EXERCICE 1 :
a) Un vecteur normal au plan est .
b) Un vecteur normal au plan est .
c) Un vecteur normal au plan est .
d) Un vecteur normal au plan est .
EXERCICE 2 :
a) Un vecteur directeur de la droite passant par B et C est .
Un vecteur normal à la droite est donc .
b) Un vecteur directeur de la droite passant par F et G est .
Un vecteur normal à la droite est donc .
c) Un vecteur directeur de la droite passant par M et N est .
Un vecteur normal à la droite est donc .
d) Un vecteur directeur de la droite passant par H et K est .
Un vecteur normal à la droite est donc .
EXERCICE 3 :
a) Une équation cartésienne de la droite est : 2x + 3y – 8 = 0 (on peut multiplier par n’importe quel scalaire non nul pour obtenir un autre vecteur normal).
b) Une équation cartésienne de la droite est :.
c) Une équation cartésienne de la droite est : .
EXERCICE 4 :
1) Un vecteur normal à la droite d est .
2) Un vecteur normal à la droite perpendiculaire à d est alors (on peut prendre N’ =
également).
Une équation cartésienne de la droite est donc : ou encore
.
3) Un vecteur directeur de la droite d est , donc le projeté orthogonal du point B sur la droite d est tel que
est colinéaire à D, c’est-à-dire
pour un certain réel t.
De plus, B appartient à la droite perpendiculaire à d passant par K, donc est orthogonal à un vecteur normal à cette droite, qui est N.
On a donc , ce qui donne :
, soit
.
Ainsi le point K est donné par : .
EXERCICE 5 :
a) L’équation est équivalente à dont le centre est C(-1;1) et le rayon est 2.
b) L’équation est équivalente à dont le centre est C(-3;-2) et le rayon est
.
c) L’équation est équivalente à dont le centre est C(1;3) et le rayon est 1.
d) L’équation est équivalente à dont le centre est C(-4;2) et le rayon est 1.
EXERCICE 6 :
a) Complétons le carré : dont le centre est
et le rayon est
.
b) Complétons le carré : dont le centre est
et le rayon est
.
c) Complétons le carré : dont le centre est
et le rayon est
.
d) Complétons le carré : dont le centre est C(-3;2) et le rayon est
.
EXERCICE 7 :
1)Complétons le carré pour trouver l’équation qui est celle d’un cercle avec son centre en C(-1;1) et son rayon de 2.
De même pour l’autre équation, on trouve qui est celle d’un cercle avec son centre en C(3;-2) et son rayon de 1.
2)Voir question 1.
3)La distance entre les centres est .
4)Les cercles n’ont pas de points en commun car leur distance est strictement supérieure à la somme de leurs rayons. En effet, .