Orthogonalité et équations de droites : Cours Maths 1ère S et leçon en PDF en première

cours maths 1ere

I. Vecteur normal une droite

Définition
Un vecteur n est normal å la droite d s’il est non nul et orthogonal å un vecteur directeur de d.
propriété (admise)
voir Exemple 1
Un vecteur normal å une droite d est orthogonal å tous Ies vecteurs directeurs de

II. Déterminer une équation de droite à l’aide d’un vecteur normal

propriété
Dans un repére orthonormé, toute droite d de vecteur normal ; b) admet une équation
cartésienne de la forme ax + by + c = O.
Démonstration
Soit A(XA ; « A) un point de la droite d et ; y) un point quelconque_
, ‘ y) E d e AM et n sont orthogonaux e AM •n = O_
AM n = a(x— + b(y— h) = ax + by + (—oxa—byn) d’oü
d e ax + by+c=o, en posantc= —axn— byn.
Remarque : Soit une droite d passant par A de vecteur directeur’l etde vecteur normal m
On a AM(x
On peut obtenir une équation cartésienne de la droite d de deux fawns _
• Mix; y) E d eAM etu sont colinéaires detAM ; ‘N) = o.
• Mix; y) d —AM etn sont orthogonaux AM .n = O.
propriété
uoir Exemple 2
Soit o et b deux réels qui ne sont pas tous les deux nuls_ Dans un repére orthonormé, la droite d d’équation
ax + by + c = O admet pour vecteur directeuru (—0 ; a) et pour vecteur normal n(a ; b).

Démonstration
• Cas 00 b Soit les points A(O h) et ; y:) de la droite d, d’abscisses respectives O et 1.
On calculeyn= etyg ¯
b
. On en déduit que AB a pour coordonnées 1 —
Le vecteur u (_b o) est : dest donc un vecteur directeur de la droite d
Le vecteur n(a b) est bien normal å d car il est orthogonal åu : en effet,u – + ax b = O_
• Cas 00 b —O. Alors o •Oetd a wur équation x =
— _ d est donc verticale et ; o) est bien
un vecteur directeur de d
; O) est orthogonal (O ; a), car q . v O. n est donc un vecteur normal å d.
Le tableau ci-contre
récapitule Ie lien entre
équation de droite,
coefficient directeur,
vecteur directeur
et vecteur normal.
une équation de d
ax + by + c = O
y = nix + p
(équation réduite)
Un vecteur normal
un vecteur directeur le coefficient directeur
sib* O, m =
u(l ; m)




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