Corrigé des exercices sur les intégrales en terminale.

EXERCICE N°1 :

a) L’intégrale de entre 0 et 4 vaut :

$\int_{0}^{4}3dx=3\times (4-0)=12$

b) L’intégrale de $(\frac{1}{2}t+2)dt$ entre 3 et 7 vaut :

$\int_{3}^{7}(\frac{1}{2}t+2)dt=[\frac{1}{4}t^2+2t]_{3}^{7}=(\frac{1}{4}(7)^2+2(7))-(\frac{1}{4}(3)^2+2(3))=15$

EXERCICE N°2 :

Pour déterminer si les fonctions proposées sont des primitives de f, il suffit de dériver chaque fonction et de voir si on obtient f.

a) On a : $F'_1(x)=\frac{e^x}{\,(e^x+1\,\,)^2}\times \frac{-1}{e^x+1}=-\frac{e^x}{\,(e^x+1\,\,)^3}$

est différente de f(x), donc n’est pas une primitive de f(x).

b) On a : $F'_2(x)=\frac{e^x}{\,(e^x+1\,\,)^2}\times \frac{2e^x+1}{e^x+1}-\frac{e^x}{\,(e^x+1\,\,)^2}\times \frac{(2e^x+1)^2}{\,(e^x+1\,\,)^2}=\frac{e^x}{\,(e^x+1\,\,)^3}(e^x-1)$

est égale à f(x), donc est une primitive de f(x).

c) On a : $F'_3(x)=\frac{-2e^{-2x}}{\,(e^{-x}+1\,\,)^2}-\frac{(2e^{-x}+1)(-e^{-x})}{\,(e^{-x}+1\,\,)^2}=-\frac{e^{-x}}{\,(e^{-x}+1\,\,)^2}$

est différente de f(x), donc n’est pas une primitive de f(x).

d) On a : $F'_4(x)=\frac{-e^{-x}(e^{-x}+2)}{\,(e^{-x}+1\,\,)^2}+\frac{(e^{-x}+2)(-e^{-x})}{\,(e^{-x}+1\,\,)^2}=-\frac{e^{-x}}{\,(e^{-x}+1\,\,)^2}$

est égale à f(x), donc est une primitive de f(x).

EXERCICE N°3 :

a) Une primitive de est : $\frac{5}{5}x^5-\frac{3}{2}x^2+7x+C$ , où C est une constante d’intégration.

b) Une primitive de est : $\frac{4}{18}(3x-1)^6+C$ , où C est une constante d’intégration.

c) Pour trouver une primitive de $\frac{7x}{x^2+4}$ , on fait le changement de variable .

Alors, on a :

$\int\frac{7x}{x^2+4}dx=\frac{1}{2}\int\frac{7}{u}du=7ln|u|+C=7ln|x^2+4|+C$

d) Une primitive de 3xe^x est : , où C est une constante d’intégration.

EXERCICE N°4 :

a) On a 2-2e^t\leq\, 0 pour tout t réel, car $e^t\geq\, 1$ pour $t\geq\, 0$ et donc $e^t-1\geq\, 0$ .

De plus, $2-2e^t=(1-e^t)(1+e^t)\leq\, 0$ car $1-e^t\leq\, 0$ et $1+e^t\geq\, 0$ pour tout t réel.

b) On a $e^{t^2}\geq\, e^t$ pour tout $t\geq\, 1$ , car pour tout t>1 et donc $e^{t^2}>e^t$ . Donc :

$2-2e^{t^2}\leq\, 2-2e^t$

c) On a :

$\int_{0}^{1}(2-2e^{t^2})dt\leq\,\int_{0}^{1}(2-2e^t)dt$

$\Rightarrow\,\,\,\int_{0}^{1}(2-2e^{t^2})dt\leq\, 2-2(e-1)$

Mais on a aussi :

$2-2(e-1)\leq\,\int_{0}^{1}(2-2e^{t^2})dt$

$\Rightarrow\,\,\,0\leq\,\int_{0}^{1}(2-2e^{t^2})dt\leq\, ln2$

Donc, on a :

$0\leq\,\int_{0}^{1}\frac{x^n}{1+x}dx\leq\, ln2$

EXERCICE N°5 :

a) On utilise une intégration par parties pour calculer :

$\int_{0}^{1}\frac{x^n}{1+x}dx=[ln(1+x)\times \frac{x^n}{n+1}]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+x)^2}\times \frac{x^n}{n+1}dx$

$=ln2\times \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+1}\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+x)^2}\times d(x^{n+1})$

$=ln2\times \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+1}[x^{n+1}\times \frac{-1}{1+x}]_{0}^{1}+\frac{1}{n+1}\int_{0}^{1}\frac{x^{n+2}}{(1+x)^2}dx$

$=ln2\times \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}\int_{0}^{1}\frac{x^{n+2}-x^{n+1}}{(1+x)^2}dx$

$=ln2\times \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}\int_{0}^{1}(\frac{x^{n+2}}{(1+x)^2}-\frac{x^{n+1}}{(1+x)^2})dx$

$=ln2\times \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}\int_{0}^{1}(\frac{x^{n+2}}{1+x}-\frac{x^{n+1}}{1+x})\times \frac{1}{1+x}dx$

$\Rightarrow\,\,\,0\leq\,\int_{0}^{1}\frac{x^n}{1+x}dx\leq\, ln2$

EXERCICE N°6 :

a) Pour calculer $\int_{-4}^{-2}f(t)dt$ , on utilise l’aire sous la courbe entre -4 et -2.

Cette aire est représentée par un rectangle de base 2 et de hauteur 0,5.

Donc :

$\int_{-4}^{-2}f(t)dt=Aire=2\times 0,5=1$

b) Pour calculer $\int_{-2}^{2}f(t)dt$ , on utilise l’aire sous la courbe entre -2 et 2.

Cette aire est représentée par un rectangle de base 4 et de hauteur 1. Donc :

$\int_{-2}^{2}f(t)dt=Aire=4\times 1=4$

c) Pour calculer $\int_{2}^{4}f(t)d$ t, on utilise l’aire sous la courbe entre 2 et 4.

Cette aire est représentée par un rectangle de base 2 et de hauteur -0,5. Donc :

$\int_{2}^{4}f(t)dt=Aire=2\times (-0,5)=-1$

EXERCICE N°7 :

a) $\int_{-2}^{1}5dx=5\times (1-(-2))=15$

b) $\int_{-1}^{2}(-t+4)dt=[-\frac{1}{2}t^2+4t]_{-1}^{2}=(-\frac{1}{2}(2)^2+4(2))-(-\frac{1}{2}(-1)^2+4(-1))=7$

c) $\int_{-3}^{3}(x+3)dx=[\frac{1}{2}x^2+3x]_{-3}^{3}=(\frac{1}{2}(3)^2+3(3))-(\frac{1}{2}(-3)^2+3(-3))=18$

d) $\int_{0}^{5}(2x+1)dx=2\times \frac{5^2}{2}+5=30$

e) $\int_{-2}^{2}(1-\frac{x}{2})dx=[x-\frac{x^2}{4}]_{-2}^{2}=(2-\frac{4}{4})-(-2-\frac{4}{4})=4$

f) $\int_{-1}^{1}(1-|x|)dx=2\int_{0}^{1}(1-x)dx=2[x-\frac{x^2}{2}]_{0}^{1}=2-(0-0)=2$

EXERCICE N°8 :

1. L’aire en bleu est délimitée par la courbe de entre x=0 et x=1, ainsi que par la droite .

L’intersection entre les deux courbes est lorsque $x=\sqrt{\frac{1}{2}}$ .

L’aire de la surface en bleu est donc la somme de l’intégrale suivante :

$\int_{0}^{\sqrt{\frac{1}{2}}}(x^2-(-x^2))dx=2\int_{0}^{\sqrt{\frac{1}{2}}}x^2dx=\frac{1}{3}$

L’aire en bleu est donc $\frac{1}{3}$ unité d’aire.

2. La surface en rouge est le complémentaire de la surface en bleu par rapport à l’aire délimitée par les courbes de f(x) et g(x).

Comme f(x) est au-dessus de g(x) sur [0;1], la surface en rouge est la somme des aires de f(x) sur $[0;\sqrt{\frac{1}{2}}]$ et de g(x) sur $[\sqrt{\frac{1}{2}};1]$ .

Comme les aires délimitées par f(x) et g(x) sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées, elles ont la même aire.

Donc, l’aire de la surface en rouge est la moitié de l’aire de l’aire délimitée par f(x) sur [0;1], qui est :

$\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}$

L’aire en rouge est donc $\frac{1}{6}$ unité d’aire.

3. La surface en bleu est délimitée par la courbe de entre x=0 et x=1, ainsi que par la droite .

Donc, l’aire de la surface en bleu est :

$\int_{0}^{1}(x^2-(-x^2))dx=2\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{2}{3}$

On retrouve bien l’aire précédemment calculée.

EXERCICE N°9 :

$I=\int_{1}^{3}xdx=[\frac{1}{2}x^2]_{1}^{3}=\frac{1}{2}(3)^2-\frac{1}{2}(1)^2=\frac{8}{2}=4$

$J=\int_{-2}^{2}-0,5x+1dx=[-\frac{1}{4}x^2+x]_{-2}^{2}=(-\frac{1}{4}(2)^2+2)-(-\frac{1}{4}(-2)^2-2)=-1$

Donc $I \neq J$ . L’affirmation est fausse.

EXERCICE N°10 :

1) Une primitive de $2xe^{x^2-3}$ est $e^{x^2-3}+C$ , où C est une constante d’intégration.

Une primitive de $\frac{x}{x^2+4}$ est $\frac{1}{2}ln(x^2+4)+C$ , où C est une constante d’intégration.

Pour trouver une primitive de , on fait le changement de variable .

Alors, on a :

$\int cos(x)sin^2(x)dx=-\int u^2du=-\frac{u^3}{3}=-\frac{sin^3(x)}{3}+C$

2) Une primitive de $\frac{2x+1}{x^2+x+1}$ est , où C est une constante d’intégration.

Une primitive de $\frac{x}{(x^2+1)^2}$ est $-\frac{1}{2}\frac{x}{x^2+1}-\frac{1}{2}arctan(x)+C$ , où C est une constante d’intégration.

Pour trouver une primitive de $x(x^2+5)^{-3}$ , on utilise la substitution . Alors, on a :

$\int x(x^2+5)^{-3}dx=\frac{1}{2}\int u^{-3/2}du=-u^{-1/2}=-\frac{1}{\sqrt{x^2+5}}+C$

3) Une primitive de $xe^{-x^2}$ est $-\frac{1}{2}e^{-x^2}+C$ , où C est une constante d’intégration.

Une primitive de $\frac{e^x}{e^x+1}$ est , où C est une constante d’intégration.

Pour trouver une primitive de $\frac{8x}{\sqrt{2x^2+1}}$ , on fait le changement de variable .

Alors, on a :

$\int \frac{8x}{\sqrt{2x^2+1}}dx=\int u^{-1/2}du=2\sqrt{2x^2+1}+C$

EXERCICE N°11 :

La fonction f est la dérivée de F.

On sait que F est croissante sur [0;2] et décroissante sur [2;5], donc f est positive sur [0;2] et négative sur [2;5].

La première courbe est donc celle de f(x) tandis que la deuxième est celle de -f(x) .

EXERCICE N°12 :

1.a) Pour tout $x\in [n;n+1]$ , on a $n\leq\, x\leq\, n+1$ , donc $\frac{1}{n+1}\leq\,\frac{1}{x}\leq\,\frac{1}{n}$ .

b) Une primitive de $\frac{1}{n}$ est ln|x| , donc :

$\int_{n}^{n+1}\frac{1}{n}dx=ln|n+1|-ln|n|=ln(\frac{n+1}{n})$

c) En utilisant les inégalités de la question a), on a :

$\int_{n}^{n+1}\frac{1}{n+1}dx\leq\,\int_{n}^{n+1}\frac{1}{x}dx\leq\,\int_{n}^{n+1}\frac{1}{n}dx \Rightarrow\,\,\,I_{n}\leq\,\frac{1}{n+1}\leq\, I_{n}$

Donc, on a : $\frac{1}{n+1}\leq\, I_{n}\leq\,\frac{1}{n}$

2) La limite quand n tend vers l’infini de $\frac{1}{n+1}$ est 0 et la limite quand n tend vers l’infini de $\frac{1}{n}$ est aussi 0.

Donc, par le théorème des gendarmes, la limite de la suite (I_n) est 0 également.

Voir Corrigés 11 à 12...

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