Orthogonalité et équations de droites : cours de maths en 1ère.

sommaire

1 I. Vecteurs directeurs et équations cartésiennes
- 1.1 1.Vecteur directeur d’une droite.
- 1.2 2. Equation cartésienne de droite.
2 II. Positions relatives de droites

I. Vecteurs directeurs et équations cartésiennes

Dans tout ce chapitre, on se place dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

1.Vecteur directeur d’une droite.

Définition :

On appelle vecteur directeur d’une droite (d) tout représentant du vecteur $\vec{AB}$ où

A et B sont deux points quelconques et distincts de la droite (d).

Exemple :

Dans l’image ci-dessous, les vecteurs $\vec{AB}(2;1)$ , $\vec{u}(-2;-1)$ et $\vec{v}(4;2)$ sont des vecteurs

directeurs de la droite (d).

vecteur directeur

Application et méthode :

On calcule les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite.
La droite (BC) et sa parallèle ont les mêmes vecteurs directeurs, il suffi d’en prendre un représentant d’origine A.

Exemple :

Soient trois points A(1;5), B(-3;2) et C(2;-1) dans un repère orthonormé.

Déterminer un vecteur directeur de la droite (BC).
Détailler la construction de la parallèle à (BC) passant par A.

2. Equation cartésienne de droite.

Théorème :

Dans un repère orthonormé, les coordonnées de l’ensemble des points M(x;y)

d’une droite vérifient une relation où a, b et c sont des nombres réels.

Démonstration :

Soient et deux points d’une droite (d).

Alors, pour tout point appartenant à (d), nous avons :

les vecteurs $\vec{PM}(x-x_P;y-y_P)$ et $\vec{PQ}(x_Q-x_P;y_Q-y_P)$ sont colinéaires.

On a donc $det(\vec{PM};\vec{PQ})=0$ .

C’est-à-dire .

donc .

En posant ; et ,

on a donc l’équation de la droite (d) qui est de la forme .

Définition :

La relation s’appelle une équation cartésienne de la droite (d).

Propriété :

Le vecteur $\vec{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur de la droite (d) d’équation cartésienne .

Exemple :

Si la droite (d) a pour équation cartésienne , alors le vecteur $\vec{u}(-4;5)$

est un vecteur directeur de cette droite.

II. Positions relatives de droites

1.Droites parallèles ou sécantes

Théorème :

Soient deux droites (d) et (d’) d’équations cartésiennes respectives et où sont des nombres réels.

Les droites (d) et (d’) sont parallèles si, et seulement si, $ab'-a'b\neq0$ .

Preuve :

Des vecteurs directeurs des droites (d) et (d’) sont, respectivement, $\vec{u}(-b;a)$ et $\vec{v}(-b';a')$ .

Les droites (d) et (d’) sont sécantes si, et seulement si, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.

Autrement dit, si le déterminant de ces deux vecteurs est non nul.

Soit, $-ba'-(a(-b'))=-ba'+ab'=ab'-a'b\neq0$ .

2. Droites sécantes et systèmes d’équations

Théorème :

Lorsque deux droites sont sécantes, les coordonnées (x;y) de leur point d’intersection

sont solution du système :

système d'équations

3. Droites perpendiculaires

Théorème :

Soient deux droites (d) et (d’) d’équations cartésiennes respectives et où sont des nombres réels.

Les vecteurs directeurs des droites (d) et (d’) sont, respectivement, $\vec{u}(-b;a)$ et $\vec{v}(-b';a')$ .

Les droites (d) et (d’) sont perpendiculaires si, et seulement si, $\vec{u}.\vec{v}=0$ soit .

Preuve :

Les vecteurs directeurs des droites (d) et (d’) sont, respectivement, $\vec{u}(-b;a)$ et $\vec{v}(-b';a')$ .

Les droites sont perpendiculaires si, et seulement si, ces deux vecteurs directeurs sont orthogonaux.

Ce qui revient à dire que le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul, soit :

$\vec{u}.\vec{v}=0$

Ce qui équivaut à :

$-b\times \,(-b')+a\times \,a'=0$ soit .