Corrigé des exercices sur la géométrie dans l’espace en 1ère.

EXERCICE 1 :

a) Un vecteur normal au plan est \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}.

b) Un vecteur normal au plan est \begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}.

c) Un vecteur normal au plan est \begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}.

d) Un vecteur normal au plan est \begin{pmatrix}-2\\-4\end{pmatrix}.

EXERCICE 2 :

a) Un vecteur directeur de la droite passant par B et C est D = \begin{pmatrix}1-(-3)\\-2-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-4\end{pmatrix}.

Un vecteur normal à la droite est donc N = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}.

b) Un vecteur directeur de la droite passant par F et G est D = \begin{pmatrix}-3-1\\4-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\4\end{pmatrix}.

Un vecteur normal à la droite est donc N = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.

c) Un vecteur directeur de la droite passant par M et N est D = \begin{pmatrix}5-0\\4-(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}.

Un vecteur normal à la droite est donc N = \begin{pmatrix}-6\\5\end{pmatrix}.

d) Un vecteur directeur de la droite passant par H et K est D = \begin{pmatrix}-1-(-2)\\-5-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-8\end{pmatrix}.

Un vecteur normal à la droite est donc N = \begin{pmatrix}8\\1\end{pmatrix}.

EXERCICE 3 :

a) Une équation cartésienne de la droite est : 2x + 3y – 8 = 0 (on peut multiplier \vec{n} par n’importe quel scalaire non nul pour obtenir un autre vecteur normal).

b) Une équation cartésienne de la droite est :-5x + y + \frac{29}{2} = 0.

c) Une équation cartésienne de la droite est : 3x - 2y + 5\sqrt{3} - 9 = 0.

EXERCICE 4 :

1) Un vecteur normal à la droite d est N = \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}.

2) Un vecteur normal à la droite perpendiculaire à d est alors N' = \begin{pmatrix}-1/3\\1\end{pmatrix}(on peut prendre N’ = \begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix} également).

Une équation cartésienne de la droite est donc : -\frac{1}{3}(x-2)+(y+3) = 0 ou encore x-3y+11=0.

3) Un vecteur directeur de la droite d est D = \begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}, donc le projeté orthogonal du point B sur la droite d est tel que \vec{BK} est colinéaire à D, c’est-à-dire \vec{BK} = tD   pour un certain réel t.

De plus, B appartient à la droite perpendiculaire à d passant par K, donc \vec{BK} est orthogonal à un vecteur normal à cette droite, qui est N.

On a donc \vec{BK} \cdot \vec{n} = 0, ce qui donne : (t\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix})\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} = 0, soit t = \frac{3}{10}.

Ainsi le point K est donné par : \begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix} + \frac{3}{10}\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{17}{5}\\-\frac{24}{5}\end{pmatrix}.

EXERCICE 5 :

Tableau centre et rayon d'un cercle

a) L’équation est équivalente à (x+1)^2+(y-1)^2=4 dont le centre est C(-1;1) et le rayon est 2.

b) L’équation est équivalente à (x+3)^2+(y+2)^2=2 dont le centre est C(-3;-2) et le rayon est \sqrt{2}.

c) L’équation est équivalente à (x-1)^2+(y-3)^2=1 dont le centre est C(1;3) et le rayon est 1.

d) L’équation est équivalente à (x+4)^2+(y-2)^2=1 dont le centre est C(-4;2) et le rayon est 1.

EXERCICE 6 :

a) Complétons le carré : (x+\frac{3}{2})^2+(y-2)^2=4\frac{1}{4} dont le centre est C( -\frac{3}{2} ;2) et le rayon est \frac{1}{2}\sqrt{17}.

b) Complétons le carré : (x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{3}{2})^2=\frac{13}{4} dont le centre est C( \frac{1}{2} ; \frac{3}{2} ) et le rayon est \frac{1}{2}\sqrt{13}.

c) Complétons le carré : (x+4)^2+(y+\frac{3}{2})^2=\frac{11}{4} dont le centre est C(-4; -\frac{3}{2} )et le rayon est \frac{1}{2}\sqrt{11}.

d) Complétons le carré : (x+3)^2+(y-2)^2=3 dont le centre est C(-3;2) et le rayon est \sqrt{3}.

EXERCICE 7 :

1)Complétons le carré pour trouver l’équation (x+1)^2+(y-1)^2=4 qui est celle d’un cercle avec son centre en C(-1;1) et son rayon de 2.

De même pour l’autre équation, on trouve (x-3)^2+(y+2)^2=1 qui est celle d’un cercle avec son centre en C(3;-2) et son rayon de 1.

2)Voir question 1.

3)La distance entre les centres est \sqrt{(3-(-1))^2+(-2-1)^2}=\sqrt{25}=5.

4)Les cercles n’ont pas de points en commun car leur distance est strictement supérieure à la somme de leurs rayons. En effet, 5 > 2+1.

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