Corrigé des exercices sur le cosinus en 4ème.

Exercice 1 :

1) Construire un triangle ABC rectangle en A sachant que :

AB = 6 cm et $\widehat{ABC}$ = 35°.

) Calculer la longueur BC et la longueur AC ; on donnera les résultats au millimètre le plus proche.

$cos\widehat{B}=\frac{AB}{CB}$

$BC=\frac{AB}{cos\widehat{B}}=\frac{6}{0,819}\simeq,7,33$ cm.

Le triangle ABC est rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore :

$AC^2=BC^2-AB^2=7,33^2-6^2\simeq,17,73$ cm.

Angle	Cosinus
35°	0,819

Exercice 2 :

On veut mesurer la hauteur d’une cathédrale. Grâce à un instrument de mesure placé en O, à 1,5 m du sol et à 85 m de la cathédrale, on mesure l’angle $\widehat{COB}$ et on trouve 59°.

1) Déterminer la longueur CB au dixième de mètre le plus proche.

Le triangle ABO est rectangle en O.

$cos\widehat{O}=\frac{85}{CO}$ donc $CO=\frac{85}{cos59^{\circ}}\simeq,165,04$ m.

et en utilisant le théorème de Pythagore :

$CB=\sqrt{165,04^2-85^2}\simeq,141,47$ m.

2) En déduire la hauteur de la cathédrale que l’on arrondira au mètre le plus proche.

$H=CB+15\approx,141,47+1,5\simeq,142,97$ m.

Exercice 3 :

ABC est un triangle rectangle en A.

On donne AB = 5 cm et $\widehat{ABC}$ = 35°.

1) Construire la figure en vraie grandeur.

2) Déterminer la longueur AC, arrondie au dixième de centimètre.

Le triangle ABC est rectangle en A.

$cos35^{\circ}=\frac{5}{BC}$

$BC=\frac{5}{cos35^{\circ}}\simeq,6,1$ cm.

En utilisant la partie directe du théorème de Pythagore :

$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{6,1^2-5^2}=3,5\,cm$

Exercice 4 :

Une échelle de 6 mètres est appuyée contre un mur vertical de 7 mètres de haut. Par mesure de sécurité, on estime que l’angle que fait l’échelle avec le sol doit être de 75° (voir schéma ci-dessous).

l) Calculer la distance AB entre le pied de l’échelle et le mur. (On donnera le résultat arrondi au centimètre.)

Dans le triangle ABC rectangle en A :

$cos75^{\circ}=\frac{AB}{6}$

$AB=6\times cos75 ^{\circ}\simeq1,55\,m$

2) A quelle distance CD du sommet du mur se trouve le haut de l’échelle ? (On donnera le résultat arrondi au centimètre.)

Dans le triangle ABC rectangle en A,en utilisant la partie directe du théorème de Pythagore :

$AC=\sqrt{BC^2-AB^2} \simeq \sqrt{6^2-1,55^2}\simeq 5,8\,m$ .

$CD=AD-AC \simeq 7-5,8=1,2\,m$

Exercice 5 :

Tracer un cercle C de centre O et de rayon 4 cm. Tracer [AB], un diamètre de C.

Placer un point E sur le cercle C tel que : $\widehat{BAE}$ = 40°.

1) Montrer que le triangle ABE est rectangle.

ABE est un triangle inscrit dans un cercle dont un ses côtés[AB] est un diamètre de ce cercle,

par conséquent le triangle ABE est rectangle en E.

Calculer la valeur exacte de BE puis son arrondi au millimètre.

$\widehat{B}=90-40=50^{\circ}$

Le triangle ABE est rectangle :

$cos50=\frac{BE}{8}$

$BE=8cos50^{\circ}\simeq 5,1\,cm$

Exercice 6 :

Un câble de 20 m de long est tendu entre le sommet d’un poteau vertical et le sol horizontal. Il forme un angle de 40° avec le sol (voir schéma).

1. Calculer la hauteur du poteau.

L’autre angle mesure 50 degrés.

Dans le triangle rectangle : $cos50^{\circ}=\frac{poteau}{cable}$

$poteau=20cos50^{\circ}\simeq,12,86\,m$ .

Exercice 7 :

ABCD désigne un rectangle tel que AB = 7,2 cm et BC = 5,4 cm.

1) Dessiner en grandeur réelle ce rectangle et sa diagonale [AC].

2) Calculer la mesure arrondie au degré de l’angle $\widehat{ACD}$ .

Dans le triangle ACD rectangle en D, d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

$AC=\sqrt{7,2^2+5,4^2}=9\,cm$

et $cos(\widehat{ACD})=\frac{DC}{AC}$

$cos(\widehat{ACD})=\frac{7,2}{9}$ donc $ACD=arccos(\frac{7,2}{9})\simeq,36,87^{\circ}\simeq,37^{\circ}$

3) Démontrer que les angles $\widehat{ACD}$ et $\widehat{CAB}$ sont égaux.

Ce sont deux angles alternes-internes et les droites (AB) et (CD) sont parallèles donc les angles $\widehat{ACD}$ et $\widehat{CAB}$ sont égaux.