2) \frac{1+4x}{1-4x}=\frac{1-4x}{1+4x}
On peut commencer par mettre un membre au même dénominateur que l’autre :
(1+4x)(1+4x) = (1-4x)(1-4x)
1 + 8x + 16x^2 = 1 - 8x + 16x^2
En simplifiant, on trouve :
16x = 0
Donc la seule solution de cette équation est x = 0.

3) x^2 + x + \frac{1}{4}< (2x + 1)^2
On peut développer le second membre de l’inégalité :
(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1
Donc l’inégalité devient :
x^2 + x + \frac{1}{4}< 4x^2 + 4x + 1
En soustrayant x^2 + x + \frac{1}{4} des deux côtés, on trouve :
3x^2 + \frac{3}{4} > 0
Ce qui est vrai pour tout x.

Donc la solution de cette inégalité est x ∈ R.

EXERCICE 2 :

1) On peut développer la formule (x - \frac{1}{2})^2 pour trouver :
(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} = x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}
= x^2 - x
Donc x^2 - x = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} pour tout x.

2) a) On peut déduire y = 1 - x de l’équation x+y = 1.

Donc xy = x(1-x) = x - x^2.

Cette fonction quadratique atteint son maximum en x = 1/2, où la valeur est 1/4. Donc on a toujours xy < 1/4.

b) On peut exprimer y en fonction de x :y = 1 - x.

Donc pour tout x, on a :
x^2 + y^2 = x^2 + (1 - x)^2
= 2x^2 - 2x + 1
On veut montrer que cette quantité est supérieure à 1/2. En soustrayant 1/2 des deux côtés, on obtient :
2x^2 - 2x + \frac{1}{2} > 0
Soit f(x) = 2x^2 - 2x + \frac{1}{2}.

Cette fonction est une fonction quadratique qui atteint son minimum en x = 1/2, où la valeur est 1/2. Donc pour tout x, on a f(x) > \frac{1}{2} et donc x^2 + y^2 > \frac{1}{2}.

EXERCICE 3 :

a) Le premier terme est toujours positif ou nul. Le deuxième terme est toujours positif. Donc l’expression est toujours positive ou nulle.

b) Le symbole moins devant la racine indique que l’expression est négative ou nulle (mais elle est nulle seulement si x = 0).

c) Le premier terme est toujours positif ou nul. Le deuxième terme est toujours positif (car c’est un carré) et vaut zéro seulement si x = 1. Donc l’expression est toujours positive ou nulle, et elle est égale à 4 en x = 1.

d) Le premier terme est toujours négatif ou nul. Le deuxième terme est toujours négatif ou nul. Donc l’expression est toujours négative, sauf si elle est nulle, c’est-à-dire si x = 0.

e) Le signe moins devant les parenthèses indique qu’on doit d’abord élever au carré puis changer le signe du résultat. Ainsi, l’expression est toujours négative ou nulle.

f) Le premier terme est toujours positif. Le deuxième terme est toujours positif ou nul (car c’est un carré de nombre réel). Donc l’expression est toujours positive ou nulle.

g) La première expression sous la racine est toujours positive ou nulle. Donc la racine carrée est réelle ou nulle. Puis on ajoute 3, qui est toujours positif. Donc l’expression est toujours positive ou nulle.

EXERCICE 4 :

a)

| x | –2 | 5 | x < –2 | –2 < x < 5 | x > 5 |
|——-|——–|——–|————-|————-|———–|
| A(x) | 0 | 0 | <0 | >0 | >0 |

b)

| x | -\infty | –3 | 4 |+  \infty|

|——-|————-|————-|————–|———–|
| A(x) | \le0 | \le0 | \le0 | \ge0 |

c)

| x | -\infty | –1 | 3 | +  \infty|
|——-|——————|—————–|—————|————|
| A(x) | \ge0 | n.d. | \ge0 | <0 |

EXERCICE 5 :

a)

| x | -\infty | 1 | +  \infty |
|———|—————|———|—————–|
| 5x – 1 | – | >0 | + |
| 1 – x | – | <0 | + |
| produit | + | <0 | – |

b)

| x | -\infty| -\frac{4}{3} |- \frac{3}{2} | +  \infty |
|———-|——————-|———————–|————————|————|
| 3x + 4 | – | >0 | >0 | + |
| 2x + 3 | – | <0 | >0 | + |
| produit | + | <0 | <0 | + |

c)

| x | -\infty | 0 | 2 | +\infty |
|———-|———–|——-|———-|————-|
| 3x | – | – | + | + |
| x – 2 | – | – | + | + |
| produit | – | – | + | + |

d)

| x | -\infty | -5 | 1 | 7 | +\infty |
|———-|——————-|————————-|———-|—————-|————–|
| 2x + 1 | – | – | + | + | + |
| –5 – x | – | – | – | + | + |
| x – 7 | – | – | – | – | – |
| produit | + | + | – | – | + |

e)

| x | -\infty | -2 | 4 | +\infty |
|———|———–|———|———-|————-|
| 4 – x | + | + | 0 | – |
| 2 + x | – | 0 | + | + |
| quotient | – | – | 0 | + |

f)

| x | -\infty | 0 | 1 | +\infty |
|———-|———-|———|———–|————–|
| x | – | – | + | + |
| x – 1 | – | – | + | + |
| produit | + | 0 | – | – |

Remarque : l’expression est indéfinie en x = 0 et en x = 1.

EXERCICE 6 :

a) (2x - 1)(2 + x) - (2x - 1)^2

On peut développer le carré au numérateur :
(2x - 1)(2 + x) - (2x - 1)(2x - 1)
On remarque que les deux termes ont un facteur commun de (2x – 1), on peut donc les factoriser :
(2x - 1)(2 + x - (2x - 1))
On simplifie :
(2x - 1)(3 - x)
Le produit de deux facteurs est positif si et seulement si les deux facteurs sont de même signe, ou si l’un des deux est nul.

– Le premier facteur (2x - 1) est négatif pour x < \frac{1}{2} et positif pour x > \frac{1}{2}.
– Le deuxième facteur (3 - x) est négatif pour x > 3 et positif pour x < 3.

On peut donc dresser le tableau de signe :

x < 1/2 1/2 < x < 3 x > 3
——– ———— —–
(2x – 1) + +
(3 – x) – +

Le produit est positif pour x < \frac{1}{2} et pour x > 3, et négatif pour \frac{1}{2} < x < 3.

b)x^2 - (2x + 1)^2

On peut factoriser :
x^2 - (2x + 1)^2 = (x - 2x - 1)(x + 2x + 1) = (-x - 1)(3x + 1)

Le produit de deux facteurs est positif si et seulement si les deux facteurs sont de même signe, ou si l’un des deux est nul.

– Le premier facteur (-x – 1) est négatif pour x > -1 et positif pour x < -1.
– Le deuxième facteur (3x + 1) est négatif pour x < -1/3 et positif pour x > -1/3.

On peut donc dresser le tableau de signe :

x < -1 -1 < x < -1/3 x > -1/3
——- ————– ———-
(-x – 1) + –
(3x + 1) – +

Le produit est positif pour x < -1/3 et pour x > -1, et négatif pour -1 < x < -1/3.

c) \frac{x}{x+4}-2

On met au même dénominateur :
\frac{x}{x+4} - 2 = \frac{x}{x+4} - \frac{2(x+4)}{x+4} = \frac{-8}{x+4}

Le dénominateur est toujours positif (car il représente une somme), le signe de l’expression dépend donc seulement du signe du numérateur :

– Le numérateur (-8) est négatif pour tout x.

On peut donc dresser le tableau de signe :

x < -4 x > -4
——— ——–
(-8) –

L’expression est négative pour tout x.

EXERCICE 7 :

1/ Déterminer une expression f(x) dont le tableau de signes est :

x – \infty –2 3 \infty
signe de f(x) + 0 0 +

2/ Déterminer une expression g(x) dont le tableau de signes est :

x \infty 1 4 +\infty
signe de g(x) + 0

 

EXERCICE 8 :

a) B(4,5) est négatif.

On ne peut pas répondre à cette question car le tableau de signe ne précise pas le signe de B(x) pour x dans l’intervalle (3, +\infty).

b) B(1) = 0

D’après le tableau de signe, on sait que B(1) < 0 pour x < 1 et B(1) > 0 pour x > 1. On ne peut donc pas conclure que B(1) = 0.

c) –2 et 3 sont les solutions de l’équation B(x) = 0.

D’après le tableau de signe, on a B(-2) = B(3) = 0. Donc oui, –2 et 3 sont bien les solutions de l’équation B(x) = 0.

d) B(0) > 0

D’après le tableau de signe, on a B(0) > 0. Donc l’affirmation est vraie.

e) Si x < 0 alors B(x) < 0.

D’après le tableau de signe, on a B(x) < 0 pour x < –2. Donc l’affirmation est vraie.

f) L’ensemble des solutions de B(x) ≤ 0 est ]- \infty; -2] \cup[3 ; +\infty[

D’après le tableau de signe, on a B(x) ≤ 0 pour x \in ]-\infty; -2] \cup [3; +\infty[. Donc l’affirmation est vraie.

g) Les nombres tels que B(x) > 0 sont les nombres vérifiant –2 ≤ x ≤ 3.

D’après le tableau de signe, on a B(x) > 0 pour x \in ]-2; 3[.

Donc l’affirmation est fausse. Les nombres tels que B(x) > 0 sont les nombres strictement compris entre –2 et 3.

EXERCICE 9 :

a) (2x – 5)(–x – 3) ≥ 0

On commence par trouver les valeurs de x pour lesquelles chaque facteur est nul :
2x – 5 = 0 ⇔ x = 5/2
–x – 3 = 0 ⇔ x = –3
Donc les valeurs sur lesquelles le produit est nul sont x = 5/2 et x = –3.

On peut ensuite dresser le tableau de signes :

\begin{array}{c|ccc|c}  2x-5  -x-3   (2x-5)(-x-3) \\ \hline x<-3  -  -  +  + \\ -3<x<5/2  -  +  -  + \\ x>5/2  +  +  +  + \end{array}

Ainsi, l’inéquation est vérifiée pour x ∈ ]–3;5/2]∪[5/2;+∞[.

b) (x – 4)(2x + 3) + (x – 4)(x – 7) ≤ 0

On factorise (x – 4) :
(x - 4)(2x + 3 + x - 7) \leq\, 0
(x – 4)(3x – 4) ≤ 0

On trouve les valeurs de x pour lesquelles chaque facteur est nul :
x – 4 = 0 ⇔ x = 4
3x – 4 = 0 ⇔ x = 4/3
Donc les valeurs sur lesquelles le produit est nul sont x = 4 et x = 4/3.

On peut ensuite dresser le tableau de signes :
\begin{array}{c|ccc|c}  x-4  3x-4   (x-4)(3x-4) \\ \hline x<4/3  -  -  +  + \\ 4/3<x<4  -  +  -  + \\ x>4  +  +  +  + \end{array}

Ainsi, l’inéquation est vérifiée pour x ∈ ]–∞;4/3]∪[4/3;4].

c) (2x – 5)(–x – 3) ≤ –15

On peut simplifier l’inéquation en utilisant la propriété distributive :
-2x^3 -9x^2 + 6x +20 \leq\, 0

On peut essayer de factoriser comme suit :
-2x^3 - 9x^2 + 6x +20 \leq\, 0
–(2x³ + 3x² – 2x – 20) ≤ 0
–(2x + 5)(x² – 2x – 4) ≤ 0
–(2x + 5)(x – (1 + √5))(x – (1 – √5)) ≤ 0

On trouve les valeurs de x pour lesquelles chaque facteur est nul :
2x + 5 = 0 ⇔ x = –5/2
x – (1 + √5) = 0 ⇔ x = 1 + √5
x – (1 – √5) = 0 ⇔ x = 1 – √5
Donc les valeurs sur lesquelles le produit est nul sont x = –5/2, x = 1 – √5 et x = 1 + √5.

On peut ensuite dresser le tableau de signes :
\begin{array}{c|ccccc|c}  -\infty  -5/2  1-\sqrt5  1+\sqrt5  +\infty  -(2x+5)(x-(1+\sqrt5))(x-(1-\sqrt5)) \\ \hline 2x+5  -  0  -  -  +  \\ x-(1+\sqrt5)  -  -  0  -  +  \\ x-(1-\sqrt5)  -  -  -  0  +  \\ x-(1+\sqrt5)  -  -  0  +  +  \\ x>x+\sqrt5  +  +  +  +  +  \\ x< -5/2  -  -  -  -  -  + \end{array}

Ainsi, l’inéquation est vérifiée pour x ∈ ]–∞;–5/2]∪[1 – √5;1 + √5].

d) (x + 1)² > (2x – 3)²

On développe chaque carré :
x^2 + 2x + 1 > 4x^2- 12x + 9
3x^2 - 14x - 8 < 0

On résout l’inéquation du second degré :
\Delta = (-14)^2 -4\times  3\times  (-8) = 220 > 0, donc il y a deux racines réelles distinctes :
x₁ = (14 – √220)/(2×3) ≈ –0,81
x₂ = (14 + √220)/(2×3) ≈ 2,81

On peut ensuite dresser le tableau de signes :
\begin{array}{c|ccc|c}  3x^2  -14x  -8  3x^2-14x-8 \\ \hline x<x_1  -  -  -  + \\ x_1<x<x_2  -  -  +  - \\ x>x_2  +  -  +  + \end{array}

Ainsi, l’inéquation est vérifiée pour x ∈ ]–∞;x₁[∪]x₂;+∞[.

e) \frac{3x-1}{2-x} \leq\, 0

On cherche les valeurs de x pour lesquelles le numérateur et le dénominateur s’annulent :
3x – 1 = 0 ⇔ x = 1/3
2 – x = 0 ⇔ x = 2
Donc les valeurs interdites sont x = 1/3 et x = 2.

On peut ensuite dresser le tableau de signes :
\begin{array}{c|ccc|c}  3x-1  2-x   \frac{3x-1}{2-x} \\ \hline x<1/3  -  +  -  + \\ 1/3<x<2  +  +  -  - \\ x>2  +  -  +  - \end{array}

Ainsi, l’inéquation est vérifiée pour x ∈ ]–∞;1/3[∪]2;+∞[.

f) \frac{4x-7}{3x+2}< 4

On multiplie des deux côtés par (3x + 2) :
4x - 7 < 4(3x + 2)
4x - 7 < 12x + 8
-8x < 15
x > -\frac{15}{8}

On peut ensuite dresser le tableau de signes :
\begin{array}{c|ccc|c}  4x-7  3x+2   \frac{4x-7}{3x+2} \\ \hline x<-15/8  -  -  +  + \\ x>-15/8  +  +  +  + \end{array}

Ainsi, l’inéquation est vérifiée pour x ∈ ]–∞;–15/8[∪]–15/8;+∞[.

g) (-x + 1)(6x- 5)(x + 3) + (-x + 1)(6x - 5)(x - 5) > 0

On factorise par (-x + 1)(6x- 5) :
(-x + 1)(6x - 5)(x + 3 + x - 5) > 0
(-x + 1)(6x - 5)(2x -2) > 0
-(x - 1)(3x - 5)(x - 1)^2 > 0

On trouve les valeurs de x pour lesquelles chaque facteur est nul :
x – 1 = 0 ⇔ x = 1
3x – 5 = 0 ⇔ x = 5/3
Donc les valeurs sur lesquelles le produit est nul sont x = 1 (double racine) et x = 5/3.

On peut ensuite dresser le tableau de signes :
\begin{array}{c|ccccccc|c}  -\infty  1  -\infty  5/3  1  +\infty  -(x-1)(3x-5)(x-1)^2 \\ \hline x-1  -  0  -  0  0  +  \\ 3x-5  -  -  -  0  +  +  \\ x-1  -  -  -  -  -  -  \\ -(x-1)(3x-5)(x-1)^2  -  0  +  0  -  +  \end{array}

Ainsi, l’inéquation est vérifiée pour x ∈ ]–∞;1[∪]5/3;+∞[.

EXERCICE 10 :

1/ a) Les courbes représentant f(x) = x² et g(x) = 4x – 3 sont :

[Graphique de f(x) = x² et g(x) = 4x – 3]

b) Pour tout x, on a f(x) ≥ g(x) si et seulement si x² ≥ 4x – 3, soit x² – 4x + 3 ≥ 0.

On peut factoriser :
x^2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1)
Ainsi, l’ensemble des solutions est x ∈ ]–∞;1]∪[3;+∞[.

2/ a) On développe :
(x – 1)(x – 3) = x² – 4x + 3

b) On résout l’inéquation f(x) ≥ g(x), soit x² – 4x + 3 ≥ 4x – 3, soit x^2 - 8x + 6 \geq\, 0.

On peut chercher les valeurs pour lesquelles le discriminant de cette inéquation est nul, c’est-à-dire :
\Delta = (-8)^2 - 4\times   1\times   6 = 40
x_1 = \frac{8 - \sqrt{40}}{2} = 4 -\sqrt{10} \approx 0,7639
x_2 = \frac{8 + \sqrt{40}}{2} = 4 + \sqrt{10} \approx 7,2361
(x - x_1)(x - x_2) = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = x^2 - 8x + 6.

Ainsi, l’ensemble des solutions est x \in]-\infty;x_1] \cup [x_2;+\infty[.

EXERCICE 11 :

exercices resolution graphique equations inequations 1 e1621090922106

D’après la courbe, on peut estimer les solutions suivantes :

a) f(x)=2 : Il y a une solution à environ x = 3,5.

b) f(x) = 0 : Il y a deux solutions, une à environ x = 1 et une autre à environ x = 6.

c) f(x) =- 1 : Il n’y a pas de solution, car la courbe ne coupe pas l’axe des ordonnées à y = -1.

d) f(x) = 1 : Il y a deux solutions, une à environ x = 2 et une autre à environ x = 5,5.

EXERCICE 12 :

exercices resolution graphique equations inequations 2 e1621090988982

D’après la courbe, on peut estimer les solutions suivantes :

a) g(x) = 2 : Il y a deux solutions, une à environ x = -3 et une autre à environ x = 4.

b) g(x) = -3 : Il y a une solution à environ x = -4.

c) g(x) = 4 : Il y a deux solutions, une à environ x = -2,5 et une autre à environ x = 3.

d) g(x) = -1 : Il y a une solution à environ x = 0,5.

EXERCICE 13 :

exercices resolution graphique equations inequations 3 e1621091163436

a) En cherchant l’intersection de la courbe avec l’axe des y égal à 1, on estime que l’équation k(x) = 1 a une solution d’environ x = 0.

b) En cherchant l’intersection de la courbe avec l’axe des y égal à 0, on estime que l’équation k(x) = 0 a une solution d’environ x = -2 et x = 3.

c) En cherchant les valeurs de x pour lesquelles la courbe est au-dessus de l’axe des y égal à -1, on estime que l’inéquation k(x) > -1 est vérifiée pour tout x dans l’intervalle [-3 ; 4].

d) En cherchant les valeurs de x pour lesquelles la courbe est en dessous de l’axe des y égal à 0, on estime que l’inéquation k(x) < 0 est vérifiée pour x dans l’intervalle [-3 ; -1] et [0 ; 2].

e) En cherchant les valeurs de x pour lesquelles la courbe est à une distance supérieure ou égale à 2 de l’axe des y égal à -2, on estime que l’inéquation k(x) ≥ -2 est vérifiée pour x dans l’intervalle [-3 ; 4].

f) En cherchant les valeurs de x pour lesquelles la courbe est à une distance supérieure ou égale à 2 de l’axe des y égal à 2, on estime que l’inéquation k(x) ≥ 2 n’a pas de solution dans l’intervalle [-3 ; 4].

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