Corrigé des exercices sur les probabilités en terminale

EXERCICE N° 1 :

2. a.

b. $P(E\,\cap\,\,C) = P(C|E) \times P(E) = 0 \times 0,2 = 0$ .

On en déduit que la probabilité d’avoir un texte connu et en espagnol est nulle.

EXERCICE N° 2 :

2. P (la question porte sur la musique et Robin ne répond pas correctement) = P(B) $\times$ (1 – P(Répond correctement si la question porte sur la musique)) = $\frac{2}{3} \times (1 - \frac{3}{4}) = \frac{1 }{6}$ .

EXERCICE N° 3 :

2. $P(\overline{E})= 0,35, P_{ E }(\overline{F}) = 0,48$ et $P_{ \overline{E} }(\overline{F})= 0,64$ .

3. La probabilité d’avoir E et F en même temps est égale à $P(F|E) \times P(E) = 0,52 \times 0,65 = 0,338$ .

4. $P(E \cap \overline{F}) = P(E) - P(E \cap F) = 0,65 - 0,338 = 0,312$ ; $P(\overline{E }\cap F) = P(F) - P(E \cap F) = 0,48 - 0,338 = 0,142$ ; $P(\overline{E} \cap \overline{F}) = 1 - P(E \cup F) = 1 - (P(E) + P(F) - P(E \cap F)) = 0,578$ .

EXERCICE N° 4 :

1. a. $P(B) = \frac{P(A \cap B) }{P(A)} = \frac{0,21 }{0,56} = \frac{15}{56}$ .

b. $P(B) = \frac{P(A \cap B) }{P(A)} = \frac{\frac{3}{25} }{ \frac{1}{3}} =\frac{ 9/25}{$ .

EXERCICE N° 5 :

1. P(T) = 0,84, P(O) = 0,75, $P(T \cap O) = 0,6$ .

Donc, $P(\overline{T}) = 0,16$ et $P(\overline{O}) = 0,25$ .

| | T | $\overline{T}$ | Total |
|——–|————|—————-|———|
| O | 0,6 | 0,15 | 0,75 |
| $\overline{O}$ | 0,24 | 0,01 | 0,25 |
| Total | 0,84 | 0,16 | 1 |

3. $P_T(\overline{O}) = \frac{P(T \cap \overline{O}) }{P(T)} = \frac{0,24 }{0,84} = 0,2857$ (arrondi à 4 décimales).

4. $P(T|O) =\frac{ P(T \cap O) }{ P(O)} = \frac{0,6 }{0,75} = 0,8$ .

EXERCICE N° 6 :

1. P(V) = 0,2, P_V(D) = 0,96 et $P_{\overline{V}}(D) = 0,05$ .

3. $P(V \cap D) = P_V(D) \times P(V) = 0,96 \times 0,2 = 0,192$ .

Cette probabilité représente la proportion d’ordinateurs infectés par un virus pour lesquels le logiciel antivirus détecte la présence d’un virus.

EXERCICE N° 7 :

1. $P(A) = \frac{600}{600 + 900} = 0,4, P(B) =\frac{ 900 }{600 + 900} = 0,6, P_A (D) = 0,014$ et P_B (D) = 0,024.

3. a. $P(A \cap \overline{D}) = P(A) - P_A(D) = 0,4 - 0,014 = 0,386$ et $P(B \cap \overline{D}) = P(B) - P_B(D) = 0,6 - 0,024 = 0,576$ .

Ces probabilités représentent la proportion de composants non défectueux produits par chaque unité.

b. $P(D) = P(A) \times P_A(D) + P(B) \times P_B(D) = 0,4 \times 0,014 + 0,6 \times 0,024 = 0,0196$ .

4. $P_A(D) = P(D|A) \times P(A) / P(D) = 0,014 \times 0,4 / 0,0196 \approx 0,2865$ (arrondi à 4 décimales).

EXERCICE N° 8 :

1. P(A et B) = P(A) * P(B) = 0,8 * 0,75 = 0,6.

2. $P (\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \times P(\overline{B}) = 0,2 \times 0,25 = 0,05$ .

Cette probabilité correspond à la proportion de fois où ni le père ni la mère ne répondent à l’appel d’Agathe.

EXERCICE N° 9 :

1. a. $P(A \cap B) = 0$ car A et B sont incompatibles.

Donc, $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + a$ .

En résolvant cette équation, on trouve que $a = \frac{1}{6}$ .

b. P(A \cap B) = P(A) * P(B) car A et B sont indépendants.

Donc,

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 1/4 + a - (1/4 \times a) = 1/4 + a/4$ .

En résolvant cette équation, on trouve que a = 1/3.

c. Si A est une partie de B, alors P(A) est inférieur ou égal à P(B).

On sait que $P(A \cup B) = P(B)$ , donc $P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(B)$ , c’est-à-dire $P(A \cap B) = P(A)$ . Donc, $P(A) = \frac{1}{4}$ et P(B) = 1/3.

2. $P_A (B) = \frac{P(A \cap B) }{P(A)} = 0$ car A et B sont incompatibles dans le premier cas ;

car A et B sont indépendants dans le deuxième cas ;

$P_A (B) =\frac{ P(A)}{P(B)}$ car A est une partie de B dans le troisième cas.

On trouve ainsi , 1/3 et 1/4 respectivement.

$P_B (A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = 0$ car A et B sont incompatibles dans le premier cas ; car A et B sont indépendants dans le deuxième cas ; $P_B (A) = \frac{P(A \cap B) }{P(A)}$ car A est une partie de B dans le troisième cas. On trouve ainsi = 0, 1/4 et 1 respectivement.