Dérivée: درس رياضيات في الصف الأول للتحميل بتنسيق PDF.

sommaire

1 I. العدد المشتق ومشتق الدالة
2 ثانيًا. دالة قابلة للتفاضل على فاصل زمني
3 ثالثا. معادلة الظل والتقريب التقريبي لـ f في جوار x = أ
4 رابعا: مشتق من الوظائف المعتادة.
5 خامسا – صيغ الاشتقاق

درس رياضيات عن مشتق التابع .

يمكن تنزيل درس الرياضيات هذا حول المشتق في أول حرف S مجانًا بتنسيق PDF.

يقدم هذا الدرس المفاهيم التالية:

– تعريف المشتق عند نقطة ما ؛

– الجانب الرسومي للمشتق ؛

– معدل الزيادة؛

– مشتق من وظيفة عادية ؛

– مشتق من مبلغ ؛

– مشتق من منتج ؛

– مشتق من حاصل القسمة.

تمت كتابة دورة الرياضيات هذه بواسطة معلم تربية وطني.

I. العدد المشتق ومشتق الدالة

f هي وظيفة محددة في فترة I.

المنحنى (C) أدناه هو التمثيل الرسومي لـ f في إطار متعامد $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

M و N نقطتان من (C) مع الأحرف الخاصة بكل منهما $a\in\,I$ و $x\,=\,a\,+\,h\,\in\,I$ أو $h\in\,\mathbb{R}^*$ .

التعريف 1

إذا كانت f دالة محددة في فترة I و if $a\in\,I$ .
عندما يكون هناك رقم حقيقي d مثل أي h حقيقي قريب من 0 ، يكون لدينا:

$\lim_{h\,\to\,0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=d$

نقول أن الدالة f قابلة للاشتقاق عند a وأن d = f ‘(a) هو الرقم المشتق من f عند a.

التعريف 2

إذا كانت f دالة محددة في فترة I وإذا كانت a $\in$ أنا.
عندما يكون هناك رقم حقيقي d مثل ذلك ، لأي x حقيقي $\in$ أنا وقريب من a ، لدينا:

$\lim_{x,\to,a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=d$

نقول أن الدالة f قابلة للاشتقاق عند a وأن d = f ‘(a) هو الرقم المشتق من f عند a.

ثانيًا. دالة قابلة للتفاضل على فاصل زمني

تعريف :

نقول إن f قابلة للاشتقاق في فترة I عندما تكون قابلة للاشتقاق في كل نقطة من I

ملاحظات على الترميز و “بدعة علماء الفيزياء”

يعبر الفيزيائيون عن الفرق h = x – a بالرمز $\Delta\,x$ (زيادة المتغير x بالقرب من النقطة a) والفرق f (x) – f (a) by $\Delta\,y$ (الزيادة المقابلة بين صور x و a التي يتم استيعابها في إحداثيات y).

باستخدام هذه الرموز ، يكتبون بعد ذلك في حي: $\lim_{\Delta\,x\,\to\,0}\frac{\,\Delta\,y}{\Delta\,x\,}=f'(a)$ .

بشكل عام ، في الفاصل الزمني I ، من خلال الإشارة إلى “y” على الوظيفة “f” ، سيتم الإشارة إلى الوظيفة المشتقة من y: $f'=\frac{dy}{dx}$

تاريخيا ، التدوين $f\,'(x)$ يرجع إلى نيوتن والترميز التفاضلي $\frac{dy}{dx}$ يأتي من لايبنيز .

ثالثا. معادلة الظل والتقريب التقريبي لـ f في جوار x = أ

أخذ البيانات من بداية الدرس والتوضيح الرسومي وافتراض أن الوظيفة f قابلة للتفاضل عند a:
الظل (MP) للمنحنى (C) في M مع الإحداثي a موجود.

معاملها التوجيهي هو m = f ‘(a).

لذلك فإن معادلتها تكون على الشكل: y = mx + p ، حيث m = f ‘(a) ويجب حساب الجزء المقطوع منها p.
للقيام بذلك ، يكفي أن نكتب أن (MP) يمر عبر M (a ؛ f (a)).

اذا لدينا: $f(a)\,=,f\,'(a)\,\times \,a\,+\,p$ .
هذا يعطي: $p\,=\,f(a)\,-\,a\,f\,'(a)$ .

إذن y = f ‘(a) x + f (a) – af’ (a) التي تُكتب غالبًا بأحد النماذج ، يسهل تذكرها:

$\mathbf{y\,=\,f\,'(a)\,(x-a)\,+\,f(a)}$ أو $\mathbf{y\,-\,f(a)\,=\,f\,'(a)\,(x-a)}$ .

لذا فإن الظل (MP) للمنحنى (C) في M هو التمثيل الرسومي للدالة الأفينية g:

$g:x\,\mapsto \,f'(a)(x-a)+f(a)$

دعنا نوضح أن هذه الدالة الأفينية هي تقريب للدالة f عندما تكون x قريبة من a.
في الواقع ، إحداثي النقطة P من الإحداثي x = a + h هو: $g(x)\,=\,f\,'(a)\,(x-a)\,+\,f(a)$ .

هو مكتوب أيضا: $g(a\,+\,h)\,=\,f\,'(a)\,(a\,+\,h\,-\,a)\,+\,f(a)$ ، هذا لأقول: $g(a\,+\,h)\,=\,f(a)\,+\,h\,f\,'(a)$ .

الآن ، f (a + h) = f (a) + hf ‘(a) + h $\varphi$ (ح) مع $\lim_{h\,\to\,0}\varphi\,(h)=\,0$ .

نستنتج أنه عندما يكون h قريبًا من الصفر ، يكون لدينا: f (a + h) $\approx$ و (أ) + hf ‘(أ).

يمكننا إذن أن نستنتج أنه عندما تكون x قريبة من a ، فإن الدالة الأفقية هي الدالة $g:x\,\mapsto \,f'(a)(x-a)+f(a)$ هو تقريب للوظيفة .

يمكن للمرء حتى أن يُظهر ، لكننا سنعترف بذلك هنا ، أنه أفضل تقريب أفيني لـ f في حي a .

رابعا: مشتق من الوظائف المعتادة.

خامسا – صيغ الاشتقاق

Cette publication est également disponible en : English (الإنجليزية) Français (الفرنسية)