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Corrigé des exercices sur le théorème de Pythagore en 4ème.

Le théorème de Pythagore en 4ème est à comprendre pour une bonne pratique. De plus, ce théorème de Pythagore reviendra souvent tout au long de l’année scolaire en 4ème .

Exercice 1 :

1) Dans chacun des cas suivants, calculer, si possible, la longueur BC.

Toutes les longueurs sont données en centimètres.

Les trangles ABC et ARC sont rectangles donc d’après la partie directe du théorème de Pythagore,

nous avons les égalités suivantes :

BC^2=AB^2+AC^2\\BC^2=15^2+8^2=225+64=289

donc BC=\sqrt{289}=17.

AC^2=AR^2+RC^2\\45^2=27^2+RC^2\\2025=729+RC^2\\RC^2=2025-729=1296

donc RC=\sqrt{1296}=36.

Pour le troisième triangle, il n’est pas rectangle donc on ne peut pas appliquer le théorème

de Pythagore et nous ne disposons pas suffisament de données pour résoudre ce problème.

Théorème de Pythagore.

2)       RST est un triangle rectangle en R tel que RS = 2 cm et RT = 1 cm. Calculer ST.

Le résultat en centimètres est-il un nombre entier ? Sinon, trouver un arrondi de ST au dixième de centimètre près.

Le triangle RST est rectangle en R donc d’après la partie directe du théorème de Pythagore,

nous avons l’égalité suivante :

ST^2=SR^2+RT^2\\ST^2=2^2+1^2=5

donc ST=\sqrt{5} cm.

Exercice 2 :

Qui a raison ?

Faux, cela dépend du nom du sommet de l’angle droit.

Théorème de Pythagore.

Exercice 3 : La surprise finale.

Théorème de Pythagore.

Le plafond est-il assez haut pour que Monsieur Bricoltou mette en place son meuble ?

La longueur la plus élevée est la diagonale du meuble.

Le meuble possède des angles droits donc on peut appliquer la partie directe du théorème

de Pythagore.

45 cm = 0,45 m.

La diagonale mesure \sqrt{2,1^2+0,45^2}\simeq,2,15 m.

Conclusion : le plafond n’est pas assez haut pour que Monsieur Bricoltou mette en place son meuble.

Exercice 4 :

Une chèvre C est attachée à un piquet P  planté au coin d’un pré carré de 15 m de côté.

Quelle doit être, approximativement, la longueur de la corde pour que la chèvre puisse brouter tout le pré?

La longueur la plus longue est celle de la diagonale.

Un carré possède des angles droits donc on peut appliquer la partie directe du théorème de Pythagore.

La longueur de la diagonale vaut \sqrt{15^2+15^2}=\sqrt{500}\simeq,22,4\,m.

Exercice 5 : le parallélépipède rectangle.

Théorème de Pythagore.

Combien mesure à 0,01 près, la diagonale du parallélépipède rectangle?

Dans le triangle ABC rectangle en B, d’après la partie directe du théorème de Pythagore,

nous avons l’égalité suivante :

AC^2=AB^2+BC^2

AC^2=12^2+5^2=169

AC=\sqrt{169}=13

Dans le triangle ACD, rectangle en C, d’après la partie directe du théorème de Pythagore, nous avons l’égalité suivante :

AD^2=DC^2+CA^2

AD^2=13^2+7^2=218

donc AD=\sqrt{218}\simeq,14,77

Exercice 6 :

Monsieur Crésus possède un terrain VAGUE qu’il veut clôturer.

Théorème de Pythagore.

Calculer le périmètre du terrain VAGUE.

VA=150-70=80\,m

EU=200-30-60=110\,m

Il nous reste à calculer les longueurs VE et UG.

Dans le triangle VHE rectangle en H , d’après la partie directe du théorème de Pythagore, nous avons l’égalité suivante :

VE^2=VH^2+HE^2\\VE^2=70^2+30^2=5800  donc VE=\sqrt{5800}\simeq,76,16\,m.

Dans le triangle UKG rectangle enK , d’après la partie directe du théorème de Pythagore, nous avons l’égalité suivante :

UG^2=UK^2+KG^2\\UG^2=60^2+150^2=26\,100

donc UG=\sqrt{26\,100}\simeq,161,55\,m

Périmètre du terrain VAGUE :

P_{vague}=AG+GU+UE+EV+VA

P_{vague},\simeq,200+161,55+110+76,16+80\simeq,627,71\,m

Exercice 7 :

Théorème de Pythagore.

Quelle distance sépare les deux satellites E et S, sachant que l’angle \widehat{TES} est droit et qu’un signal radio met \frac{1}{60} de seconde de S à T et \frac{1}{100} de seconde de E à T ?

(Vitesse du signal radio : 300 000 km/s.)

Nous sommes dans une situation de proportionnalité :

300\,000\,kmrightarrow,1s\\STrightarrow,\frac{1}{60}s   donc ST=300000\times  \,\frac{1}{60}=5\,000\,km.

300\,000\,kmrightarrow,1s\\ETrightarrow,\frac{1}{100}s donc ET=300\,000\times  \,\frac{1}{100}=3\,000\,km.

Le triangle TES est rectangle en S donc d’après la partie directe du théorème de Pythagore,

nous avons l’égalité suivante :

TS^2=TE^2+ES^2

5000^2=3000^2+ES^2

ES^2=5000^2-3000^2=16\,000\,000

ES=\sqrt{16000000}=4\,000\,km

Exercice 8 :

Quelle est la largeur de l’autoroute ?

Théorème de Pythagore.

(Non, ce n’est pas 51 mètres !)

Le triangle situé en bas à droite est un triangle rectangle donc nous pouvons appliquer

la partie directe du théorème de Pythagore :

La longueur de l’autoroute vaut :

\sqrt{36^2+77^2}=\sqrt{7225}=85\,m

200-113-36= 51 m.

L’aire du trapèze est : A_{trapeze}=\frac{(B+b)\times  \,h}{2}=\frac{((200-51)+113)\times  \,77}{2}=10\,087\,m^2

L’aire du triangle rectangle est : A_{triangle-rectangle}=\frac{36\times  \,77}{2}=1386\,m^2

L’aire de l’autoroute correspond à l’aire du grand rectangle privée de l’aire du trapèze et

du triangle rectangle.

A_{autoroute}=200\times  \,77-10087-1386=3927\,m^2

Or, l’autoroute est un parallélogramme dont l’aire est base x largeur de l’autoroute.

Donc 85\times  \,L=3927 ainsi L=\frac{3927}{85}=46,2\,m.

Conclusion : la largeur de l’autoroute est de 46,2 mètres.

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