Corrigé des exercices sur les ensembles de nombres en 2de.

EXERCICE 1 :

Voici la correspondance entre les nombres de la première ligne et les ensembles indiqués dans la première colonne :

$\frac{(-2)^8}{32} : \mathbb{N}$
$0,25-\frac{45}{4} : \mathbb{Q}$
$\frac{54}{15} : \mathbb{Q}$
$\sqrt{68}-\sqrt{17} : \mathbb{R}$
$\frac{\pi}{5} : \mathbb{R}$
$-\frac{5}{7} : \mathbb{Q}$

Explication :

– Le nombre $\frac{(-2)^8}{32}$ est un nombre rationnel positif car il peut être écrit sous la forme d’un fraction irréductible. Il appartient donc à l’ensemble des nombres naturels ( $\mathbb{N}$ ).

– Le nombre $0,25-\frac{45}{4}$ est également un nombre rationnel car il peut être écrit sous la forme d’une fraction. Il appartient donc à l’ensemble des nombres rationnels ( $\mathbb{Q}$ ).

– Le nombre $\frac{54}{15}$ est un nombre rationnel car il peut être écrit sous la forme d’une fraction irréductible. Il appartient donc à l’ensemble des nombres rationnels ( $\mathbb{Q}$ ).

– Le nombre $\sqrt{68}-\sqrt{17}$ est un nombre irrationnel car il contient une racine carrée qui ne peut pas être exprimée sous la forme d’une fraction. Il appartient donc à l’ensemble des nombres réels ( $\mathbb{R}$ ).

– Le nombre $\frac{\pi}{5}$ est un nombre irrationnel car il est une approximation de la constante $\pi$ , qui est un nombre irrationnel. Il appartient donc à l’ensemble des nombres réels ( $\mathbb{R}$ ).

– Le nombre $-\frac{5}{7}$ est un nombre rationnel négatif car il peut être écrit sous la forme d’une fraction irréductible. Il appartient donc à l’ensemble des nombres rationnels ( $\mathbb{Q}$ ).

EXERCICE 2 :

a) Pour mettre a sous forme irréductible, nous devons simplifier les fractions présentes dans l’expression.

$a = \frac{2+\frac{1}{5}}{7-\frac{3}{5}}$

Pour simplifier la fraction $2 + \frac{1}{5}$ , nous devons trouver un dénominateur commun. Dans ce cas, le dénominateur commun est 5. Ainsi, nous obtenons :

$2 + \frac{1}{5} = \frac{10}{5} + \frac{1}{5} = \frac{11}{5}$

De même, pour simplifier la fraction $7 - \frac{3}{5}$ , nous trouvons un dénominateur commun de 5 :

$7 - \frac{3}{5} = \frac{35}{5} - \frac{3}{5} = \frac{32}{5}$

Maintenant, nous pouvons réécrire l’expression initiale en utilisant ces simplifications :

$a = \frac{\frac{11}{5}}{\frac{32}{5}} = \frac{11}{5} \times \frac{5}{32} = \frac{11}{32}$

Donc, le nombre a peut être mis sous forme irréductible comme $\frac{11}{32}$ .

b) Pour mettre b sous forme irréductible, nous devons simplifier la fraction $\frac{8^{-3}}{6^{-4}}$ .

Nous pouvons simplifier les termes en utilisant les propriétés des exposants :

$\frac{8^{-3}}{6^{-4}} = \frac{1}{8^3} \times \frac{6^4}{1}$

En utilisant les valeurs des exposants, nous obtenons :

$\frac{1}{8^3} \times \frac{6^4}{1} = \frac{1}{512} \times 1296 = \frac{1296}{512}$

Maintenant, nous pouvons simplifier cette fraction en trouvant un facteur commun :

$\frac{1296}{512} = \frac{2^4 \times 3^4}{2^9} = \frac{3^4}{2^5} = \frac{81}{32}$

Donc, le nombre b peut être mis sous forme irréductible comme $\frac{81}{32}$ .

c) Pour mettre c sous forme irréductible, nous devons simplifier la fraction $\frac{2^4 \times 5^9}{(2^3)^2 \times 10^3}$ .

En utilisant les propriétés des exposants, nous pouvons simplifier cette fraction :

$\frac{2^4 \times 5^9}{(2^3)^2 \times 10^3} = \frac{2^4 \times 5^9}{2^6 \times 10^3}$

Nous pouvons simplifier davantage en utilisant les propriétés des exposants :

$\frac{2^4 \times 5^9}{2^6 \times 10^3} = \frac{2^{4-6} \times 5^9}{10^3} = \frac{2^{-2} \times 5^9}{10^3}$

Maintenant, nous pouvons simplifier cette fraction en utilisant les valeurs des exposants :

$\frac{2^{-2} \times 5^9}{10^3} = \frac{1}{2^2} \times \frac{5^9}{10^3} = \frac{1}{4} \times \frac{1953125}{1000}$

En simplifiant davantage, nous obtenons :

$\frac{1}{4} \times \frac{1953125}{1000} = \frac{1953125}{4000} = \frac{1953125}{4 \times 1000} = \frac{1953125}{4000}$

Maintenant, nous pouvons simplifier cette fraction en trouvant un facteur commun :

$\frac{1953125}{4000} = \frac{5^6}{2^5} = \frac{15625}{32}$

Donc, le nombre c peut être mis sous forme irréductible comme $\frac{15625}{32}$ .

EXERCICE 3 :

a) Pour mettre le nombre $a=\frac{3}{25}\times 10^4$ sous la forme x \times 10^p, nous devons trouver une valeur de x entre 1 et 10 (non inclus) et une valeur entière p.

Tout d’abord, nous pouvons simplifier la fraction \frac{3}{25} en multipliant le numérateur et le dénominateur par 4 pour obtenir des valeurs entières :

$\frac{3}{25} \times 10^4 = \frac{3 \times 4}{25 \times 4} \times 10^4 = \frac{12}{100} \times 10^4$

En simplifiant davantage, nous obtenons :

$\frac{12}{100} \times 10^4 = \frac{12}{100} \times 10000 = 12 \times 10^2$

Maintenant, nous avons (qui est entre 1 et 10) et . Donc, le nombre a peut être écrit sous la forme $x \times 10^p$ comme $12 \times 10^2$ .

b) Pour mettre le nombre $b=\frac{1,495}{0,125}\times 10^{-3}$ sous la forme $x \times 10^p$ , nous devons également trouver une valeur de x entre 1 et 10 (non inclus) et une valeur entière négative p.

Nous pouvons simplifier la fraction $\frac{1,495}{0,125}$ en multipliant le numérateur et le dénominateur par 1000 pour obtenir des valeurs entières :

$\frac{1,495}{0,125} \times 10^{-3} = \frac{1,495 \times 1000}{0,125 \times 1000} \times 10^{-3} = \frac{1495}{125} \times 10^{-3}$

En simplifiant davantage, nous obtenons :

$\frac{1,495}{0,125} \times 10^{-3} = \frac{1,495 \times 1000}{0,125 \times 1000} \times 10^{-3} = \frac{1495}{125} \times 10^{-3}$

Maintenant, nous pouvons simplifier cette fraction en trouvant une valeur entière pour :

$\frac{1495}{125000} \times 10^{-3} = \frac{1}{83} \times 10^{-3}$

Nous avons $x = \frac{1}{83}$ (qui est entre 1 et 10) et . Donc, le nombre peut être écrit sous la forme $x \times 10^p$ comme $\frac{1}{83} \times 10^{-3}$ .

EXERCICE 4 :

Pour calculer et simplifier l’expression $a=\frac{3\sqrt{5}+\sqrt{20}}{\sqrt{45}\,(\,2-\frac{5}{6}+\frac{4}{3}\,\,)}$ , nous allons suivre les étapes suivantes :

1. Simplifier les racines carrées :

$\sqrt{5}$ ne peut pas être simplifié car il n’y a pas de facteur carré parfait dans 5.
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$

2. Simplifier l’expression dans le dénominateur :
$2 - \frac{5}{6} + \frac{4}{3} = \frac{12}{6} - \frac{5}{6} + \frac{8}{6} = \frac{15}{6}$

Maintenant, nous pouvons réécrire l’expression initiale en utilisant ces simplifications :

$a = \frac{3\sqrt{5} + 2\sqrt{5}}{\sqrt{45} \times \frac{15}{6}} = \frac{5\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{9} \times \sqrt{5}}{2}} = \frac{5\sqrt{5}}{\frac{3 \times \sqrt{5}}{2}} = \frac{5\sqrt{5}}{\frac{3}{2}\sqrt{5}}$

En simplifiant davantage, nous obtenons :

$a = \frac{5\sqrt{5} \times 2}{3\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}$

Maintenant, nous pouvons simplifier cette expression en simplifiant les racines carrées de 5 :

$a = \frac{10\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} = \frac{10}{3}$

Donc, l’expression a se simplifie à $\frac{10}{3}$ .

EXERCICE 5 :

a) Pour résoudre cette équation, commençons par simplifier et réorganiser les termes :

Maintenant, développons les expressions entre parenthèses et simplifions les termes similaires :

Regroupons les termes similaires du côté gauche de l’équation :

Maintenant, déplaçons tous les termes avec des x d’un côté de l’équation et les constantes de l’autre côté :

Maintenant, isolons x en divisant des deux côtés par 19 :

$x = \frac{1}{19}$

Donc, la solution de l’équation a) est $x = \frac{1}{19}$ .

b) Pour résoudre cette équation quadratique, commençons par réorganiser les termes :

Maintenant, divisons toute l’équation par 5 pour simplifier :

Pour résoudre cette équation quadratique, nous pouvons utiliser la formule quadratique :

$x = \frac{-b + \sqrt{ b^2-4ac }}{2a}$ ou $x = \frac{-b - \sqrt{ b^2-4ac }}{2a}$

Dans cette équation, $a = 1, b = \frac{6}{5},c = -\frac{6}{5}$ . Plaçons ces valeurs dans la formule :

$x = \frac{-\frac{6}{5} + \sqrt{(\frac{6}{5})^2- 4\times 1 \times (-\frac{6}{5})} }{2\times 1}$ ou $x = \frac{-\frac{6}{5} - \sqrt{(\frac{6}{5})^2- 4\times 1 \times (-\frac{6}{5})} }{2\times 1}$

$x = \frac{-\frac{6}{5} + \sqrt{\frac{36}{25}+ \frac{120}{25}} }{2}$ ou $x = \frac{-\frac{6}{5} - \sqrt{\frac{36}{25}+ \frac{120}{25}} }{2}$

$x = \frac{-\frac{6}{5} + \sqrt{\frac{156}{25}} }{2}$ ou $x = \frac{-\frac{6}{5} - \sqrt{\frac{156}{25}} }{2}$

$x = \frac{-\frac{6}{5} + \sqrt{\frac{4\times 39}{25}} }{2}$ ou $x = \frac{-\frac{6}{5} - \sqrt{\frac{4\times 39}{25}} }{2}$

$x = \frac{-\frac{6}{5} + \frac{2}{5}\sqrt{39} }{2}$ ou $x = \frac{-\frac{6}{5} - \frac{2}{5}\sqrt{39} }{2}$

Maintenant, simplifions davantage en divisant tous les termes par $\frac{2}{5}$ (ce qui est la même chose que de multiplier par $\frac{5}{2}$ ) :

$x = \frac{-3+\sqrt{39} }{2}$ ou $x = \frac{-3-\sqrt{39} }{2}$

Donc, les solutions de l’équation b) sont $x = \frac{-3+\sqrt{39} }{2}$ et $x = \frac{-3-\sqrt{39} }{2}$ .

EXERCICE 6 :

Pour décomposer 204 et 595 en produits de facteurs premiers, vous pouvez utiliser la méthode de la factorisation. Voici comment vous pouvez le faire :

Décomposition en facteurs premiers de 204 : $204 = 2 \times 102$ (204 est divisible par 2) $102 = 2 \times 51$ (102 est également divisible par 2) $51 = 3 \times 17$ (51 est divisible par 3 et 17 est un nombre premier)

Donc, la décomposition en facteurs premiers de 204 est : $2^2 \times 3 \times 17$ .

Décomposition en facteurs premiers de 595 :

$595 = 5 \times 119$ (595 est divisible par 5)

$119 = 7 \times 17$ (119 est divisible par 7 et 17 est un nombre premier)

Donc, la décomposition en facteurs premiers de 595 est : $5\times 7 \times 17$ .

Pour simplifier la fraction $\frac{204}{595}$ , nous pouvons simplifier en utilisant les facteurs premiers trouvés précédemment.

$204 = 2^2 \times 3 \times 17$ et $595 = 5 \times 7 \times 17$

Maintenant, nous pouvons annuler les facteurs communs dans le numérateur et le dénominateur :

$\frac{204}{595} =\frac{2^2 \times 3 \times 17}{5 \times 7 \times 17}$

Les facteurs premiers « 17 » se simplifient :

$\frac{204}{595} = \frac{2^2 \times 3}{5 \times 7}$

Maintenant, multiplions les facteurs restants dans le numérateur et le dénominateur :

$\frac{204}{595} = \frac{4 \times 3}{5 \times 7}$

204/595 = 12/35

Donc, la fraction $\frac{204}{595}$ simplifiée est $\frac{12}{35}$ .

a) $12^{-5} = \frac{1}{12^{5}}$

b) $7^{-5} = \frac{1}{7^5}$

c) $8^{-6} = \frac{1}{8^{6}}$

d) $\frac{1 }{9^{23}} = 9^{-23}$

EXERCICE 7 :

Pour compléter les expressions :

a) $12^{-5} = \frac{1 }{12^{5}}$

b) $7^{-5} = \frac{1 }{7^5}$

c) $8^{-6} = \frac{1}{8^{6}}$

d) $\frac{1}{9^{23}} = 9^{-23}$

EXERCICE 8 :

a) $\frac{3^8}{3^{-4}}= 3^{8-(-4)} = 3^{12}$

b) $\frac{6^5}{3^5} = (\frac{6}{3})^5 = 2^5$

c) $\frac{4^6}{4^2}= 4^{6-2} = 4^4$
d) $\frac{(-4.5)^4}{3^4} = (-\frac{4,5}{3})^4 = (-1,5)^4=1,5^4$
e) $\frac{9^{-3}}{(-2,5)^-3} = (\frac{9}{-2,5})^{-3} = (-3,6)^{-3}=-3,6^{-3}$

f) $\frac{3.2^{-5}}{3.2^{-2}} = 3,2^{-5-(-2)} = 3,2^{-3}$

EXERCICE 9 :

a) Pour effectuer cette soustraction, nous devons trouver un dénominateur commun pour les fractions. Le dénominateur commun de 75 et 30 est 150.

Donc, nous avons :

$\frac{42}{75}-(-\frac{22}{30}) = \frac{42 \cdot 2}{75 \cdot 2} - \frac{22 \cdot 5}{30 \cdot 5} = \frac{84}{150} - \frac{110}{150}$

Maintenant, nous pouvons soustraire les deux fractions :

$\frac{84}{150} - \frac{110}{150} = \frac{84 - 110}{150} = \frac{-26}{150}$

Pour simplifier cette fraction, nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, qui est 2 :

$\frac{-26}{150} = \frac{-13}{75}$

Donc, le résultat de l’opération est $-\frac{13}{75}$ .

b) Pour effectuer cette addition, nous devons ajouter les deux fractions. Les dénominateurs sont déjà les mêmes, donc nous pouvons simplement ajouter les numérateurs :

$\frac{85}{4}+\frac{25}{-4} = \frac{85 + 25}{4} = \frac{110}{4}$

Pour simplifier cette fraction, nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, qui est 2 :

$\frac{110}{4} = \frac{55}{2}$

Donc, le résultat de l’opération est $\frac{55}{2}$ .

c) Pour effectuer cette soustraction, nous devons trouver un dénominateur commun pour les fractions. Le dénominateur commun de -25 et 25 est 25.

Donc, nous avons :

$-\frac{1}{25}-8 = -\frac{1}{25} - \frac{8 \times 25}{25} = -\frac{1}{25} - \frac{200}{25}$

Maintenant, nous pouvons soustraire les deux fractions :

$-\frac{1}{25} - \frac{200}{25} = -\frac{1 - 200}{25} = -\frac{-199}{25}$

Pour simplifier cette fraction, nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, qui est 1 :

$-\frac{-199}{25} = \frac{199}{25}$

Donc, le résultat de l’opération est $\frac{199}{25}$ .

d) Pour effectuer cette addition, nous devons trouver un dénominateur commun pour les fractions. Le dénominateur commun de 27 et 108 est 108.

Donc, nous avons :

$-\frac{14}{27}+\frac{-5}{108} = -\frac{14 \times 4}{27 \times 4} + \frac{-5}{108} = -\frac{56}{108} + \frac{-5}{108}$

Maintenant, nous pouvons ajouter les deux fractions :

$-\frac{56}{108} + \frac{-5}{108} = \frac{-56 - 5}{108} = \frac{-61}{108}$

Pour simplifier cette fraction, nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, qui est 1 :

$\frac{-61}{108} = \frac{-61}{108}$

Donc, le résultat de l’opération est $-\frac{61}{108}$ .

EXERCICE 10 :
ÉTAPE 1:

1. Pour simplifier les expressions et obtenir la racine carrée d’une fraction irréductible, nous devons simplifier séparément les racines carrées du numérateur et du dénominateur.

2. Nous pouvons simplifier les racines carrées en trouvant des facteurs carrés parfaits.

3. Simplifions chaque expression étape par étape.

a) $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{9}}$

– La racine carrée de 12 peut être simplifiée comme suit :

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

– La racine carrée de 9 est 3.

– L’expression devient donc $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

b) $\frac{\sqrt{147}}{\sqrt{75}}$

– La racine carrée de 147 peut être simplifiée comme suit :

$\sqrt{147} = \sqrt{49 \times 3} = \sqrt{49} \times \sqrt{3} = 7\sqrt{3}$

– La racine carrée de 75 peut être simplifiée comme suit :

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$

– L’expression devient donc $\frac{7\sqrt{3}}{5\sqrt{3}}$

– Les racines carrées de 3 s’annulent, nous laissant $\frac{7}{5}$

c) $\frac{8\sqrt{5}}{3\sqrt{20}}$

– La racine carrée de 5 est déjà sous sa forme la plus simple.

– La racine carrée de 20 peut être simplifiée comme suit :

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4} \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

– Par conséquent, l’expression devient $\frac{8\sqrt{5}}{3 \times 2\sqrt{5}}$

– Les racines carrées de 5 s’annulent, nous laissant $\frac{8}{3 \times 2}$

– En simplifiant encore, on obtient $\frac{4}{3}$

d) $\sqrt{\frac{28}{42}}\times \,\frac{\sqrt{30}}{\sqrt {45}}$

– La racine carrée de \frac{28}{42} peut être simplifiée comme suit :

$\sqrt{\frac{28}{42}} = \frac{\sqrt{4 \times 7}}{\sqrt{6 \times 7 }} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$

– La racine carrée de 30 est déjà sous sa forme la plus simple.

– La racine carrée de 45 peut être simplifiée comme suit :

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{9} \times \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

ÉTAPE 2:

a) $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

b) $\frac{7}{5}$

c) $\frac{4}{3}$

d) $\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{30}}{3\sqrt{5}}$

Réponse finale:

$a)\frac{2\sqrt{3}}{3} \\b) \frac{7}{5} \\c) \frac{4}{3} \\ d) \frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{30}}{3\sqrt{5}}$

EXERCICE 11 :

ÉTAPE 1 :

1. Le nombre de bouquets doit être un diviseur commun de 30 et 24 car chaque bouquet doit contenir le même nombre de tulipes et le même nombre de muscaris. Le nombre de bouquets ne peut excéder le nombre de fleurs disponibles pour chaque type.

2. Pour déterminer les diviseurs de 30 et 24, nous pouvons lister tous les nombres qui se divisent uniformément en chaque nombre.

diviseurs de 30=

Diviseurs :
1 | 2 | 3 | 5 | 6 | 10 | 15 | 30 (8 diviseurs)

ÉTAPE 2 :

1. Les diviseurs de 30 sont 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30.

diviseurs de 24=

Diviseurs :
1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 12 | 24 (8 diviseurs)

ÉTAPE 3 :

1. Les diviseurs de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24.

pgcd(30 24)=

Résultat : 6

ÉTAPE 4:

1. Le plus grand diviseur commun (PGCD) de 30 et 24 est 6.

2. Le nombre de bouquets qu’il peut réaliser au maximum est égal au PGCD, qui est de 6.

3. La composition de chaque bouquet serait de 5 tulipes et 4 muscaris.

Réponse finale : Il peut réaliser un maximum de 6 bouquets, chaque bouquet contenant 5 tulipes et 4 muscaris.