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Corrigé des exercices sur le cosinus en 4ème.

Exercice 1 :

1) Construire un triangle ABC rectangle en A sachant que :

AB = 6 cm et  \widehat{ABC}= 35°.

)  Calculer la longueur BC et la longueur AC ; on donnera les résultats au millimètre le plus proche.

cos\widehat{B}=\frac{AB}{CB}

BC=\frac{AB}{cos\widehat{B}}=\frac{6}{0,819}\simeq,7,33 cm.

Le triangle ABC est rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore :

AC^2=BC^2-AB^2=7,33^2-6^2\simeq,17,73 cm.

Angle

Cosinus

35°

0,819

Exercice 2 :

On veut mesurer la hauteur d’une cathédrale. Grâce à un instrument de mesure placé en O, à 1,5 m du sol et à 85 m de la cathédrale, on mesure l’angle \widehat{COB} et on trouve 59°.

1) Déterminer la longueur CB au dixième de mètre le plus proche.

Le triangle ABO est rectangle en O.

cos\widehat{O}=\frac{85}{CO}  donc CO=\frac{85}{cos59^{\circ}}\simeq,165,04 m.

et en utilisant le théorème de Pythagore :

CB=\sqrt{165,04^2-85^2}\simeq,141,47 m.

2) En déduire la hauteur de la cathédrale que l’on arrondira au mètre le plus proche.

H=CB+15\approx,141,47+1,5\simeq,142,97 m.

Cathédrale et trigonométrie.

Exercice 3 :

ABC est un triangle rectangle en A.

On donne AB = 5 cm et \widehat{ABC} = 35°.

1) Construire la figure en vraie grandeur.

Trigonométrie

2) Déterminer la longueur AC, arrondie au dixième de centimètre.

Le triangle ABC est rectangle en A.

cos35^{\circ}=\frac{5}{BC}

BC=\frac{5}{cos35^{\circ}}\simeq,6,1 cm.

En utilisant la partie directe du théorème de Pythagore :

AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{6,1^2-5^2}=3,5\,cm

Exercice 4 :

Une échelle de 6 mètres est appuyée contre un mur vertical de 7 mètres de haut. Par mesure de sécurité, on estime que l’angle que fait l’échelle avec le sol doit être de 75° (voir schéma ci-dessous).

Echelle et trigonométrie.

l) Calculer la distance AB entre le pied de l’échelle et le mur. (On donnera le résultat arrondi au centimètre.)

Dans le triangle ABC rectangle en A :

cos75^{\circ}=\frac{AB}{6}

AB=6\times   cos75 ^{\circ}\simeq1,55\,m

2)  A quelle distance CD du sommet du mur se trouve le haut de l’échelle ? (On donnera le résultat arrondi au centimètre.)

Dans le triangle ABC rectangle en A,en utilisant la partie directe du théorème de Pythagore  :

AC=\sqrt{BC^2-AB^2} \simeq \sqrt{6^2-1,55^2}\simeq 5,8\,m.

CD=AD-AC \simeq 7-5,8=1,2\,m

Exercice 5 :

Tracer un cercle C de centre O et de rayon 4 cm. Tracer [AB], un diamètre de C.

Placer un point E sur le cercle C tel que : \widehat{BAE} = 40°.

Trigonométrie

1) Montrer que le triangle ABE est rectangle.

ABE est un triangle inscrit dans un cercle dont un ses côtés[AB] est un diamètre de ce cercle,

par conséquent le triangle ABE est rectangle en E.

Calculer la valeur exacte de BE puis son arrondi au millimètre.

\widehat{B}=90-40=50^{\circ}

Le triangle ABE est rectangle :

cos50=\frac{BE}{8}

BE=8cos50^{\circ}\simeq 5,1\,cm

Exercice 6 :

Un câble de 20 m de long est tendu entre le sommet d’un poteau vertical et le sol horizontal. Il forme un angle de 40° avec le sol (voir schéma).

Trigonométrie et câble.

1. Calculer la hauteur du poteau.

L’autre angle mesure 50 degrés.

Dans le triangle rectangle : cos50^{\circ}=\frac{poteau}{cable}

poteau=20cos50^{\circ}\simeq,12,86\,m.

Exercice 7 :

ABCD désigne un rectangle tel que AB = 7,2 cm et BC = 5,4 cm.

1) Dessiner en grandeur réelle ce rectangle et sa diagonale [AC].

trigonométrie et rectangle.

2) Calculer la mesure arrondie au degré de l’angle \widehat{ACD} .

Dans le triangle ACD rectangle en D, d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

AC=\sqrt{7,2^2+5,4^2}=9\,cm

et cos(\widehat{ACD})=\frac{DC}{AC}

cos(\widehat{ACD})=\frac{7,2}{9}  donc ACD=arccos(\frac{7,2}{9})\simeq,36,87^{\circ}\simeq,37^{\circ}

3) Démontrer que les angles \widehat{ACD}  et  \widehat{CAB}  sont égaux.

Ce sont deux angles alternes-internes et les droites (AB) et (CD) sont parallèles donc les angles \widehat{ACD}  et  \widehat{CAB}  sont égaux.


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