Corrigé des exercices sur les statistiques en 2de.

EXERCICE 1 :
1. Pour calculer la nouvelle moyenne m1 après le cinquième contrôle, on utilise la formule de la moyenne pondérée :

$m_1 = \frac{ 4m + 1 \times 13}{4+1}$
$m_1 = \frac{4 \times 11 + 13}{5}$
m1 = 11,4

Donc la nouvelle moyenne m1 est de 11,4.

2. Pour connaître la sixième note, on utilise à nouveau la formule de la moyenne pondérée, mais cette fois avec m2 = 12 :

$m_2 = \frac{ 5\times m_1 + 1 \times x }{5+1}$
$12 = \frac{5 \times 11,4 + x}{6}$
$12 \times 6 = 5 \times 11,4 + x$
x = 14,4

Donc la sixième note est de 14,4.

3. Pour connaître la moyenne des 10 contrôles des deux trimestres, on utilise la même formule, mais avec un coefficient total de 10 :

$m = \frac{4 \times 11,5 + 5 \times 11 + 1 \times 14,4}{4+5+1}$
m = 11,54

Donc la moyenne des 10 contrôles est de 11,54.

4. Si on augmente chaque note des quatre contrôles du premier trimestre de 1, on ajoute un total de 4 points aux notes du premier trimestre. Pour connaître l’impact sur la moyenne des contrôles des deux trimestres, on utilise encore la formule de la moyenne pondérée :

$m' = \frac{(4 \times (11,5 + 1) + 5 \times 11 + 1 \times 14,4)}{4+5+1} = 11,73$

Donc la moyenne des contrôles des deux trimestres augmente de 0,19 points.

EXERCICE 2 :

1. Pour calculer la moyenne m de la série, il suffit de faire la somme de tous les résultats et de diviser par le nombre d’individus :

$m = \frac{4,15 + 4,48 + 5,24 + 4,8 + 4,95 + 4,05 + 4,3 + 4,7 + 5,51 + 4,58 + 4,12 + 5,7 + 4,85 + 5,05 + 4,65 + 4,7 + 4,28}{17}$

m ≈ 4,79 litres

Donc la moyenne de la série est de 4,79 litres.

2. Pour trouver la médiane, on peut classer les résultats par ordre croissant :

4,05 – 4,12 – 4,15 – 4,28 – 4,3 – 4,48 – 4,58 – 4,65 – 4,7 – 4,7 – 4,8 – 4,85 – 4,95 – 5,05 – 5,24 – 5,51 – 5,7

Il y a 17 résultats, donc la valeur médiane est la moyenne des deux valeurs centrales lorsque la série est ordonnée. Ici, les deux valeurs centrales sont 4,8 et 4,85. Donc la médiane est :

$\frac{ m\times 4,8 + m\times 4,85 }{2}$

$\frac{ 8 + 9}{2}$

8,5

Donc la médiane de la série est de 4,85 litres.

3. Pour regrouper les valeurs par classes, on peut utiliser des intervalles de 0,5 litres. Le tableau de fréquence devrait ressembler à cela :

capacité vitale (en litres)
[4 ; 4,5[

[4,5 ; 5[

[5 ; 5,5[

[5,5 ; 6[

effectifs 6 7 3 1
effectifs cumulés croissants 6 13 16 17

4a. Pour calculer la moyenne m’ à partir de la répartition par classes, on utilise la formule :

$m' = \frac{\sum fi \times xi }{\sum fi}$

où est l’effectif de chaque classe et xi est la valeur médiane de chaque classe. La valeur médiane de chaque classe est simplement le milieu de l’intervalle de classe.

Par exemple, pour la première classe , la valeur médiane est :

$\frac{4 + 4,5 }{2} = 4,25$

En appliquant la formule avec toutes les classes, on a :

$m' = \frac{ 6 \times 4,25 + 7 \times 4,75 + 3 \times 5,25 + 1 \times 5,75 }{17}$

m’ ≈ 4,78 litres

Donc la moyenne à partir de la répartition par classes est de 4,78 litres.

4b. Pour tracer le polygone des effectifs cumulés, on reporte les valeurs des effectifs cumulés croissants sur un graphique. En reliant ces points, on obtient le polygone des effectifs cumulés. Voici le résultat :

« `
| x
7 + x x
| x
6 + x
| x
5 + x x
| x
4 + x x x
| x
3 +
|
|__|__|__|__|__|__|__
4 4,5 5 5,5 6
« `

La médiane correspond au point où la courbe des effectifs cumulés croisent l’axe des abscisses à la valeur 8,5. En faisant une lecture graphique, on peut estimer la médiane à 4,85 litres, ce qui correspond à la valeur trouvée précédemment.

EXERCICE 3 :

1. La population étudiée est les 100 élèves d’un lycée. La variable étudiée est la distance entre le domicile et le lycée. Sa nature est une variable continue.

« `
| x
30 + x
| x x
25 + x x x
| x x x x
20 + x x x x x
| x x x x x x x x
15 + x x x x x x x x x x
| x x x x x x x x x x x
10 + x x x x x x x x x x
| x x x x x x x x x
| x x x x x x x
5 + x x x x
| x x
| x
|
|_________________________
[0 ; 2[ [2 ; 6[ [6 ; 12[ [12 ; 17[
« `

3. Pour déterminer la distance moyenne parcourue par un élève, on peut utiliser la formule :

$m = \frac{\sum fi \times xi }{\sum fi}$

où fi est l’effectif de chaque classe et xi est la valeur médiane de chaque classe. La valeur médiane de chaque classe est simplement le milieu de l’intervalle de classe. Par exemple, pour la première classe [0 ; 2[, la valeur médiane est :

0 + 2 / 2 = 1

En appliquant la formule avec toutes les classes, on a :

$m = \frac{ 22 \times 1 + 28 \times 4 + 30 \times 9 + 20 \times 14.5 }{100}$

m ≈ 7,41 km

Donc la distance moyenne parcourue par un élève est de 7,41 km.

4. Faux. On peut estimer la proportion d’élèves qui parcourent moins de 12 km en calculant la fréquence cumulée croissante de la quatrième classe :

$\frac{ 22+28+30+20}{100} = 1$

Donc tous les élèves ont une distance inférieure à 17 km. On ne peut donc pas affirmer que 80% des élèves parcourent moins de 12 km.

5. Puisque le 50ème élève parcourt 5,8 km et le 51ème élève parcourt 6,4 km, la distance médiane est la moyenne de ces deux valeurs, soit :

$\frac{5,8 + 6,4 }{2} = 6,1$

Donc la distance médiane est de 6,1 km. Cela correspond à la valeur centrale de la série lorsque les distances sont ordonnées par ordre croissant. Ici, on pourrait également l’obtenir directement en utilisant les effectifs cumulés croissants et la formule de la médiane, mais la méthode de l’énoncé est tout à fait valide.