corrige

Corrigé des exercices sur les probabilités en terminale.

EXERCICE N° 1 :

Arbre de probabilités

1.

2. a. P(E) = 0,2, P_E(C) = 0

b. P(E\,\cap\,\,C) = P(C|E) \times   P(E) = 0 \times   0,2 = 0.

On en déduit que la probabilité d’avoir un texte connu et en espagnol est nulle.

EXERCICE N° 2 :

1.

2. P (la question porte sur la musique et Robin ne répond pas correctement) = P(B) \times  (1 – P(Répond correctement si la question porte sur la musique)) = \frac{2}{3} \times   (1 - \frac{3}{4}) = \frac{1 }{6}.

EXERCICE N° 3 :

Arbre de probabilité

1.

2. P(\overline{E})= 0,35, P_{ E }(\overline{F}) = 0,48 et P_{ \overline{E} }(\overline{F})= 0,64.

3. La probabilité d’avoir E et F en même temps est égale à P(F|E) \times   P(E) = 0,52 \times   0,65 = 0,338.

4. P(E \cap \overline{F}) = P(E) - P(E \cap F) = 0,65 - 0,338 = 0,312 ; P(\overline{E }\cap F) = P(F) - P(E \cap F) = 0,48 - 0,338 = 0,142 ; P(\overline{E} \cap \overline{F}) = 1 - P(E \cup F) = 1 - (P(E) + P(F) - P(E \cap F)) = 0,578.

EXERCICE N° 4 :

1. a. P(B) = \frac{P(A \cap B) }{P(A)} = \frac{0,21 }{0,56} = \frac{15}{56}.

b. P(B) = \frac{P(A \cap B) }{P(A)} = \frac{\frac{3}{25} }{ \frac{1}{3}} =\frac{ 9/25}{.

EXERCICE N° 5 :

1. P(T) = 0,84, P(O) = 0,75, P(T \cap O) = 0,6.

Donc, P(\overline{T}) = 0,16 et P(\overline{O}) = 0,25.

2.

| | T | \overline{T} | Total |
|——–|————|—————-|———|
| O | 0,6 | 0,15 | 0,75 |
| \overline{O} | 0,24 | 0,01 | 0,25 |
| Total | 0,84 | 0,16 | 1 |

3. P_T(\overline{O}) = \frac{P(T \cap \overline{O}) }{P(T)} = \frac{0,24 }{0,84} = 0,2857 (arrondi à 4 décimales).

4. P(T|O) =\frac{ P(T \cap O) }{ P(O)} = \frac{0,6 }{0,75} = 0,8.

EXERCICE N° 6 :

Arbre de probabilité

1. P(V) = 0,2, P_V(D) = 0,96 et P_{\overline{V}}(D) = 0,05.

2.

3. P(V \cap D) = P_V(D) \times   P(V) = 0,96 \times   0,2 = 0,192.

Cette probabilité représente la proportion d’ordinateurs infectés par un virus pour lesquels le logiciel antivirus détecte la présence d’un virus.

EXERCICE N° 7 :

Arbre de probabilité

1. P(A) = \frac{600}{600 + 900} = 0,4, P(B) =\frac{ 900 }{600 + 900} = 0,6, P_A (D) = 0,014 et P_B (D) = 0,024.

2.

3. a. P(A \cap \overline{D}) = P(A) - P_A(D) = 0,4 - 0,014 = 0,386 et P(B \cap \overline{D}) = P(B) - P_B(D) = 0,6 - 0,024 = 0,576.

Ces probabilités représentent la proportion de composants non défectueux produits par chaque unité.

b. P(D) = P(A) \times   P_A(D) + P(B) \times   P_B(D) = 0,4 \times   0,014 + 0,6 \times   0,024 = 0,0196.

4. P_A(D) = P(D|A) \times   P(A) / P(D) = 0,014 \times   0,4 / 0,0196 \approx 0,2865 (arrondi à 4 décimales).

EXERCICE N° 8 :

Panneaux du code de la route

1. P(A et B) = P(A) * P(B) = 0,8 * 0,75 = 0,6.

2. P (\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \times   P(\overline{B}) = 0,2 \times   0,25 = 0,05.

Cette probabilité correspond à la proportion de fois où ni le père ni la mère ne répondent à l’appel d’Agathe.

EXERCICE N° 9 :

1. a. P(A \cap B) = 0 car A et B sont incompatibles.

Donc, P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + a.

En résolvant cette équation, on trouve que a = \frac{1}{6}.

b. P(A \cap B) = P(A) * P(B) car A et B sont indépendants.

Donc,

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 1/4 + a - (1/4 \times   a) = 1/4 + a/4.

En résolvant cette équation, on trouve que a = 1/3.

c. Si A est une partie de B, alors P(A) est inférieur ou égal à P(B).

On sait que P(A \cup B) = P(B), donc P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(B), c’est-à-dire P(A \cap B) = P(A). Donc, P(A) = \frac{1}{4} et P(B) = 1/3.

2. P_A (B) = \frac{P(A \cap B) }{P(A)} = 0 car A et B sont incompatibles dans le premier cas ;

P_A (B) = P(B) car A et B sont indépendants dans le deuxième cas ;

P_A (B) =\frac{ P(A)}{P(B)} car A est une partie de B dans le troisième cas.

On trouve ainsi P_A (B) = 0, 1/3 et 1/4 respectivement.

P_B (A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = 0 car A et B sont incompatibles dans le premier cas ; P_B (A) = P(A) car A et B sont indépendants dans le deuxième cas ; P_B (A) = \frac{P(A \cap B) }{P(A)} car A est une partie de B dans le troisième cas. On trouve ainsi P_B (A) = 0, 1/4 et 1 respectivement.

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