Corrigé des exercices sur la dérivée d’une fonction en 1ère.

EXERCICE 1 :

a) La fonction f est définie sur l’ensemble des nombres réels, donc elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ .

Sa dérivée est .

b) La fonction g est définie sur l’ensemble des nombres réels non nuls, donc elle est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ . Sa dérivée est $g'(x) = -\frac{1}{x^2}$ .

c) La fonction h est définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ , donc elle est dérivable sur cet intervalle.

Sa dérivée est $h'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}$ .

d) La fonction j est définie sur $\mathbb{R} - \{-\frac{2}{9} \}$ , donc elle est dérivable sur cet ensemble. Sa dérivée est $j'(x) = \frac{25}{(9x+2)^2}$ .

EXERCICE 2 :

La fonction g est définie sur l’ensemble des nombres réels, donc elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ .

Sa dérivée est $g'(x) = 5(-9x+1)^4 \times (-9)$ .

Simplifiée, on obtient .

EXERCICE 3 :

Le taux de variation de f entre 2 et 5 est donné par la formule $TV = \frac{f(5) - f(2)}{5 - 2}$ .

D’après le graphique, on a et.

Donc, le taux de variation de f entre 2 et 5 est $TV = \frac{7-1}{5-2} = 2$ .

EXERCICE 4 :

La droite passant par et a pour coefficient directeur $m = \frac{6-1}{1-(-2)} = \frac{5}{3}$ . Comme la droite est tangente à la courbe en A, on a $f'(-2) = m = \frac{5}{3}$ .

EXERCICE 5 :

1. On a $f(x) - f(9) = \sqrt{x}-3 - (\sqrt{9}-3) = \sqrt{x} - 6$ et $f(9+h) - f(9) = \sqrt{9+h} - 3 - (\sqrt{9}-3) = \sqrt{9+h} - 6$ .

En utilisant l’identité remarquable , on peut écrire :

$f(9+h) - f(9) = (\sqrt{9+h} + 3)(\sqrt{9+h}-3) = 9 + h - 9 = h$

Le taux de variation de f entre 9 et est donc $TV = \frac{f(9+h) - f(9)}{h} = \frac{1}{\sqrt{9+h} + 3}$ .

2. Comme la limite de cette expression quand h tend vers 0 est finie, la fonction f est dérivable en 9 et sa dérivée est $f'(9) = \frac{1}{\sqrt{9} + 3} = \frac{1}{6}$ .

EXERCICE 6 :

On a g(3) = 6 (coordonnée y du point B).

Comme la tangente en A a pour coefficient directeur $-\frac{1}{g'(3)}$ , on peut écrire : $-\frac{1}{g'(3)} = \frac{6-1}{3-(-2)} = \frac{5}{5} = 1$ .

Donc, g'(3) = -1.

EXERCICE 7 :

a) On peut écrire $f(x) = \frac{1}{x} + x = u(x) + v(x)$ avec $u(x) = \frac{1}{x}$ et .

Les fonctions u et v sont dérivables sur $\mathbb{R}^*$ et sur $\mathbb{R}$ , respectivement.

La fonction somme est dérivable sur $\mathbb{R}^* \ {-0}$ et sa dérivée est $(u+v)'(x) = u'(x) + v'(x) = -\frac{1}{x^2} + 1$ .

b) On peut écrire $g(x) = -5 + \frac{1}{x^2} = u(x) + v(x)$ avec et $v(x) = \frac{1}{x^2}$ .

Les fonctions u et v sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{R}^*$ , respectivement.

La fonction somme est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ et sa dérivée est $(u+v)'(x) = u'(x) + v'(x) = 0 - \frac{2}{x^3} = -\frac{2}{x^3}$ .

c) On peut écrire avec et .

Les fonctions u et v sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et la fonction somme est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec .

EXERCICE 8 :

1. L’équation de la courbe représentative de f est « $y=-\frac{9}{2x^2-4x+3}$ ».

2. Nous plaçons un point sur la courbe en .

3. Nous traçons la tangente à la courbe en ce point.

4. Le coefficient directeur de la tangente est environ 11.

5. En plaçant le point sur les différentes valeurs de x données dans le tableau de valeurs et en traçant les tangentes, on peut estimer les valeurs approchées des dérivées demandées : $f'(-2) \approx 11, f'(-1) \approx -7, f'(0) \approx 5, f'(1) \approx -2, f'(2)\approx -7$ .

EXERCICE 9 :

1. Les points sont .

2. En chacun de ces points, on trace la tangente à la courbe .

3. Une allure possible de est représentée ci-dessous :

Courbe à créer….

EXERCICE 10 :

Le coefficient directeur de la tangente à 6 (c’est-à-dire au point d’abscisse 2) est la valeur de la dérivée f'(2). En lisant sur le graphique, on a $f'(2) \approx -2$ . Donc le coefficient directeur de la tangente à 6 est environ -2.

EXERCICE 11 :

a) La fonction f est définie pour tout x sauf 0. Donc, f est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ et sa dérivée est $f'(x) = -\frac{5}{2x^2} - \frac{7}{2}x$ .

b) La fonction g est définie pour tout x sauf 0. Donc, g est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ et sa dérivée est $g'(x) = \frac{44}{5x^2} - \frac{4}{5}$ .

c) La fonction h est définie pour tout x sauf 3. Donc, h est dérivable sur $\mathbb{R} - \{3\}$ et sa dérivée est $h'(x) = \frac{18x^2 - 41x + 8}{(7x - 21)^2}$ .

d) La fonction j est définie pour tout x sauf 0. Donc, j est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ et sa dérivée est $j'(x) = -\frac{10}{(3x^2+2)^2}$ .

e) La fonction k est définie sur l’intervalle ]-∞;1[ ∪ ]1;+∞[ car le dénominateur s’annule en .

On peut factoriser en , donc la fonction est dérivable sur cet intervalle. Sa dérivée est $k'(x) = \frac{9(5 - 2x)}{(x - 1)^3 (x - 5)}$ .

f) La fonction m est définie pour tout x tel que , c’est-à-dire sur $]-\infty ; 10]$ .

Donc, m est dérivable sur cet intervalle et sa dérivée est $m'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{10-x}}$ .

EXERCICE 12 :

Le taux de variation de f entre -1 et 1 est donné par la formule $TV = \frac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)}$ .

D’après le graphique, on a f(-1) ≈ -6 et $f(1) \approx 2$ .

Donc, le taux de variation de f entre -1 et 1 est $TV \approx \frac{2-(-6)}{2} = 4$ .

EXERCICE 13 :

On peut écrire l’égalité sous la forme : $\frac{f(-7+h)-f(-7)}{h} - \frac{15}{3}h = 4h$ .

En simplifiant, on obtient : $\frac{f(-7+h)-f(-7)}{h} = 4h + 5h$ .

Donc, le taux de variation de f entre et est TV = 9.

Comme ce taux ne dépend pas de h, on peut dire que la fonction f est dérivable en -7 et que .

EXERCICE 14 :

En faisant tendre x vers 3 dans l’équation $\frac{g(x) - g(3)}{x-3} = 2x+3$ , on trouve ,

donc $g'(3) = \frac{3}{2}$ .

Donc la fonction g est dérivable en 3 et $g'(3) = \frac{3}{2}$ .

EXERCICE 15 :

On a g(3) = 6 (coordonnée y du point B).

Comme la tangente en A a pour coefficient directeur $-\frac{1}{g'(3)}$ , on peut écrire : $-\frac{1}{g'(3)} = \frac{6-(-13)}{3-(-3)} = \frac{19}{6}$ .

Donc, $g'(3) = -\frac{6}{19}$ .

EXERCICE 16 :

La courbe représentative est reproduite ci-dessous :

Tracer la courbe….

La tangente en 2 a pour équation $y = f'(2)(x-2) + f(2) \approx -x + 5$ , et la tangente en 0 a pour équation .

EXERCICE 17 :

Pour les fonctions simples :
– La fonction f est dérivable sur $\mathbb{R}$ , et sa fonction dérivée est f'(x) = 4x^3.
– La fonction g est dérivable sur $\mathbb{R}$ , et sa fonction dérivée est g'(x) = 12x^11.
– La fonction h est dérivable sur $\mathbb{R}^{*}$ (l’ensemble des nombres réels non nuls), et sa fonction dérivée est $h'(x) = -\frac{1}{x^{2}}$ .

Pour les fonctions composées :
– Pour f, on peut identifier $u(x) = \frac{1}{x}$ et .

Les fonctions u et v sont toutes deux dérivables sur R*, et donc la fonction somme f est dérivable sur R*, et sa fonction dérivée est f'(x) = -1/x^2 + 1.
– Pour g, on peut identifier u(x) = -5 et $v(x) = \frac{1}{x^2}$ .

Les fonctions u et v sont toutes deux dérivables sur R* (avec une exception en x=0 pour v), et donc la fonction somme g est dérivable sur R* (avec une exception en x=0), et sa fonction dérivée est $g'(x) = \frac{2}{x^3}$ .
– Pour h, on peut identifier et .

Les fonctions u et v sont dérivables sur R, et donc la fonction somme h est dérivable sur R, et sa fonction dérivée est .

EXERCICE 18 :

Pour les fonctions composées :
– Pour f, on peut identifier $u(x) = \frac{1}{x}$ et . La fonction u est dérivable sur R* (avec une exception en x=0), et la fonction v est dérivable sur R, donc la fonction produit f est dérivable sur R* (avec une exception en x=0), et sa fonction dérivée est $f'(x) = -\frac{9}{x^2} + 6$ .
– Pour g, on peut identifier et $v(x) = \sqrt {x}$ .

Les fonctions u et v sont dérivables sur $[0,+\infty[$ , donc la fonction produit g est dérivable sur $[0,+\infty[$ , et sa fonction dérivée est $g'(x) = 3x^{\frac{3}{2}}$ .
– Pour h, on peut identifier et .

Les fonctions u et v sont dérivables sur R, donc la fonction produit h est dérivable sur R, et sa fonction dérivée est .

EXERCICE 19 :

1. On peut écrire $f(x) = (2x+8)^{-1}$ . On résout l’équation , ce qui donne . Donc s’annule en .

2. Le théorème de la dérivée de l’inverse d’une fonction affirme que si f est une fonction dérivable sur un intervalle I et à valeurs dans un intervalle J, alors si g est l’inverse de f, c’est-à-dire une fonction qui vérifie pour tout x de J, alors g est dérivable sur J et sa dérivée est donnée par la formule : $g'(x)= \frac{1}{f'(g(x))}$ .
Ici, la fonction f est dérivable sur I et à valeurs dans $]0,+\infty[$ , donc elle est bijective sur son ensemble de définition et admet une inverse.

On peut déterminer cette inverse en résolvant l’équation en x :

on a équivaut à $(2x+8)^{-1} = y$ , soit $2x+8 = y^{-1}$ , soit $x = \frac{y^{-1}-8}{2}$ .

Donc l’inverse de f est la fonction $g : y \mapsto \,\frac{y^{-1}-8}{2}$ .

La dérivée de g en y est donnée par $g'(y) = \frac{1}{f'(g(y))}$ , donc $g'(y) = \frac{1}{-2(y^{-1}-8)^2}$ .

On peut donc exprimer en fonction de x en utilisant la formule $g'(f(x)) =\frac{ 1}{f'(x)}$ :

on a $f'(x) =\frac{ 1}{g'(f(x))} = -2(2x+8)^2$ .

Donc f est dérivable sur I et sa dérivée est .

EXERCICE 20 :

1. On peut écrire où $g(x) = \sqrt{x}$ et . Donc g est définie sur $[0,+\infty[$ et f est dérivable sur I, donc h est définie et dérivable sur I.

2. En utilisant la formule de la dérivée d’une fonction composée, on a $h'(x) = g'(f(x)) \times f'(x)$ où $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ et .

Donc $h'(x) = -\frac{3}{2\sqrt{-3x+12}}$ .

3. On a et $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ pour tout x strictement positif.

4. On a donc $h'(x) = -\frac{3}{2\sqrt {-3x+12} }$ .

EXERCICE 21 :

1. Graphiquement, on lit les pentes des tangentes en 0, 1 et 3 sur le graphe de f : la pente en 0 est nulle, la pente en 1 est négative et la pente en 3 est positive.

2. La tangente en C a pour coefficient directeur la dérivée en 3, soit f'(3) = 7. On utilise ensuite l’équation de la tangente en C : .

On a et donc l’équation réduite de la tangente en C est .

3. On calcule en dérivant terme à terme : .

On trouve et .

On peut vérifier que ces valeurs correspondent bien aux pentes des tangentes trouvées graphiquement. On peut également retrouver l’équation de la tangente en C en utilisant cette dérivée : et , donc l’équation réduite de la tangente en C est , soit .

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