Corrigé des exercices sur le cosinus en 4ème.

Le chapitre sur le cosinus en 4ème est très important car il reviendra souvent dans vos exercices tout au long de l’année.

Exercice 1 :

1) Construire un triangle ABC rectangle en A sachant que :

AB = 6 cm et $\widehat{ABC}$ = 35°.

) Calculer la longueur BC et la longueur AC ; on donnera les résultats au millimètre le plus proche.

$cos\widehat{B}=\frac{AB}{CB}$

$BC=\frac{AB}{cos\widehat{B}}=\frac{6}{0,819}\simeq 7,33$ cm.

Le triangle ABC est rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore :

$AC^2=BC^2-AB^2=7,33^2-6^2\simeq 17,73$ cm.

Angle	Cosinus
35°	0,819

Exercice 2 :

On veut mesurer la hauteur d’une cathédrale. Grâce à un instrument de mesure placé en O, à 1,5 m du sol et à 85 m de la cathédrale, on mesure l’angle $\widehat{COB}$ et on trouve 59°.

1) Déterminer la longueur CB au dixième de mètre le plus proche.

Le triangle ABO est rectangle en O.

$cos\widehat{O}=\frac{85}{CO}$ donc $CO=\frac{85}{cos59^{\circ}}\simeq 165,04$ m.

et en utilisant le théorème de Pythagore :

$CB=\sqrt{165,04^2-85^2}\simeq 141,47$ m.

2) En déduire la hauteur de la cathédrale que l’on arrondira au mètre le plus proche.

$H=CB+15\approx 141,47+1,5\simeq 142,97$ m.

Exercice 3 :

ABC est un triangle rectangle en A.

On donne AB = 5 cm et $\widehat{ABC}$ = 35°.

1) Construire la figure en vraie grandeur.

2) Déterminer la longueur AC, arrondie au dixième de centimètre.

Le triangle ABC est rectangle en A.

$cos35^{\circ}=\frac{5}{BC}$

$BC=\frac{5}{cos35^{\circ}}\simeq 6,1$ cm.

En utilisant la partie directe du théorème de Pythagore :

$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{6,1^2-5^2}=3,5\,cm$

Exercice 4 :

Une échelle de 6 mètres est appuyée contre un mur vertical de 7 mètres de haut. Par mesure de sécurité, on estime que l’angle que fait l’échelle avec le sol doit être de 75° (voir schéma ci-dessous).

l) Calculer la distance AB entre le pied de l’échelle et le mur. (On donnera le résultat arrondi au centimètre.)

Dans le triangle ABC rectangle en A :

$cos75^{\circ}=\frac{AB}{6}$

$AB=6\times cos75 ^{\circ}\simeq1,55\,m$

2) A quelle distance CD du sommet du mur se trouve le haut de l’échelle ? (On donnera le résultat arrondi au centimètre.)

Dans le triangle ABC rectangle en A,en utilisant la partie directe du théorème de Pythagore :

$AC=\sqrt{BC^2-AB^2} \simeq \sqrt{6^2-1,55^2}\simeq 5,8\,m$ .

$CD=AD-AC \simeq 7-5,8=1,2\,m$

Exercice 5 :

Tracer un cercle C de centre O et de rayon 4 cm. Tracer [AB], un diamètre de C.

Placer un point E sur le cercle C tel que : $\widehat{BAE}$ = 40°.

1) Montrer que le triangle ABE est rectangle.

ABE est un triangle inscrit dans un cercle dont un ses côtés[AB] est un diamètre de ce cercle,

par conséquent le triangle ABE est rectangle en E.

Calculer la valeur exacte de BE puis son arrondi au millimètre.

$\widehat{B}=90-40=50^{\circ}$

Le triangle ABE est rectangle :

$cos50=\frac{BE}{8}$

$BE=8cos50^{\circ}\simeq 5,1\,cm$

Exercice 6 :

Un câble de 20 m de long est tendu entre le sommet d’un poteau vertical et le sol horizontal. Il forme un angle de 40° avec le sol (voir schéma).

1. Calculer la hauteur du poteau.

L’autre angle mesure 50 degrés.

Dans le triangle rectangle : $cos50^{\circ}=\frac{poteau}{cable}$

$poteau=20cos50^{\circ}\simeq 12,86\,m$ .

Exercice 7 :

ABCD désigne un rectangle tel que AB = 7,2 cm et BC = 5,4 cm.

1) Dessiner en grandeur réelle ce rectangle et sa diagonale [AC].

2) Calculer la mesure arrondie au degré de l’angle $\widehat{ACD}$ .

Dans le triangle ACD rectangle en D, d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

$AC=\sqrt{7,2^2+5,4^2}=9\,cm$

et $cos(\widehat{ACD})=\frac{DC}{AC}$

$cos(\widehat{ACD})=\frac{7,2}{9}$ donc $ACD=arccos(\frac{7,2}{9})\simeq 36,87^{\circ}\simeq 37^{\circ}$

3) Démontrer que les angles $\widehat{ACD}$ et $\widehat{CAB}$ sont égaux.

Ce sont deux angles alternes-internes et les droites (AB) et (CD) sont parallèles donc les angles $\widehat{ACD}$ et $\widehat{CAB}$ sont égaux.

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