Corrigé des exercices sur la géométrie dans l’espace en 1ère.

EXERCICE 1 :

a) Un vecteur normal au plan est $\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ .

b) Un vecteur normal au plan est $\begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}$ .

c) Un vecteur normal au plan est $\begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}$ .

d) Un vecteur normal au plan est $\begin{pmatrix}-2\\-4\end{pmatrix}$ .

EXERCICE 2 :

a) Un vecteur directeur de la droite passant par B et C est $D = \begin{pmatrix}1-(-3)\\-2-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-4\end{pmatrix}$ .

Un vecteur normal à la droite est donc $N = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ .

b) Un vecteur directeur de la droite passant par F et G est $D = \begin{pmatrix}-3-1\\4-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\4\end{pmatrix}$ .

Un vecteur normal à la droite est donc $N = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$ .

c) Un vecteur directeur de la droite passant par M et N est $D = \begin{pmatrix}5-0\\4-(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}$ .

Un vecteur normal à la droite est donc $N = \begin{pmatrix}-6\\5\end{pmatrix}$ .

d) Un vecteur directeur de la droite passant par H et K est $D = \begin{pmatrix}-1-(-2)\\-5-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-8\end{pmatrix}$ .

Un vecteur normal à la droite est donc $N = \begin{pmatrix}8\\1\end{pmatrix}$ .

EXERCICE 3 :

a) Une équation cartésienne de la droite est : 2x + 3y – 8 = 0 (on peut multiplier $\vec{n}$ par n’importe quel scalaire non nul pour obtenir un autre vecteur normal).

b) Une équation cartésienne de la droite est : $-5x + y + \frac{29}{2} = 0$ .

c) Une équation cartésienne de la droite est : $3x - 2y + 5\sqrt{3} - 9 = 0$ .

EXERCICE 4 :

1) Un vecteur normal à la droite d est $N = \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ .

2) Un vecteur normal à la droite perpendiculaire à d est alors $N' = \begin{pmatrix}-1/3\\1\end{pmatrix}$ (on peut prendre N’ = $\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}$ également).

Une équation cartésienne de la droite est donc : $-\frac{1}{3}(x-2)+(y+3) = 0$ ou encore .

3) Un vecteur directeur de la droite d est $D = \begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}$ , donc le projeté orthogonal du point B sur la droite d est tel que $\vec{BK}$ est colinéaire à D, c’est-à-dire $\vec{BK} = tD$ pour un certain réel t.

De plus, B appartient à la droite perpendiculaire à d passant par K, donc $\vec{BK}$ est orthogonal à un vecteur normal à cette droite, qui est N.

On a donc $\vec{BK} \cdot \vec{n} = 0$ , ce qui donne : $(t\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix})\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} = 0$ , soit $t = \frac{3}{10}$ .

Ainsi le point K est donné par : $\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix} + \frac{3}{10}\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{17}{5}\\-\frac{24}{5}\end{pmatrix}$ .

EXERCICE 5 :

a) L’équation est équivalente à dont le centre est C(-1;1) et le rayon est 2.

b) L’équation est équivalente à dont le centre est C(-3;-2) et le rayon est $\sqrt{2}$ .

c) L’équation est équivalente à dont le centre est C(1;3) et le rayon est 1.

d) L’équation est équivalente à dont le centre est C(-4;2) et le rayon est 1.

EXERCICE 6 :

a) Complétons le carré : $(x+\frac{3}{2})^2+(y-2)^2=4\frac{1}{4}$ dont le centre est $C( -\frac{3}{2} ;2)$ et le rayon est $\frac{1}{2}\sqrt{17}$ .

b) Complétons le carré : $(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{3}{2})^2=\frac{13}{4}$ dont le centre est $C( \frac{1}{2} ; \frac{3}{2} )$ et le rayon est $\frac{1}{2}\sqrt{13}$ .

c) Complétons le carré : $(x+4)^2+(y+\frac{3}{2})^2=\frac{11}{4}$ dont le centre est $C(-4; -\frac{3}{2} )$ et le rayon est $\frac{1}{2}\sqrt{11}$ .

d) Complétons le carré : dont le centre est C(-3;2) et le rayon est $\sqrt{3}$ .

EXERCICE 7 :

1)Complétons le carré pour trouver l’équation qui est celle d’un cercle avec son centre en C(-1;1) et son rayon de 2.

De même pour l’autre équation, on trouve qui est celle d’un cercle avec son centre en C(3;-2) et son rayon de 1.

2)Voir question 1.

3)La distance entre les centres est $\sqrt{(3-(-1))^2+(-2-1)^2}=\sqrt{25}=5$ .

4)Les cercles n’ont pas de points en commun car leur distance est strictement supérieure à la somme de leurs rayons. En effet, .